例談輔助圓的生成條件及應用策略

張興旺

【摘要】在初中幾何題中有這么一種類型的題，從已知條件和結論中看，都沒有牽涉到圖形圓，但如果抓住已知條件中的某些能構造輔助圓的特征，構造出輔助圓，然后利用圓的性質去推導或計算，一些煩瑣或不易的問題便迎刃而解。文章把這些題型進行分類，總結出幾種構造輔助圓的方法。

【關鍵詞】例談;輔助圓;構圓法;模型

【基金項目】福建省教育科學“十三五”規劃，2019年度常規課題，課題名稱“基于數學核心素養的‘關鍵教學點教學校本化研究”，編號：FJJKXB19-644。

在初中幾何題中有這么一種類型的題，從已知條件和結論中看，都沒有牽涉到圖形圓，若直接從已知條件出發去推導或計算，要想得到想要的結果會比較煩瑣，甚至有的無從下手。對于究竟怎樣的幾何題該選用此法，以及如何快捷地構造輔助圓等，都沒有做出明確而全面的歸納總結。筆者根據自己多年的教學心得，把這些能巧用輔助圓解題的題型按能生成輔助圓的條件進行分類，總結出以下幾種構造輔助圓的方法，希望能給大家在解題中帶來幫助和驚喜。筆者把歸納的方法輔以例題加以分析，以便大家更好地體會構造輔助圓解題的策略在解題中的實用性與高效性，感受數學中邏輯思維與構造輔助圓的統一美。

一、定義構圓法

例1：如圖1所示，已知，，求的大小。

常規思路分析：圖中有三個等腰三角形，利用等腰三角形兩底角相等的性質，易求得，接下來經過設元或引進參量，再利用三角形或四邊形內角和等數量關系，得到相應等式，進而方可求解。具體解法如下：

解法一：，，.

不妨設與相交于點，設，，

，

，，

又，，

在△中，，

在△和△中易知：，

，

，

解得：，即.

此題按以上方法來解，對學生來說確實有一定難度。但我們知道，到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓。如果從某定點出發引出的線段都相等，那么這些線段的另一個端點一定在同一個圓上，于是過這些點就可以構造出輔助圓，再利用圓的性質解題，就會發現一些復雜的問題變得如此簡單。

構圓法思路分析：上述根據圓的定義構造圓的方法稱作定義構圓法，此題根據定義構圓法作輔助圓⊙A，再根據圓的性質“同圓中，同弧所對的圓周角等于該弧所對圓心角的一半”，很快得出結果。具體解法如下：

解法二：，

、、三點在以點為圓心、長為半徑的⊙A上（如圖2示），

.

對比上述兩種方法的解答過程，可以看出，根據圓的定義構造出輔助圓來解題比常規思路方法簡捷得多，同時也從側面詮釋了掌握構圓法解題的必要性。

二、四點共圓模型構圓法

同學們在利用構圓法解題的實踐過程中常遇到要判斷某四點是否共圓。那有哪些辦法能幫助我們快速做出判斷呢？筆者把同學們經常遇到的四點能共圓的情形歸納為以下兩種數學模型，以便幫助同學們能更快速高效地做出判斷。

（一）對角互補的四邊形模型

教材中明確指出，圓內接四邊形對角互補。反過來，對角互補的四邊形，四頂點共圓嗎？答案是肯定的。我們用反證法便不難證得：一組對角互補的四邊形，四個頂點共圓。

故我們在做題時，一旦看到有一組對角互補的四邊形時，就要立馬聯想到這個四邊形的四個頂點是共圓的，再利用圓的性質來解決相關問題，思路就會豁然開朗。

例2：如圖3，在四邊形中，，，，求的正弦值。

分析：先根據“對角互補的四邊形模型”構造出輔助圓，再根據“同圓中，同弧所對的圓周角相等”，可得，所以在Rt△中求出的正弦值即可。

解：，

、、、四點在以為直徑的圓上（如圖3示）

（同圓中，同弧所對的圓周角相等）

在Rt△中，

（二）蝶翅同向角相等模型

如圖4所示的圖形如同蝴蝶的雙翅，當同向角（或）時，則、、、四點共圓。我們用反證法證明如下：

作△的外接圓⊙，假設、、、四點不共圓，則點不在⊙上，必在⊙的內部或外部。

或，這與已知條件矛盾。

、、、四點共圓。

例3：如圖5，已知△是等腰直角三角形，，點是邊的中點，將△繞點逆時針旋轉角度得到△。其中，點是點的對應點，點是點的對應點，與交于點;當從變化到時，求點運動的路徑長。

分析：本題要求出點運動的路徑長，必須先弄清楚點的路徑是什么，通過已知條件不難證得△∽△，，、、、四點共圓，又，所以點在以為直徑的圓上，運動路徑是，再利用弧長公式即可求解。

解：△繞逆時針旋轉得到△

，，

△∽△，

、、、四點共圓（根據蝶翅同向角相等模型可得）

又，是邊的中點

，點在以為直徑的⊙上，運動路徑長就是的長

，，，

點運動的路徑長為。

三、三點含動構圓法

這類題常常牽涉三個點之間的關系，其中一定包含滿足某些條件的一個或兩個動點，題目條件介紹這樣的三個點，題目的要求是要我們確定滿足條件的動點的位置或求某些量的最值或取值范圍等。解題策略是，作出由此三點（不共線）組成的三角形的外接圓或根據已知條件確定該外接圓的具體位置，然后利用圓的性質或根據與圓的交點情況來確定動點的具體位置或確定某些量的最值或取值范圍。類似這類三點含動的題型，部分會牽涉到定弦或定角問題，定弦或定角的存在就提示我們要過哪些點構造圓。

總之，一道幾何題能否用構圓法來解，關鍵是看題目條件是否符合上述三種類型的構圓條件，只要符合其中一種便可以嘗試找出圓的背景，構圓輔助圓進行解題。通過上述一些例題，相信同學們已初步體會到了構圓法解題的實用與高效。本文難免掛一漏萬，但若能拋磚引玉，亦甚感欣慰。

【參考文獻】

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