明算理，優(yōu)方法，提素養(yǎng)
——以2021年“八省(市)聯(lián)考”第7題為例

重慶 李海堂

(作者單位：重慶市榮昌中學(xué))

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì).解決解析幾何問(wèn)題的常規(guī)處理思路是借助曲線的幾何位置關(guān)系等價(jià)轉(zhuǎn)換為代數(shù)關(guān)系，通過(guò)合理的運(yùn)算探尋到量的關(guān)系，再翻譯成幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.解析幾何的內(nèi)容比較豐富，既有對(duì)平面圖形的認(rèn)識(shí)和圖形的量的處理，又有較復(fù)雜的運(yùn)算，備受命題者的青睞，在高考試卷以及各級(jí)各類的模擬考試中都會(huì)出現(xiàn)，具有較強(qiáng)的區(qū)分功能.因此，如何探究其解題思路，優(yōu)化其運(yùn)算路徑，簡(jiǎn)化其運(yùn)算過(guò)程，都具有非常現(xiàn)實(shí)的意義.本文以2021年八省(市)聯(lián)考第7題解析幾何為例，對(duì)此題進(jìn)行了解法探究以及結(jié)論的推廣.

一、試題呈現(xiàn)

已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A(2,2)，B，C，直線AB，AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為

( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

本題雖然是一道選擇題，但考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，主要考查直線方程，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，在解題過(guò)程中，涉及函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，突出能力立意，彰顯數(shù)學(xué)思想方法.解題思路較寬，為學(xué)生提供了多樣化的選擇，要完整準(zhǔn)確解答該題，學(xué)生必須要有較強(qiáng)的推理能力、探究能力和運(yùn)算能力.

二、解法探究

(一)列式求解，解出交點(diǎn)

解法一：由已知把A(2,2)代入拋物線y2=2px，得p=1，

因此拋物線方程為y2=2x，

圓(x-2)2+y2=1的圓心設(shè)為D(2,0)，注意到AD⊥x軸，則kAB+kAC=0，

設(shè)AB：x=my-2m+2，m>0，

則AC：x=-my+2m+2，

設(shè)B(x1,y1)，則2y1=4m-4，所以y1=2m-2，

故x1=2m2-4m+2.

即B(2m2-4m+2,2m-2)，

即3x+6y+4=0，故選B.

點(diǎn)評(píng)：得到①式后，有些學(xué)生不能正確因式分解，導(dǎo)致運(yùn)算不能順利進(jìn)行.要引導(dǎo)學(xué)生用求根公式求出B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，或者借助韋達(dá)定理2+y1=2m，2y1=4m-4，解出y1，也就是用字母m表示B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo).此題還可以先求斜率再直接求出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若求斜率的話，學(xué)生一看到直線方程有根號(hào)就畏懼，容易算錯(cuò).在平時(shí)的教學(xué)中要讓學(xué)生比較不同的算法，哪個(gè)運(yùn)算更簡(jiǎn)單和更直接，要培養(yǎng)學(xué)生邊做邊算邊思考的習(xí)慣，在細(xì)微之處培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng).

(二)設(shè)點(diǎn)求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算

同理3x2+6y2+4=0，所以B(x1,y1)，C(x2,y2)都在直線3x+6y+4=0上，故選B.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)點(diǎn)B在拋物線上，由拋物線方程設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線AB的方程，再由AB與圓相切得到B點(diǎn)縱坐標(biāo)的等量關(guān)系式，又根據(jù)B點(diǎn)在拋物線上，繼而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的二元一次方程，然后用曲線與方程的關(guān)系使問(wèn)題得以解決.此種方法設(shè)而不求，運(yùn)算簡(jiǎn)便，解法優(yōu)美.

(三)幾何直觀，理性分析

又根據(jù)B，C兩點(diǎn)在拋物線上，

又設(shè)B，C的中點(diǎn)為H(x3,y3)，

點(diǎn)評(píng)：此種解法抓住了特殊角，由直線AB，AC的傾斜角求出其斜率，通過(guò)點(diǎn)差法求出B，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)及BC中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出BC的直線方程，運(yùn)算比較簡(jiǎn)單也容易算出.其實(shí)這里可以推廣到一般的拋物線BC恒過(guò)定點(diǎn)以及BC的中點(diǎn)與BC斜率之間的關(guān)系，如果在平時(shí)的練習(xí)中總結(jié)一些結(jié)論并記住它就很容易得出答案.

(四)退化曲線，探尋本質(zhì)

解法五：若把直線AB和AC的方程3(x-2)2-(y-2)2=0和拋物線y2=2x聯(lián)立得到經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的曲線系方程可設(shè)為3(x-2)2-(y-2)2+λ(y2-2x)=0，整理得3x2+(λ-1)y2-(12+2λ)x+4y+8=0，而點(diǎn)A(2,2)處的拋物線y2=2x的切線方程AG為x-2y+2=0，設(shè)BC的直線方程為ax+by+c=0，則過(guò)AG，BC的退化的二次曲線方程為(ax+by+c)(x-2y+2)=0與3x2+(λ-1)y2-(12+2λ)x+4y+8=0相同，比較對(duì)應(yīng)系數(shù)得a=3,b=6,c=4，從而直線BC的方程為3x+6y+4=0，故選B.

點(diǎn)評(píng)：解法四、解法五均用到了曲線系的思想來(lái)處理這道題，當(dāng)然解法五也可以通過(guò)因式分解化成兩個(gè)關(guān)于x,y的一次方程的乘積的形式，也可以將切線AG和直線BC的組合曲線與拋物線組成新的曲線系，即是(x-2y+2)(ax+by+c)+μ(y2-2x)=0，此曲線系表示直線AB和AC的方程3(x-2)2-(y-2)2=0，比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)即可.

上述的5種解題思路是充分理解了問(wèn)題解決的目標(biāo)、靈活抓住問(wèn)題條件中不同的數(shù)學(xué)形式表達(dá)，明算理、優(yōu)方法指導(dǎo)下的一次解題歷練.一題多解，不是解題追求的目標(biāo)，更重要的是提煉解決問(wèn)題的通性通法，形成數(shù)學(xué)的方法與思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

三、問(wèn)題推廣

以解法三作為基礎(chǔ)，進(jìn)行拓展，得到圓錐曲線的一般規(guī)律.

結(jié)論1：圓錐曲線的弦AB的斜率k可由該弦的中點(diǎn)坐標(biāo)P(x0,y0)來(lái)表示.

結(jié)論2：已知圓錐曲線上的一個(gè)定點(diǎn)A(x0，y0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B，C(不與A重合)，若直線AB和直線AC的斜率之積為常數(shù)λ，即kAB·kAC=λ(λ≠0).

證明：①設(shè)直線AB的方程為m(x-x0)+n(y-y0)=1，

上式變?yōu)閎2(x-x0)2+a2(y-y0)2+2b2x0(x-x0)+2a2y0(y-y0)=0，

所以b2(x-x0)2+a2(y-y0)2+[2b2x0(x-x0)+2a2y0(y-y0)][m(x-x0)+n(y-y0)]=0,

得a2(1+2ny0)k2+2(a2my0+b2nx0)k+b2(2mx0+1)=0,

因?yàn)閗AB·kAC=λ(λ≠0)，所以b2(2mx0+1)=λa2(1+2ny0).

又m(x-x0)+n(y-y0)=1，與上式消去m整理得

2n[λa2y0(x-x0)+b2x0(y-y0)]+(λa2-b2)(x-x0)-2b2x0=0，

②證明只需把橢圓里的b2換成-b2即可.

四、結(jié)束語(yǔ)