山重水復(fù)疑無(wú)路 柳暗花明又一村
——從一道浙江真題管窺解析幾何教學(xué)

浙江 尹 健 沈 恒

(作者單位：浙江省湖州市第一中學(xué) 浙江省湖州市第二中學(xué))

解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考試題中的“分水嶺”.如何品鑒高考真題中的解析幾何試題呢？如何從真題中獲取教學(xué)應(yīng)該有的導(dǎo)向？命題專家在這一知識(shí)板塊中的綜合性考查是怎么實(shí)現(xiàn)的？我們的教學(xué)又該怎么調(diào)整？筆者認(rèn)為，這是每一年高考試題帶給一線教師最值得回味之處.在2020年高考中，浙江卷的解析幾何平實(shí)樸素，凸顯學(xué)生的能力，在能力立意的指導(dǎo)下，較好地區(qū)分了學(xué)生的水平和層次，值得一線教學(xué)深思.

1.問(wèn)題

(Ⅱ)若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值.

分析：本題第(Ⅱ)問(wèn)涉及三種曲線，分別是橢圓、拋物線、直線，入口比較寬泛，思維含量較低的處理方式可以從含參直線的視角入手，尋求點(diǎn)點(diǎn)之間最直接的中點(diǎn)關(guān)系，尋求消元；可以從點(diǎn)參的視角入手，這里需從拋物線上的點(diǎn)坐標(biāo)作為點(diǎn)參的基本量，尋求如何找到中點(diǎn)方式？可以是點(diǎn)差法；可以是橢圓的第三定義；也可以從對(duì)稱性的視角來(lái)處理問(wèn)題，即O，M均為中點(diǎn)，延長(zhǎng)AO交橢圓于C，則OM是中位線，橢圓的點(diǎn)差法或第三定義又躍然紙上.可以這么說(shuō)，這道浙江解析幾何試題的命制思維縝密、入口寬泛、計(jì)算適中，是不可多得的一道好題.下面我們先來(lái)看看多種常用解法.

2.解法

解法1(線參法1)：設(shè)直線l:y=kx+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，

說(shuō)明：設(shè)含參直線方程是解析幾何中常用的方法，也是學(xué)生最擅長(zhǎng)的方式，因此學(xué)生突破本題時(shí)，最容易想到的正是此方法.但是由于題目條件的限制，所以大部分考生只能設(shè)直線l的方程為y=kx+b，這樣的直線方程含有兩個(gè)參數(shù)k和b.這就導(dǎo)致了在后續(xù)的解題過(guò)程中，當(dāng)務(wù)之急是要消去一個(gè)參數(shù)，顯然首先消去b會(huì)更加簡(jiǎn)單一點(diǎn).但是在具體過(guò)程中需要首先聯(lián)立橢圓C1與直線l的方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理與中點(diǎn)性質(zhì)之后得出M的坐標(biāo)，最后將M帶入拋物線C2的方程才能達(dá)到消去參數(shù)b的目的.上述過(guò)程的計(jì)算量已經(jīng)不小，然而這僅僅是解決該題的第一步，因?yàn)閰?shù)k依舊存在于算式中.第二步需要聯(lián)立拋物線C2與直線l的方程，再結(jié)合韋達(dá)定理與之前的結(jié)論，才能消去k得到x1與p的第一種關(guān)系.第三步聯(lián)立橢圓C1與拋物線C2的方程(容易出差錯(cuò))，計(jì)算出x1與p的另一種關(guān)系.從而結(jié)合兩種關(guān)系消去x1得到最終答案.在上述過(guò)程中需要聯(lián)立三次方程，這是線參不可避免的，因?yàn)锳是橢圓C1與直線l與拋物線C2三條線的交點(diǎn)，而聯(lián)立的目的是為了依次將三個(gè)參數(shù)k，b和x1消去.可以看出本解法的最大的優(yōu)勢(shì)是思維量較低，但最大的弊端在于計(jì)算量過(guò)大，而且計(jì)算過(guò)程也比較的復(fù)雜.為了簡(jiǎn)化計(jì)算的過(guò)程，可以改變直線l的設(shè)法.

說(shuō)明：在拋物線的方程類型為y2=2px(p>0)時(shí)，設(shè)直線方程為x=my+t是一種常用的方式.本解法與解法一類似，但是由于設(shè)直線l為x=my+t，中間的計(jì)算過(guò)程所含的字母表示比較簡(jiǎn)單，因此可以縮短解題時(shí)間.但是不論如何，只要采用此方法，都不可避免地要設(shè)出含兩個(gè)參數(shù)的直線方程，總體而言運(yùn)算量還是較點(diǎn)參更多.考慮到本題是曲線弦的中點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生較為自然的也能想到另一種方法常見(jiàn)的解法——點(diǎn)差法.

解法3(點(diǎn)差法1)：設(shè)直線l的斜率為k，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，

說(shuō)明：有關(guān)曲線弦的中點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)差法是一種比較快捷、實(shí)用的方法.因?yàn)槿齻€(gè)點(diǎn)涉及兩個(gè)曲線，因此這里需要用到兩次點(diǎn)差，相比于前面的線參法，點(diǎn)差法的最大優(yōu)勢(shì)在于可以減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，直接得到變量之間的關(guān)系，從而大大減少了解析幾何問(wèn)題的運(yùn)算量.但是我們繼續(xù)研究本題會(huì)發(fā)現(xiàn)，題目中出現(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)A，B，M它們的地位是不一樣的，因?yàn)锳是橢圓C1與直線l與拋物線C2三條線的交點(diǎn)，顯然A是最關(guān)鍵的點(diǎn).那么B，M比較一下我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)M的地位會(huì)高一些，因?yàn)樗窍业闹悬c(diǎn)，上述三種解法也證實(shí)了我們的想法，因?yàn)樵诮忸}過(guò)程中B(x2,y2)出現(xiàn)的次數(shù)和使用率是很低的.但是我們卻在用A，B的坐標(biāo)來(lái)表示M的坐標(biāo)，這顯然不太合理，所以我們接下來(lái)試試用A，M的坐標(biāo)來(lái)表示B的坐標(biāo).

則m2+am+8p2=0，Δ=a2-32p2≥0，

說(shuō)明：可以看到，當(dāng)我們改了設(shè)點(diǎn)的先后順序之后，將原來(lái)的兩次點(diǎn)差減少為一次，進(jìn)一步減少了運(yùn)算量.而且本解法除了改了設(shè)點(diǎn)的先后順序之外，還利用曲線的方程直接用同一變量表示點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，這樣解題就更加直觀，計(jì)算時(shí)也就進(jìn)一步減少了計(jì)算步驟.雖然此時(shí)我們已經(jīng)將計(jì)算的過(guò)程壓縮到了很少的地步，但是以上四種解法都只是停留在數(shù)值計(jì)算的層面上，或者可以說(shuō)僅僅是“多參數(shù)的游戲”而已，并沒(méi)有結(jié)合圖形的相關(guān)性質(zhì).所以如果將圖形的性質(zhì)考慮進(jìn)去，是否還可以進(jìn)一步優(yōu)化解題過(guò)程呢？

說(shuō)明：比較解法5與解法4，我們可以利用橢圓的第三定義，將原來(lái)在解法4中點(diǎn)差法花的時(shí)間大大縮減(橢圓第三定義可以用點(diǎn)差法推導(dǎo))，在解法5中可以直接得出，這樣進(jìn)一步縮短了解決問(wèn)題的時(shí)間，因此我們深深地認(rèn)識(shí)到，解析幾何具有代數(shù)和幾何的雙重身份，將兩者結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題，往往是解題的最佳方案.

3.對(duì)比

命題組對(duì)試題的命制是考慮周全的，解決問(wèn)題的切入口是開闊的.這就凸顯了高考命題一直是以通性通法為基本依據(jù)，透過(guò)本題我們思考高三的解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)該怎么做呢？讓我們從上述常規(guī)的解法中來(lái)判斷、辨別和思考(如下表)：

解法1解法2解法3解法4解法5優(yōu)點(diǎn)思維較為直觀,斜截式是學(xué)生最常用的直線方程,一般學(xué)生均能沿著這一思路走下去 對(duì)開口向右的拋物線,一般教學(xué)建議使用橫截式直線方程與之聯(lián)立 點(diǎn)差法是中點(diǎn)弦問(wèn)題的特殊專用解法,利用中點(diǎn)、斜率和坐標(biāo)三者關(guān)系是關(guān)鍵減少參數(shù)的點(diǎn)差法,運(yùn)算量相對(duì)也會(huì)減少運(yùn)算量相對(duì)較小,對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)了解較多,第三定義的使用更是精妙

續(xù)表

4.建議

解析幾何的常規(guī)知識(shí)基本為學(xué)生熟知，但是對(duì)于學(xué)生而言往往存在“山重水復(fù)疑無(wú)路”的情形，筆者將其歸結(jié)為三種癥結(jié)：

思考山重水復(fù)疑無(wú)路癥結(jié)線參方式“懂而不會(huì)”點(diǎn)參方式“明而不懂”幾何性質(zhì)“聽(tīng)而不用”學(xué)生懂這一方式,但是浙江卷近年高考真題在線參方式下的求解過(guò)程往往是煩瑣的,能算到最后的學(xué)生少之又少,這里涉及如何消參、整體替換、坐標(biāo)巧解等一系列基本功,故學(xué)生懂而不會(huì)近年浙江真題在點(diǎn)參方式下往往具備優(yōu)化運(yùn)算的特點(diǎn),但是學(xué)生從解析幾何學(xué)習(xí)之初用點(diǎn)參較少,學(xué)習(xí)過(guò)程中往往聽(tīng)教師演繹多、操作少,故學(xué)生明白但是不懂復(fù)習(xí)階段中必定會(huì)涉及很多圓錐曲線的幾何性質(zhì),如對(duì)稱性、極點(diǎn)極線、阿基米德三角形、第三定義等一系列優(yōu)化后的二級(jí)結(jié)論,學(xué)生能聽(tīng)懂,但是用得很少,故聽(tīng)而不會(huì)用

續(xù)表