兩種空氣凈化設(shè)備效能的數(shù)學(xué)建模

李雨 張文彬

摘?要：空氣凈化器和新風(fēng)機(jī)是常用的兩種空氣凈化設(shè)備，二者都是利用物理的方法吸附或者除去空氣中的顆粒物，但具體原理有所不同：空氣凈化器是封閉循環(huán)方式凈化室內(nèi)空氣，而新風(fēng)機(jī)是開放循環(huán)方式，不斷吸收新鮮空氣并且排出室內(nèi)舊空氣。除了換氣效果之外，新風(fēng)機(jī)在凈化能力上是否比空氣凈化器更勝一籌呢？本文利用微分方程建立了二者的數(shù)學(xué)模型，以數(shù)學(xué)的方法給出了這個(gè)問題的一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)答案。

關(guān)鍵詞：空氣凈化器;新風(fēng)機(jī);微分方程;數(shù)學(xué)模型

1?原理分析

如下圖1所示，空氣凈化器采用閉循環(huán)工作模式，經(jīng)過凈化后的空氣在室內(nèi)循環(huán)，被空氣凈化器吸入后再次進(jìn)行凈化，室內(nèi)是一個(gè)封閉的整體。新風(fēng)機(jī)的原理是，它不斷地從室外吸入空氣，經(jīng)凈化后吸入室內(nèi)，同時(shí)，在壓力作用下，等體積的室內(nèi)空氣被排出到室外。室內(nèi)與室外始終是交互的。

2?空氣凈化器建模

假設(shè)空間密封良好，與外界沒有連通。假設(shè)房間的體積為v0，時(shí)刻t0=0時(shí)，空氣中含有顆粒物質(zhì)量為m，空氣中顆粒物濃度為ρ=ρ（t），并且有ρ（0）=m/v0。假設(shè)現(xiàn)有一臺(tái)空氣凈化器，其單位時(shí)間內(nèi)可以過濾的空氣體積為v，過濾效率為λ，為了用微積分的方法建立微分方程，考慮在一個(gè)微小的時(shí)間Δt內(nèi)，房間內(nèi)的顆粒物質(zhì)量變化是：

3?新風(fēng)機(jī)建模

假設(shè)房間不密封。新風(fēng)機(jī)單位時(shí)間內(nèi)從室外吸收體積為v，并且將同體積的空氣排出室外。假設(shè)吸入空氣濃度恒定等于初始濃度mv0，而排出空氣濃度等于房間內(nèi)當(dāng)前濃度ρ（t）。考察時(shí)刻t時(shí)一小段時(shí)間Δt內(nèi)房間內(nèi)空氣中所含顆粒物質(zhì)量變化值：應(yīng)該等于吸入空氣過濾后所含顆粒物減去排出室外的空氣中所含顆粒物，其等式如下：

4?對(duì)兩種理想情況的分析

4.1?效果

假設(shè)v0=1，此設(shè)房間內(nèi)顆粒物初始濃度為m。令t→+可得，ρ1=0，ρ2=（1-λ）mv0，這說明，新風(fēng)機(jī)不能將空氣內(nèi)顆粒物濃度降低到0，其最大極限是1-λ，如果凈化效率是90%，那么終值便是10%。而空氣凈化器，則可以將顆粒物濃度降低到0（假設(shè)濾芯可以吸附任意尺寸顆粒物）。因此，在效果比拼上是空氣凈化器勝出。

4.2?速度

同上，令v0=1，令φ（t）=ρ1-ρ2=me-λvt-（1-λ）m-λme-vt，則：

由于λ<1，因此φ′（t）<0，所以φ（t）單調(diào)遞減，因此當(dāng)t>0時(shí)，φ（t）<φ（0）=0，因此ρ1<ρ2是恒成立的。

4.3?數(shù)據(jù)仿真

假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)能后凈化的空氣占空間體積0.4%，空氣凈化器和新風(fēng)機(jī)的凈化效率λ分別取0.9，仿真結(jié)果如下圖2所示。

仿真結(jié)果顯示，在凈化速度上，空氣凈化器也較新風(fēng)機(jī)更快一些。

5?非理想狀況下的空氣凈化器建模

以上建模是基于房間完全密封的理想狀況，而在實(shí)際中房間通常不是完全密封的。房間不密封對(duì)于新風(fēng)機(jī)沒有影響，因?yàn)樾嘛L(fēng)機(jī)的原理就是會(huì)排出空氣，但是對(duì)空氣凈化器有影響。現(xiàn)在我們假設(shè)房間存在著和外界的空氣交換過程，并且假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)的交換量為kv，其中k<1。像在（二）中一樣，考察從t到t+Δt內(nèi)一小短時(shí)間內(nèi)室內(nèi)顆粒物質(zhì)量變化，重新建立方程如下：

當(dāng)k=1-λ時(shí)，ρ3=ρ2，此時(shí)凈化器與新風(fēng)機(jī)效果相同，當(dāng)k>1-λ時(shí)，ρ3>ρ2，此時(shí)凈化器的效果不如新風(fēng)機(jī)。一個(gè)典型的仿真結(jié)果如下圖3所示，取λ=0.9，k=0.15>1-λ。

6?總結(jié)

結(jié)合以上的數(shù)學(xué)分析和仿真結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：空氣凈化器和新風(fēng)機(jī)的效果優(yōu)劣很大程度上取決于房間密封的情況。對(duì)于能夠良好密封的房間，空氣凈化器的效果明顯好于空氣凈化器;而對(duì)于非密封房間，則空氣凈化器效果可能反而不如新風(fēng)機(jī)。但是完全密封的房間，可能導(dǎo)致人缺氧、二氧化碳中毒等問題，因此，作者認(rèn)為新風(fēng)機(jī)是更好的選擇，特別是在人員比較密集的學(xué)校、商場(chǎng)等公共場(chǎng)所，更是如此。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)上冊(cè)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]楊起帆，邊馥萍.數(shù)學(xué)模型[M].浙江大學(xué)出版社，1990.

[3]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]D.N.Burghes，M.S.Borrie.Modeling?with?Differential?Equations[M].Chichester：Horwood，1981.

[5]M.Mraun.微分方程及其應(yīng)用[M].北京：人民教育出版社，1980.

[6]W.F.Lucas.微分方程模型[M].長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1988.