基于差商的插值法拓展思路與教學方法研究

鄒 樂，吳志澤，謝 進，檀 明，王曉峰

(合肥學院 人工智能與大數據學院，安徽 合肥 230601)

計算方法又稱數值分析、數值計算方法，是一門科學有效計算各種數學問題的數值近似解的課程，具有工程應用的嚴密科學性和高度廣泛性的特點[1-2]。函數插值與逼近論歷史悠久，而插值問題是計算數學中的一個最基礎的問題。插值問題是指根據給定的離散數據構造一個連續定義的簡單函數，使得它與被逼近的函數在給定點的值完全一致。在已知數據點較少時，插值技術在工程實踐和科學實驗中有著廣泛而又重要的應用，如建筑工程的外觀設計、圖像恢復圖像重建、根據離散數據繪制光滑曲線、物理實驗中的數據分析與處理、地理信息數據的處理、數值逼近、構造圓弧、圖像縮放、圖像變形、圖像配準等[3]。在數字圖像處理的問題中，使用插值方法處理圖像重建等，能有效培養學生的科學探究能力、創新思維和計算思維能力[4]。

插值問題在教科書中一般的提法是[2]：若通過某種方法己知函數y=f(x)在區間[a,b]上的一組對應關系{(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}，插值的目的是根據給定數據，尋找一個解析函數P(x)近似地代替f(x)。鑒于多項式具有良好的性質，研究較多的是多項式函數。計算方法課程中主要介紹的是Lagrange多項式，Newton多項式和Hermite多項式三種常見的插值方法[1-2]。本文以Newton插值多項式為基礎，結合計算方法課程教學實踐和最新的插值研究科研成果，拓展計算方法課程中傳統的插值教學方法。首先，基于構造法引導學生探索基于反差商的連分式插值方法，然后，探討構造基于含參數差商的Newton型插值多項式，最后，研究基于含參數反差商的Thiele型連分式有理插值的構造過程，并給出插值法的多元推廣等進一步拓展思路。本文以全新的視角探索計算方法課程中插值與逼近的教學方法，致力于培養學生的計算思維、創新思維與科研探索精神。

1 基于差商的插值法拓展思路分析

1.1 Newton插值多項式

Lagrange插值公式是一種常用的插值公式，構造簡單，但在增加插值結點時插值基函數li(x)(i=0,1,…,n)全部要重新構造，不便于實際應用。為了克服上述缺點，在一般的教材中給出了Newton插值多項式如式(1)所示。[2]

Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

(1)

其中系數f(x0),f[x0,x1],…,f[x0,x1,…,xn]是f(x)的各階差商。

表1 差商表

由多項式的唯一性定理[1]，在n+1個點x0,x1,…xn上構造給定插值數據的次數不超過n的多項式是唯一的。但對于Newton插值公式來說，當增加一個插值節點時，只需在Newton插值多項式的后面添加一項即可，但當節點較多時，高次插值多項式具有不穩定性[2]。

1.2 Thiele插值連分式

為了解決高次插值多項式不穩定性問題，在計算方法課程教學過程中，在基于差商的Newton插值多項式基礎上，啟發學生思考，將差商倒過來引入反差商，探索有理插值問題，將科學探究精神有機地融入教學過程中，達到潤物無聲的育人效果。

由上述公式確定的φ[x0,x1,…,xk]為函數f(x)在點x0,x1,x2,…,xk處的k階反差商。可得反差商表如表2所示。

表2 反差商表

基于表2反差商，可以構造Thiele連分式有理插值[2-3]如式(2)所示。

令

φ[xi]=f(xi),i=0,1,2,…,n

(2)

(3)

…

(4)

(5)

其中φ[x0,x1,…,xk]≠0，∞；k=0,1,…,n。為f(x)在x0,x1,…,xk處的k階反差商，易證Rn(xi)=f(xi),i=0,1,…,n。

由Thiele連分式插值理論，由(5)式得到的有理插值可以解決了插值多項式的高次不穩定問題，但由(4)式知，k階反差商φ[x0,x1,…,xk]在構造過程中可能會出現不存在問題，且構造的有理插值可能會存在不可達點[5]。

1.3 含參數Thiele連分式插值

為了解決反差商不存在或者有理插值的不可達點這類特殊插值問題，引導學生發現此類問題的關鍵所在，培養學生的創新意識和嚴謹細致的工作作風，鍛煉學生的理性思維能力。結合教學實踐和最新的插值研究科研成果，給出幾種常見的解決方法：①調整插值節點[6]，②用差商代替反差商[7]，③用塊反差商代替反差商[3,8]。這幾種方法雖然避免了反差商不存在的問題，但是存在不能事先確定調整哪個節點，在何時利用差商代替反差商等問題。近年來，李和Zou等[5,9]提出了含參數的Thiele連分式有理插值，與上述方法相比，含參數的Thiele連分式插值的計算方法更簡便實用，便于學生理解和計算機編程實現。

含參數Thiele連分式插值可以分為單個參數和多個參數的情形。含多個參數的情形中一般僅研究雙參數情形，而含雙參數的一元Thiele型插值多項式的構造又分為含單個三重節點參數化Thiele型連分式插值和含雙二重節點參數化Thiele型連分式插值。本節以含單個參數的Thiele連分式插值為例展示含參數差商的構造過程，培養學生的科研創新意識。

考慮將原插值數據點中的任意一點(xk,yk),(k=0,1,…,n)看作一個二重結點，其它插值節點的重數保持不變。

令

(6)

當j=1,…,k+1，對于i=j,j+1,…,n，如式(7)所示。

(7)

對于i=k+1,k+2,…,n，如式(8)所示。

(8)

當j=k+2,k+3,…,n，對于i=j,j+1,…,n，如式(9)所示。

(9)

可以構造如下形式的含參數λ的Thiele型連分式有理插值，如式(10)所示。

(10)

相應于式(6)-(10)的反差商表如表3所示。

表3 含單參數反差商表

下面定理1說明了構造的插值公式(9)是滿足插值條件的。

定理1 對于給定的離散各節點互不相同的插值數據{(x0,y0),(x1,y1),L,(xn,yn)}，由式(10)所確定的Thiele型連分式有理插值函數滿足插值條件，如式(11)所示。

(11)

當i=k+1時，

當n≥i≥k+2時，

從反差商表3中可以看出，與原Thiele連分式有理插值式(5)相應的反差商表2相比較，兩表中元素的上半部分(k+1行)和左半部分(k+2列)是相同的，即表3中含參數的反差商表僅僅是在反差商表2中增加了一行。不同之處在于第k+2行的增加，導致自第k+2行和第k+3行開始發生了變化，定理1的證明與原Thiele連分式有理插值定理的證明完全類似。這種構造含參數反差商的思路，不僅有助于學生打牢基礎理論知識，激發學生的學習積極性，而且能培養學生除舊布新的創新意識和能力，求真務實的科學精神和嚴謹細致的工作作風。

1.4 含參數Newton插值多項式

類似于1.3節中的討論，基于同樣的構造思路可以得到含單參數的差商表如表4所示。

表4 含單參數差商表

考慮將原插值數據點中的任意一點(xk,yk),(k=0,1,…,n)作為一個二重結點，其它插值節點的重數保持不變。含參數Newton插值多項式可利用下列算法構造。

Step5：基于含參數差商表4和Step1—Step4中含參數差商式構造如下形式的含單參數的Newton型插值多項式[10]如式(12)所示。

(12)

其中

下面定理2說明了構造的含參數Newton插值公式(12)是滿足插值條件的。

定理2 對于給定的離散各節點互不相同的插值數據{(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}，由(13)式所確定的Newton插值多項式函數滿足插值條件如式(13)所示。

(13)

當i=k+1時，

當n≥i≥k+2時，

由于新構造的參數化Newton插值多項式和Thiele連分式插值中均含有參數，在插值數據給定的前提下，可以通過調節參數獲得多個插值函數，使其在易于應用的同時便于理論研究。在不改變給定插值數據的前提下，在參數化Newton插值多項式和Thiele連分式插值函數中，選擇合適的參數可以對插值區域內的任意點的函數值進行調整，進而修改曲線的形狀，因此可將其應用于曲線設計，根據實際設計需要，自由地修改曲線形狀，使之滿足實際需要[9-10]。在實際教學過程中，這種在差商和反差商的構造過程中增加參數的思路學生易于接受，能培養學生用于探索的科研精神。

1.5 基于差商的插值法進一步拓展方法研究

在1.1-1.4節中，基于遞歸計算的差商方法，我們探討構造了幾種一元基于反差商和含參數的差商(反差商)的插值方法。事實上，基于1.1-1.4節中差商表的構造方法，我們可以繼續引導學生對差商進行拓展，構造混合差商、關聯差商、差商指、基于塊的差商等多種新型差商，進而得到出多種一元混合有理插值公式[3,7-11]。此外，在實際應用中，多元插值出現較為普遍，因此在教學過程中，引導學生將二元插值看成先沿x方向的插值再沿y方向的插值，或者看成先沿y方向的插值再沿x方向的插值，基于上述各種擴展思路可以構造多種二元混合有理插值[3,8,11]。在實際教學過程中，我們還可以將標準的Hermite插值問題都歸結到Newton插值公式上[12-13]，而且可以高效的解決問題。此外，在一些實際的插值問題中，如果已知的插值數據在一部分節點處給出了函數值和導數值，在另一部分節點處只給出了函數值，仍屬于Hermite插值問題，一般稱之為不完全Hermite插值或者間接Hermite插值或非標準Hermite插值問題。對于這種問題學者們給出一些求解方法，但都較為復雜，不利于理解。事實上，對于非標準Hermite插值[12-13]，我們可以通過引入參數構造重節點差商的方法，使非標準Hermite插值轉化為標準Hermite插值進而求解。

構造法是一種技巧性很高的處理問題方法，可以化抽象為直觀，化復雜為簡單，加深學生對插值教學內容的理解和掌握。插值法拓展使用的構造法是計算思維中的一種經典的處理問題方法，核心是通過聯想和劃歸的思想，根據題設條件的特征恰當構造一種新的方法來解決問題[14]。插值法公式特別多，學生學習掌握起來有一定的難度，為此，在教學實踐過程中，通過引入構造法思想結合最新的插值理論科研成果，加深學生對教學內容的理解，激發學生的學習興趣。在插值構造過程中讓學生比較不同插值方法之間的區別與聯系，學生能夠較為容易的掌握大量繁瑣公式。

2 數值例子

本節給出一個簡單的數值例子說明第2節中幾種基于差商的插值法拓展公式的有效性。

例.設給定一元插值數據如表5所示。

表5 插值數據

根據差商公式[2]可得差商表如表6所示。

表6 差商表

根據含參數差商公式(12)-(17)可得含單參數差商表如表7所示。

表7 含參數差商表

根據差商公式(2)-(4)可得反差商表如表8所示。

表8 反差商表

根據差商公式(6)-(10)可得含單參數反差商表如表9所示。

表9 含參數反差商表

由差商表6可得到Newton插值多項式，如式(14)所示。

(14)

由差商表7可得到含單參數Newton插值多項式，如式(15)所示。

(15)

易證P(xi)=P1(x) (i=0,1,2)。

由反差商表8可得到Thiele連分式有理插值，如式(16)所示。

(16)

由于r(x0)=r(2)=0≠1，(2,1)是一個不可達點。

利用文中1.3節算法，增加節點的重數，引入參數λ(λ≠0)，得到如表9所示的含單參數反差商表，可以得到參數化Thiele型連分式有理插值，如式(17)所示。

(17)

易證R2(xi)=fi(i=0,1,2)。

因此通過選擇不同的參數λ，新構造的有理函數R2(x)總是滿足插值條件。由于新構造的滿足插值條件的Thiele連分式插值函數中均含有參數，R2(x)實際上是多個有理函數，如果我們選擇λ=-1，則如式(18)所示。

(18)

如果我們選擇λ=3，則如式(19)所示。

(19)

我們還可以選擇其他的參數α，λ，參數化插值P1(x)和R2(x)可以變為其他的函數，方便在實際中使用。

3 結論

針對計算方法課程中Newton插值多項式方法的特點，本文對差商的幾種改進方法從構造思路上進行拓展，研究探討了構造法在插值理論教學實踐中的應用，得到了Thiele有理插值、含參數Newton插值多項式和Thiele連分式有理插值方法。闡述了如何利用計算思維中的構造法思想培養學生的創新思維，提高學生解決實際問題的能力，形成和發展學生數學思維，提高插值與逼近法的教學質量。數值算例使學生更加深刻的理解插值構造過程，通過教學實踐和最新的插值理論研究科研成果演示，基于構造法的插值理論拓展與教學方法有助于培養學生的創新和團結協作精神，訓練學生科學思維方法，提升學生的創新思維和探索精神，激發學生科技報國的使命擔當和家國情懷。