基于模型預測的PMSM速度環PI自整定控制

彭穎濤， 陸 可

(西南交通大學 電氣工程學院，四川 成都 611756)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)具有體積小、效率高、功率密度大等特點，廣泛應用于工業和交流傳動領域。其中矢量控制因為直流電壓利用率高、電流諧波分量小等特點受到廣泛關注[1]。模型預測控制(MPC)是一種比較先進的基于模型的控制方法，主要分為連續集模型預測控制(CCS-MPC)和有限集模型預測控制(FCS-MPC)。FCS-MPC算法省略了脈沖寬度調制環節，直接產生開關信號，控制更加簡單快速，且比矢量控制可以得到更好的動態響應性能[2]。

傳統模型預測電流控制，通過離散化電流狀態方程選取最優成本函數所對應的開關狀態作為輸出。由于性能表現一般，牛里等[3]提出魯棒電流預測算法，進而提高電機魯棒性。模型預測磁鏈控制，通過對模型預測轉矩控制進行改進，將求解轉矩和磁鏈幅值的目標函數轉化為求磁鏈矢量的方式來避免權重系數難以設計的問題[4-6]。

在PMSM運行過程中，難以避免的會因為工作狀況或外界環節的改變而產生不同程度的擾動，影響電機的動靜態響應性能。王喜蓮等[7-8]為降低轉矩波動，針對電流環采用小信號分析法、典型Ⅰ型系統整定法設計PI參數自適應調節器。王莉娜等[9-10]則針對傳統雙閉環控制系統，從頻域模型角度分析開環截止頻率和相角裕度來設計PI自整定控制器。

綜上所述，本文提出了一種改進FCS-MPC系統，利用反饋控制減小電流差拍干擾的作用，所提FCS-MPC實現了較好的控制。為了增強對負載轉矩干擾和參數擾動的魯棒性，進行轉速環PI參數的自整定控制方案設計。針對實際系統中的電流約束問題，仿真中設置限幅器對控制系統進行控制，后續可以通過選取較大裕量元器件和結合程序控制中加入電流限制模塊實現電流的約束。

1 模型預測優化控制

在傳統模型預測電流控制策略中，有近似式為

(1)

在離散化處理時利用式(1)近似處理狀態微分方程得到預測模型[11]。因此，雖然模型預測電流控制響應迅速但是受到參數變動的影響比較明顯[12]。而基于磁鏈的FCS-MPC，由于磁鏈與電流電感的關系也會一定程度地影響響應性能[13]。本文在磁鏈預測控制的基礎上，將輸出狀態反饋輸入到電流預測模型以得到磁鏈模型對應的k+1時刻電流值，再以此電流作為磁鏈預測控制的輸入，從而使得磁鏈微分近似式與變化阻感參數相乘得到的k+2時刻預測磁鏈變化相對平緩，開關矢量輸出更加穩定，達到增強穩態性能的效果，構成的控制框圖如圖1所示。

圖1 改進FCS-MPC框圖

該方法中，通過將電機電壓方程轉化為電流的離散模型，再根據電流與磁鏈的關系進一步得到磁鏈的離散狀態方程:

(2)

將電流模型預測值代入式(2)狀態方程進行計算，再選擇成本函數為

(3)

通過成本函數中磁鏈的模差值計算可以得到期望的輸出狀態。計算得到最小成本函數下的開關管狀態，使得控制效果達到最好。

2 轉速環PI參數自整定

2.1 電機等效模型

分析一個控制系統的數學模型是實現整個控制過程穩定運行的重要基礎。而在PMSM閉環控制系統中，分析得到電機速度環的傳遞函數是至關重要的一個環節。在圖1中，可以得到系統的傳遞函數模型，將整個閉環控制系統按照功能拆分，依次為電機模型、轉速環PI控制器、電流電壓位置信號采樣、FCS-MPC、三相逆變器這5個具體的小模型，通過簡化處理得到各自的傳遞函數。進而得到整個電機閉環控制系統的的等效傳遞函數。

分析PMSM的電壓狀態方程，主要由阻感電壓和反電動勢構成:

(4)

對式(4)進行分析，經過拉普拉斯變換得到頻域函數，電機輸入三相電壓信號，采集輸出得到各相的電流信號，從而可以得到該PMSM的等效傳遞函數為

(5)

式中:L/R為電機時間常數。

式(5)為一個一階慣性環節，組成整個控制環的一部分。

PI控制器部分可以簡化為以下放大環節和積分環節的組合，該速度環的PI控制器等效傳函為

(6)

式中:KP、KI為控制器的比例系數和積分系數。

采用的FCS-MPC和逆變器部分可以等效為類似SVPWM的一個一階慣性環節，主要作用是將經過PI環節處理得到的轉矩值經過該環節轉換成電機的電壓電流值，因此該環節的等效傳函為

(7)

式中:K1為改進FCS-MPC的增益系數;Tcf為控制方法的時間常數。

電流電壓位置信號采樣環節，實現電流到轉矩的轉換，根據電機機械方程到轉速的轉變過程，其傳遞函數為

(8)

式中:J為轉動慣量;K2為速度采樣的采樣系數;K′t為負載轉矩系數，K′t=KtTL/TeN；TeN為額定轉矩。

整合上文的傳遞函數得到整個閉環控制系統的等效框圖如圖2所示。

圖2 PMSM轉速環系統框圖

綜合以上各小模型傳遞函數可以得到電機控制速度環的整個傳遞函數為

(9)

對該系統傳函進行對應的分析，進而為轉速環PI參數的自整定做準備。

2.2 抗負載轉矩波動的PI自整定

2.2.1 負載轉矩辨識

電機在運行過程中，所處的工況不同，除開空載狀況外，負載轉矩的變化直接影響控制效果，因而速度環PI參數的自整定很大程度上就是基于負載轉矩的變化而進行的。因此，進行基于負載波動的速度環PI參數自整定需要構建負載轉矩觀測器。PMSM機械方程和電磁轉矩方程為

(10)

(11)

采用構建觀測器的方法進行負載轉矩的實時觀測[14]，具體分析如下：根據dθ/dt=ωm和式(10)～式(11)分析構建如下觀測器:

(12)

觀測器的輸入變量為機械角位置，狀態變量為機械角速度、機械角位置和負載轉矩，現只需實時觀測電機的負載轉矩，簡化為

(13)

觀測器模型為

(14)

由式(13)和式(14)可得：

(15)

設系數矩陣為A，則有:

det[sI-A]=s2+(k1+B/J)s-k2/J=0

(16)

選取合適的期望極點α,β,使得系統保持穩定,即:

s2-(α+β)s+αβ=0

(17)

聯立式(16)、式(17)求得：

(18)

由以上各式推導可以得到電機狀態方程:

(19)

根據狀態方程分析，選擇極點位置可得負載轉矩觀測器觀測模型如圖3所示。

圖3 負載轉矩觀測器框圖

2.2.2 頻率特性分析法

為了使電機在負載轉矩發生突變時仍能夠快速的響應工作，需要對該轉速環PI參數進行調節。因此,在得到系統的傳遞函數之后就可以通過頻率特性法結合最優控制理論得到PI控制參數與控制穩定性的關系，進一步分析可以到到定量的解析計算式，從而實現完整的自整定控制過程。

(20)

不妨令

(21)

將式(9)進行整理，分解成調節器環節和其他環節，因為2個慣性環節均是小慣性環節，可以近似合并為一個慣性環節。整理為

(22)

令

(23)

(24)

(25)

(26)

因而系統傳遞函數的總幅頻特性和相頻特性可表示為

(27)

∠Gs=-Qs-phase-Qs-p

(28)

(29)

(30)

通過式(30)便能得到基于模型的參數整定值。當負載轉矩發生波動時，可自動調節參數滿足幅頻和相頻特性，使系統具有較好的動態性能。

2.3 抗參數擾動的PI自整定

2.3.1 阻感參數辨識

在負載轉矩跟蹤控制確定電機控制PI參數大致值確定的情況下，由于電機運行狀況以及工作環境的不確定性，電機的阻感參數會隨著電機的運行而發生一定的改變，這時需要對電機控制PI參數進行調節使控制效果更加優越。因此文中使用帶有遺忘因子的遞推最小二乘法進行電機參數的在線辨識[15]。該方法的遞推結構表達式為

(31)

式中:θ為待辨識參數矩陣;L為增益矩陣;P為協方差矩陣;λ為遺忘因子。

通過以上遞推算法的基本架構，結合PMSM的電壓狀態方程，得到需要的狀態方程:

(32)

式中：θ為需要辨識的部分；y為輸出測量部分，y=xTθ；xT為需要的輸入量部分。

通過狀態方程式(32)，代入遞推最小二乘法的迭代式，就可以跟蹤到電機的電阻電感參數值，進行后續的控制環節。

2.3.2 典型Ⅱ型系統分析法

為使電機在阻感參數擾動時產生的擾動盡可能小，需要對該轉速環PI參數進行調節。因此,在得到了完整的傳遞函數之后，通過典型系統分析方法得到PI控制參數與系統動態穩定性的關系，進一步分析可以得到定量的控制解析表達式，實現整個完整的自整定控制方案，使得電機的參數魯棒性提高。

圖4為典型Ⅱ型系統的幅頻特性圖，典型傳遞函數表示為

圖4 典型Ⅱ型系統幅頻特性圖

(33)

式中:τ和T為時間常數。采用“振蕩指標法”中的閉環幅頻特性峰值最小準則，可以找到2個時間常數的最佳配合，即τ=hT。

將系統的調節器環節等效轉換為

(34)

因而可將整個傳遞函數式(9)校正成典型Ⅱ型系統的形式為

(35)

K是增益集合，表達式為

(36)

由典型Ⅱ型系統動態抗擾性能指標與參數的關系可知，取h的值為4時動態抗擾性能最佳，參數關系符合最小Mr準則[16]；將系統校正成三階“最佳”系統，則:

(37)

聯立式(36)、式(37)可得：

(38)

由等效轉換式(34)可知KI=KP/τ,從而根據該PI整定解析計算式得到需要的整定參數值。

3 仿真分析

3.1 負載轉矩變化驗證

仿真時給定轉速為1 500 r/min，初始負載轉矩為10 N·m，t=2 s時負載轉矩從10 N·m突變為20 N·m，t=4 s時變為30 N·m，t=6 s時再變為25 N·m，仿真時長為10 s，并調節轉速PI到合適值使跟蹤較快且無超調。

通過觀察仿真圖5，在傳統矢量控制中，為了保證初始響應的性能，往往設置較小的PI參數值，這樣在面對負載轉矩突變時會發生抖動且不能快速恢復。圖6采用改進的FCS-MPC相對矢量控制在抖動幅度上有一定改善但調節時間還是較長。在轉矩觀測器下得到的負載轉矩變化如圖7所示。圖8中采用基于負載轉矩的頻率法轉速環PI參數自整定控制，設置和改進FCS-MPC一樣的初始控制參數，后續控制參數由整定解析式計算得到，可以看出在轉矩發生波動時，轉速波動變小且恢復時間短。同時在負載轉矩觀測模型中，因為轉速變化率的影響，所以當轉速以一定斜率緩慢變化時，觀測到的負載轉矩產生了誤差，因而需要避免長時間的轉速斜坡變換。

圖5 負載轉矩波動下矢量控制轉速響應

圖6 負載轉矩波動下改進模型預測控制轉速響應

圖7 負載轉矩觀測圖

圖8 抗轉矩波動PI自整定轉速圖

3.2 參數變化自整定控制驗證

仿真時給定轉速為1 500 r/min，初始阻感參數分別設置為3 Ω、0.01 H，t=3 s時定子電阻從3 Ω突變為4.5 Ω，t=4 s時電感從0.01 H變為0.015 H，t=5 s時電阻再突變為6 Ω，t=7 s時定子電阻變為4 Ω，t=8 s時電感變化為0.012 H，仿真時長為10 s。

在負載轉矩等大擾動驗證結束的情況下，對阻感參數擾動進行仿真驗證。觀察圖9可以看出相較于負載波動，阻感參數的擾動使轉速波動減小，且方向均與阻感變化方向相反，大小與變化幅度正相關。然后圖10中采用改進FCS-MPC，幅度減小，但調節時間依舊較長。基于遞推最小二乘法的電機阻感參數辨識結果如圖11、圖12所示。觀察基于典型Ⅱ型系統校正法得到的轉速環PI參數自整定控制，如圖13所示，因阻感參數擾動引起的轉速抖動變得很小且恢復很快，魯棒性得到明顯提升。

圖9 參數擾動下矢量控制轉速響應

圖10 參數擾動下改進模型預測控制轉速響應

圖11 電阻參數辨識圖

圖12 電感參數辨識圖

圖13 抗參數擾動PI自整定轉速圖

4 結 語

通過對2種電機實際工作中可能遇到的變動工況進行自整定控制方案的仿真驗證。當負載轉矩發生突變時，采用基于頻率法的PI參數自整定控制使整個系統的頻率特性帶寬和相角裕度保持穩定，能夠得到更加優良的響應性能。在針對電機參數的小擾動工況分析中，采用校正為典型Ⅱ型系統的方法進行分析，確定PI自整定控制參數的解析式，同樣從仿真結果中可以得知有較明顯的效果，驗證了理論控制策略的正確性和有效性。