類比遷移，突出研究路徑和方法

張蕾萍

摘要：蘇科版初中數學九年級下冊第5章第2節《二次函數的圖像和性質》安排了3課時，分別引導學生學習形如y=ax2，y=ax2+k、y=a（x+h）2，y=a（x+h）2+k、y=ax2+bx+c的二次函數的圖像和性質。有必要“放眼全局”“瞻前顧后”，對這一單元進行整體教學設計。具體地，可以引導學生類比遷移研究一次函數、反比例函數圖像和性質的經驗，抓住從特殊到一般的研究路徑和數形結合的研究方法，研究二次函數的圖像和性質。

關鍵詞：單元整體教學;類比遷移;研究路徑;研究方法;二次函數的圖像和性質

蘇科版初中數學九年級下冊第5章第2節《二次函數的圖像和性質》安排了3課時，分別引導學生學習形如y=ax2，y=ax2+k、y=a（x+h）2，y=a（x+h）2+k、y=ax2+bx+c的二次函數的圖像和性質。這樣分課時的學習有利于分解難點，逐個突破，但容易忽略知識之間的聯系，使得所學習的知識是零散、孤立、碎片化的，缺乏整體性。這不利于學生知識結構的形成和優化，也不利于學生核心素養（思維能力）的培養和發展，因而不利于學生真正理解和掌握知識。因此，有必要“放眼全局”“瞻前顧后”，對這一單元（任何具有內在聯系的內容模塊都可以被視為“單元”）進行整體教學設計。

“放眼全局”，分析3課時內容的聯系，可以發現：它們之間是從簡單到復雜、從特殊到一般的遞進關系，體現了從解析式到圖像再到性質的數形結合方法，共同構成了研究二次函數圖像和性質的路徑和方法?！罢扒邦櫤蟆?，分析這一節內容與這一章其他節內容的聯系，可以發現：它們共同構成了“定義—圖像和性質—應用”的函數研究路徑。因此，可以抓住研究路徑和方法這樣的策略性知識，對這一單元進行整體教學設計。

此外，學習不是被動接受的過程，而是主動建構的過程，是利用原有的知識探索發現，進而同化和順應新知識的過程。對于《二次函數的圖像和性質》這一節內容，分析學生已有的相關知識，可以發現：學生已經學習過一次函數、反比例函數的圖像和性質，初步積累了研究函數圖像和性質的經驗。因此，教師可以引導學生類比遷移這些經驗，研究二次函數的圖像和性質。

由此，大致的教學設計如下：

一、類比遷移已有經驗，初步建構研究路徑和方法

問題1之前我們學習過哪些函數？對于這些函數，我們除了研究定義，還研究了什么？

問題2我們剛剛學習了二次函數的定義，你認為接下來要研究二次函數的什么？

問題3我們是如何研究一次函數的圖像和性質的？路徑如何？方法如何？

問題4類比一次函數，如何研究二次函數的圖像和性質呢？

問題1引導學生回顧一次函數、反比例函數的學習內容，概括得出函數研究的一般路徑，即“定義—圖像和性質—應用”。問題2引導學生基于函數研究的一般路徑，自然得出接下來要學習的內容，即“二次函數的圖像和性質”。

問題3和問題4則引導學生回顧一次函數圖像和性質的研究路徑和方法，類比得到二次函數圖像和性質的研究路徑和方法，即從簡單到復雜、從特殊到一般的遞進和從解析式到圖像再到性質的數形結合。

二、研究幾種形式之間的關系，具體明確從特殊到一般的路徑

問題5具體而言，你能設計出怎樣的研究路徑？

追問具體而言，一次函數圖像和性質的研究路徑是什么？二次函數的圖像和性質呢？

問題6哪一種路徑更合理？

追問一次函數的研究路徑下，兩種形式y=kx與y=kx+b的圖像之間有什么關系？二次函數的研究路徑下，各種形式的圖像之間有什么關系？

問題5及其追問引導學生類比一次函數從y=kx（分k>0和k<0兩種情況）到y=kx+b的具體研究路徑，設計出二次函數的兩條研究路徑：一是從特殊的y=ax2到一般的y=ax2（分a>0和a<0兩種情況），到復雜的y=ax2+c和y=ax2+bx，再到更復雜的y=ax2+bx+c;二是從特殊的y=ax2到一般的y=ax2（分a>0和a<0兩種情況），到復雜的y=ax2+k和y=a（x+h）2，再到更復雜的y=a（x+h）2+k。

問題6及其追問則引導學生采用運動變化的觀點，類比一次函數兩種形式的圖像之間的平移關系，逐步發現兩條研究路徑下，二次函數幾種形式的圖像之間是否有平移關系，從而確定第二條研究路徑更合理。

這里，特別要注意引導學生發現y=ax2+bx+c和y=a（x+h）2+k可以相互轉化，本質上是同一種形式，從而發現兩條研究路徑“殊途同歸”，進而確定后續學習應該選擇第二條研究路徑。

三、研究最簡單形式的圖像和性質，充分感悟數形結合的方法

問題7根據二次函數y=x2的解析式，你能猜測其圖像有什么特征嗎？

問題8對y=x2取值、列表，根據得到的數對特征，你能驗證你的猜想嗎？

問題9對y=x2描點、連線，根據得到的函數圖像，你能描述函數的性質嗎？

問題10類似地，你能研究二次函數y=-x2的圖像和性質嗎？

問題12你能嘗試概括二次函數y=ax2的性質嗎？

問題7引導學生根據二次函數y=x2的解析式，考慮自變量x的取值，分析y對應的值，猜想其圖像的特征，包括大致位置和變化趨勢、對稱性和增減性等。問題8引導學生從解析式到具體值，進一步驗證二次函數y=x2圖像的特征。問題9引導學生從具體值到圖像，進一步提煉二次函數y=x2的性質。由此，學生充分經歷“由式想形（猜想）→描點作圖（驗證）→由形到性（完善）”的函數圖像和性質的研究過程，感悟數形結合的研究方法。

經過上述教學過程，學生對二次函數圖像和性質的研究路徑和方法有了清晰而深刻的認識。接下來，可以讓學生自主研究其他形式的二次函數的圖像和性質。

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