重視數學概念的意義建構
——以“平均變化率”教學為例

王思儉

目前，不少教師將數學概念課上成了平鋪直敘的學生自學課，還有的教師將其上成了著眼于培養解題能力的技能訓練課。對如何在概念課上有效地落實立德樹人的根本任務，如何運用數學活動更好地培養人，如何充分挖掘數學對象背后的數學思維價值，如何實現數學的科學與人文價值，缺乏深入研究和思考。數學概念教學一般包括概念的引入、內涵與外延的明確、概念的應用等環節。教學過程不只是讓學生接受、記憶、模仿和練習，更主要的是要讓學生自主探究，構建出自己的數學活動經驗，使數學學習成為發展智力、提升科學思維和人文思維的過程，在此過程中少不了教師對問題驅動的運用。因此，把握數學概念課的核心，提高教學效率，是擺在廣大數學教師面前的一個不容回避的課題，也是亟待解決的問題。筆者以“平均變化率”一課教學為例試作說明。

一、學情分析

本節課的授課對象是江蘇省蘇州中學高二（2）班的學生，該班數學學業成績在年級第三四名徘徊，學生的學習熱情很高，解決問題的思路較多，思維較為活躍，但容易忽視對基礎題的訓練，不夠重視對教材的研讀。

二、教學設計理念

1.設計理念。

問題是數學思想的源泉，是數學思維的動力。在數學課堂教學中，沒有問題就沒有學生的思維活動，有了問題，學生的好奇心才能被激發，思維才能被啟動。因此，沒有問題驅動的教學必定是大量的機械重復訓練。數學就是在問題的不斷提出與解決中發展的，數學的一切概念、公式、定理，都是因解決問題的需要而產生的。學生的數學思維能力也是由于問題解決得以提升。

教學設計的流程圖如圖1 所示，該流程是一個強調問題驅動的探究式學習過程。

圖1 教學流程圖

2.教學目標。

（1）能從生活實踐中理解并掌握平均變化率的定義，培養學生會用數學眼光去觀察事件，會發現問題，培養數學抽象、數據分析等素養。

（2）滲透數學思想方法，增強學生的數學活動經驗，培養學生用數學思維去分析事件、分析問題并解決問題的能力，強化數學研討交流的意識，培養數學運算、數學建模和數學實驗素養。

（3）經歷代數、幾何視角探究平均變化率的主要過程，讓學生體驗其中的數學思想，讓學生會用數學語言去表述事件，培養學生直觀想象、邏輯推理素養。

三、教學過程

1.概念引入。

利用上課前的幾分鐘，回放校運動會100米決賽的視頻。

教師：同學們，你們還記得在校秋季田徑運動會上，在100 米的決賽中，我們班誰的名次最好？成績是多少？

生：是孫同學，成績是12秒9。

師：好成績！有沒有50米的項目？

生：沒有。

教師（出示PPT）：請看問題1（1）。在某次校運動會，甲同學100 米的成績是13.9 秒，乙同學50米的成績是7.9秒，你認為誰的成績好?

【設計意圖】引導學生學會用數學眼光觀察事件，為平均變化率鋪墊。

生：不在同一個項目組，不具有可比性。

師：不比較他們的名次，還可以用什么來衡量他們的成績？

生2：也可以用每米所用的時間來比較成績，結果也是甲的成績好。

師：很好。現在看問題1（2）。在經營某商品時，甲掙到10 萬元，乙掙到2 萬元，如何比較和評價甲、乙兩人的經營成果？

生3：他們用的時間沒有給出，因此無法比較。

師：那現在補充條件——在經營某商品中，甲用5 年時間掙到10 萬元，乙用5 個月時間掙到2 萬元，如何比較和評價甲、乙兩人的經營成果？

【設計意圖】鼓勵學生用已有的數學知識解決生活中的問題，再一次為平均變化率的概念做鋪墊。

師：現在看問題2。已知德國心理學家艾賓浩斯關于記憶保持量的研究數據（見表1）和艾賓浩斯的遺忘曲線（見圖2），你們從圖上看到什么現象？能否用數學語言表述？

表1 記憶保持量數據

圖2 艾賓浩斯遺忘曲線

【設計意圖】此為數學在其他學科中的應用，通過學生常經歷的“遺忘”體驗，既激發學生學習熱情，又引導學生認識到“溫故知新”的重要性，同時讓學生思考怎樣刻畫遺忘的快慢程度。

生：曲線剛開始時非常陡峭，后來越來越平緩。

師：你們用“陡峭”“平緩”來描述曲線的變化，通俗易懂。能否用數學語言來描述呢？

生4：圖像上兩點連線斜率率由大變小。

生5：應該是斜率的絕對值由大變小。

師：正確！圖像上任意兩點的連線的傾斜程度都可以用斜率來刻畫，斜率的絕對值越大說明遺忘的速度越快，而此時圖像由“陡峭”變得越來越“平緩”，根據斜率計算也可以看出這一現象。那現在來看看問題3。現有蘇州市2017 年3 月的某天和4 月的某兩天日最高氣溫記載（見表2，對應的氣溫曲線圖略）你們感覺哪個時段的天氣較熱？能說明理由嗎？

表2 氣溫數據

【設計意圖】用生活中的數學問題導入，可以讓學生在熟悉的情境中逐步體會新知。通過兩個階段的溫差的提問，讓學生進一步認識圖象變化的“陡峭”和“平緩”。

2.概括內涵。

教師：如果將氣溫曲線抽象為函數y=f（x）的圖象（函數定義域拓展為［0，100］，見圖3），任取x1，x2∈［0，100］，你能寫出函數y=f（x）在區間［x1，x2］上平均變化率的計算式嗎？如何刻畫變量f（x）在區間［x1，x2］上隨x變化的“快”與“慢”？

（圖3）

【設計意圖】利用溫度變化曲線教會學生研究問題。學生自行觀察圖象的變化趨勢與時間的關系，更能直觀看出圖象的變化快慢，為瞬時速度和導數的知識提前作鋪墊。

生6：直線的斜率是刻畫直線的傾斜程度，所以利用它來刻畫較合適。例如，溫度曲線中從A→B 變化速度較慢而從B→D 變化速度較快，斜率越大f（x）的變化速度越快，斜率越小f（x）的變化速度越慢。

生7：不正確！因為，直線的斜率也有負值，例如遺忘曲線，第一天的遞減速度較快，但對應的斜率為負值，較小，應該是直線的斜率絕對值越大，f（x）的變化速度越快。

師：對的。你們能給出函數f（x）在區間［x1，x2］上的平均變化率的定義嗎？它的幾何意義是什么？

【設計意圖】從圖形語言過渡到數學語言、符號語言。

學生回答后教師總結：平均變化率是近似的代數表示形式，即曲線陡峭程度的“數量化”；而曲線陡峭程度是幾何圖形的直觀體現，即平均變化率的“視覺化”。這與利用割線斜率絕對值的大小近似刻畫函數圖象的變化陡峭程度完全吻合，這是數形結合思想的體現。

3.數學應用。

師：學習數學的目的，就是利用它解決生活實踐中的實際問題，現在請看實例。

例1 中華人民共和國人口普查登記的結果公布如下：

年份人口總數（萬）1953年1964年1982年1990年2000年60193 72307 103188 116002 129533

（1）1982 年到1990 年，1990 年到2000 年，平均每年增加多少人？（2）1982 年到1990 年，1990 年到2000 年，人口的平均變化率是多少?（3）從前兩題結果來看，你能得到什么結論？

例2 已知函數f（x）=x2，分別計算f（x）在下列區間上的平均變化率：（1）［1，3］；（2）［1，2］；（3）［1，1.1］；（4）［1，1.01］；（5）［1，1.001］，比較大小，并作出圖象。

生8：對于例2，當x從大于1 的方向無限趨近于1 時，平均變化率就無限趨近于2。當x從小于1的方向無限趨近于1時，平均變化率仍然無限趨近于2。這是什么原因？

師：趨近于2，不是等于2，這說明平均變化率的極限狀態是2。

生9：是不是可以說明在x=1 時，平均變化率就是2呢？

師：平均變化率是閉區間上的問題，而在x=1處，是指無限接近于1的一瞬間所發生的現象。

生10：所以可以叫作瞬時變化率，本題對于任意的a值都可以求出當x→a時的變化率為2a。

【設計意圖】例1 旨在讓學生厘清有關概念，引導學生關注我國的人口變化趨勢，凸顯數學學科育人的教育功能。例2 原本的目的是喚醒學生的記憶，用平均變化率的幾何意義為以后學習導數作鋪墊。但教學中學生的表現超乎預期，提到了瞬時變化率，這也就為后續的導數學習做了鋪墊。

四、教學啟示

1.以良好的課堂情境促進學生的主動交流。

建構主義認為，情境是知識賴以產生的背景，是認識活動的來源，良好的課堂情境能夠促進學生主動、高效的學術交流、研討。數學課堂情境的作用就在于激發學生的求知欲望、引導學生主動參與、積極探究和意義建構，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識。本課的情景創設從實際出發，都是學生所熟知的，例如運動會百米決賽成績、艾賓浩斯的遺忘曲線等。學生帶著期待和已有經驗，很快進入了探究活動，經過師生對話、生生交流和相互協作，學生自主發現平均變化率的幾何意義。學生能感受數學知識發生、發展的過程，體會數學知識的作用，感受數學與現實世界和生活的關系。例如問題1（2）是經濟類型問題，需要學生運用數學知識進行估算、預測；問題3 中的“溫度曲線”考察學生的直觀想象能力，這些問題情境的創設都收到了良好效果。

2.以完整的教學引導促進概念的意義建構。

概念是數學學習的基礎，每個概念都包含關鍵詞和這些關鍵詞之間的關系。因此概念的學習是一個包含關鍵詞識別、關系連接等認知的建構過程。概念學習的意義建構就是把概念中的關鍵詞和連接關系等各種要素建立新的聯系，獲得新的、本質的數學關系和數學運算的認識。如本節課的平均變化率，首先要讓學生厘清平均變化率和平均數的區別與聯系，其次要讓學生知曉閉區間上函數的平均變化率如何進行數學運算，最后引導學生認識平均變化率的幾何意義與代數意義，即“視覺化”與“數量化”，體現數形結合思想與直觀想象能力。如果相關概念不辨析，關鍵詞的順序和關系不明確，數學運算和目的不清楚，那么概念教學的意義建構就會不準確，學生對此概念就模糊不清，教學效果就大大降低。所以，在概念教學中，不僅要抓住概念的關鍵詞和本質特征，還要抓住概念理解的全部關鍵點，放手讓學生舉例說明，通過全面的教學引導，使學生獲得完整的知識意義和應用技能。

3.以靈活的教學預設促進學生的課堂生成。

探究學習具有自主性、過程性、實踐性、開放性等基本特征，因而探究性教學更加重視學生的主體地位。教學的重心不是教師的“教”，而是學生的“學”，教師的首要任務是教學生“為什么學”“學什么”“怎么學”。在課堂情境下，學生通過討論、質疑、交流、辯論、反思、探究等認識和實踐活動，會產生許多非預設的問題，探究的方向、方式、進程等過程性思維也會與教師的預想大相徑庭。如本課中的例2，放手讓學生自主完成并討論，學生發現當x→1（從右邊）時，平均變化率無限趨近于2，但學生又提出當自變量x從左邊無限趨近于1時，平均變化率也無限趨近于2，此時學生開始疑惑“為什么會有一樣的結果”。這時教師不能避而不答，應引導學生討論，并強調“趨近于不是等于，這兩個概念的含義不同”，緊接著學生提出“極限思想”，并且指出“割線無限趨近切線，而且切線的斜率為2”等。這些生成完全超出了課前的預設，這就需要教師靈活處理教學生成與預設的關系，充分關注學生課堂生成的特點，給學生的探究保留足夠的時間，保證個體知識的自主構建和逐步完善。

4.以真實的數學文化促進學生的素養達成。

數學課堂教學不能止步于傳授知識、學習解題，還要通過問題的解決，培育學生科學精神和創新意識，落實立德樹人根本任務，促進學生在不同學習階段的數學學科素養水平的達成。如例1 的人口年平均變化率問題，學生運用所學知識解決人口增長率的變化情況，發現問題——即將老齡化，提出對策——二胎政策，并指出國家放寬二胎政策的正確性。通過激烈的“個愛與大愛、小家與國家”的辯論，使學生的家國情懷得到提升，體現了數學學科的育人功能。

我們還應該為學生營造一片充分展現數學文化價值的時空，引導他們去探索數學知識的淵源，領悟數學知識的本質，進而體會數學的價值。如例2 求平均變化率和動態演示，學生沒有停留在具體的數字計算，而是推導一般情況，感悟極限的思想。