“做數(shù)學(xué)”:中小學(xué)生適合教育的實(shí)踐構(gòu)建①

【編者按】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)究竟應(yīng)該以怎樣的方式進(jìn)行？ 數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特育人價(jià)值能夠在怎樣的學(xué)習(xí)過程中更好地實(shí)現(xiàn)？ 基于中國傳統(tǒng)文化“知行結(jié)合”的哲學(xué)淵源，借鑒近代以來杜威等人提出的“從做中學(xué)”理念，董林偉主任領(lǐng)銜的團(tuán)隊(duì)在對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)進(jìn)行了多年研究和實(shí)踐的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出“做數(shù)學(xué)”的主張。本期《關(guān)注》欄目的8篇文章，分別對“做數(shù)學(xué)”的概念建構(gòu)、實(shí)踐模型、理論基礎(chǔ)、育人價(jià)值進(jìn)行了深入研究，并結(jié)合具體的教學(xué)案例，對如何通過“做數(shù)學(xué)”幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)的深度理解，歷經(jīng)對數(shù)學(xué)的自主探究，體驗(yàn)對數(shù)學(xué)的實(shí)踐創(chuàng)新，給出了具體的方法和路徑;還通過教學(xué)實(shí)驗(yàn)，研究了“做數(shù)學(xué)”對學(xué)生提出問題能力以及邏輯推理、直觀想象能力的影響。

摘要：“做數(shù)學(xué)”是以“做”為支架， 通過操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等活動(dòng)，獲得數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的一種學(xué)習(xí)方式。它改變了數(shù)學(xué)知識(shí)的形態(tài)，改進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的方式， 促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知和情感的和諧發(fā)展，是構(gòu)建中小學(xué)生適合教育的學(xué)科實(shí)踐。通過將“做數(shù)學(xué)”寫進(jìn)國標(biāo)教材，研制“做數(shù)學(xué)” 系列手冊，開發(fā)課程內(nèi)容配套的系統(tǒng)學(xué)具等資源建設(shè)，助力“做數(shù)學(xué)”真正成為課堂教學(xué)的常態(tài)。

關(guān)鍵詞：“做數(shù)學(xué)”;適合教育;實(shí)踐模型;資源建設(shè)

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[科學(xué)，具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。在發(fā)展和完善的過程中，數(shù)學(xué)逐漸脫離了現(xiàn)實(shí)對象， 僅保留了數(shù)量關(guān)系和空間形式，許多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和結(jié)論很難找到具有直觀意義的現(xiàn)實(shí)原型。這給學(xué)習(xí)者的理解帶來了困難，同時(shí)也影響了學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用性的感悟。這些特點(diǎn)都使得學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了一種神秘感，進(jìn)而疏遠(yuǎn)了與數(shù)學(xué)的距離。在世界各國，“數(shù)學(xué)難學(xué)”已是一個(gè)不爭的事實(shí)。

義務(wù)教育階段的學(xué)生，尤其是小學(xué)生，其認(rèn)知發(fā)展處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段;即便是初中生，也尚未形成比較成熟的抽象邏輯思維，且生活和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)有限。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，他們往往需要利用已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，通過對研究對象的觀察、實(shí)驗(yàn)、概括、推理， 發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，揭示研究對象的本質(zhì)特征。但現(xiàn)狀卻是學(xué)生多通過聽教師講、反復(fù)記憶、重復(fù)做題來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，練得多、悟得少，對數(shù)學(xué)知識(shí)的本源缺乏理解，對數(shù)學(xué)內(nèi)在的思想方法缺少感悟，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也普遍缺乏熱情。

21 世紀(jì)初，中國啟動(dòng)了基礎(chǔ)教育新課程改革。《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》）提出，“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)…… 動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020 年）》也強(qiáng)調(diào)，要為每個(gè)學(xué)生提供適合的教育，促進(jìn)每個(gè)學(xué)生主動(dòng)地、生動(dòng)活潑地發(fā)展。因此，針對學(xué)生認(rèn)知水平、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)方式等與數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)及要求之間的落差，需要我們尋求有效的“橋梁”，為學(xué)生提供一種適合的教育。

一、“做數(shù)學(xué)”的概念建構(gòu)

早在20 世紀(jì)90 年代，我們就開始嘗試：借助“工具”，設(shè)計(jì)操作活動(dòng)，為學(xué)生搭建適合的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“支架”。

例如，借助“多米諾骨牌游戲”（如圖1所示）， 讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納法的直觀、動(dòng)態(tài)的抽象過程， 讓抽象的遞推“可視化”。再如，借助“轉(zhuǎn)圈游戲”， 讓學(xué)生親身經(jīng)歷多邊形外角和定理的發(fā)現(xiàn)過程， 在將生活情境轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的過程中形成證明的思路與方法，即：在多邊形內(nèi)取一點(diǎn)，作各邊的平行射線，構(gòu)成一個(gè)周角（如圖2所示）; 或者利用電腦軟件的動(dòng)態(tài)功能，將多邊形逐漸縮小，直到退成一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)，各外角和直觀地形成一個(gè)周角。

這類數(shù)學(xué)活動(dòng)，具有這樣一些顯著特點(diǎn)：

一是將數(shù)學(xué)的知識(shí)置于一定的現(xiàn)實(shí)情境中。這種真實(shí)的、可親近的學(xué)習(xí)環(huán)境，容易讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的訴求。

二是現(xiàn)實(shí)情境中有明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)指向。通過一定的指向性問題（任務(wù)）， 引發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)習(xí)自然發(fā)生。

三是學(xué)生必須使用一定的工具（實(shí)物模型或電腦軟件）。這些工具實(shí)質(zhì)上是實(shí)驗(yàn)對象物化了的載體，讓操作者更容易“數(shù)學(xué)化”地觀察、歸納、類比和猜想，讓思維可視化。

四是學(xué)生借助工具，通過操作、觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、交流等，調(diào)動(dòng)多種感官參與學(xué)習(xí)過程，體悟數(shù)學(xué)知識(shí)、原理和方法，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

這是一種動(dòng)手動(dòng)腦相結(jié)合的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)， 是教師引導(dǎo)學(xué)生在特定的問題（任務(wù)）情境中，借助一定的工具，以“做”為支架，通過操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等活動(dòng)，獲得數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的一種學(xué)習(xí)方式。我們稱之為“做數(shù)學(xué)”。

通過“做數(shù)學(xué)”，抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)可以轉(zhuǎn)化為具象的數(shù)學(xué)知識(shí)，結(jié)果性知識(shí)可以轉(zhuǎn)化為過程性知識(shí)，靜態(tài)的知識(shí)可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的知識(shí)，從而使數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)的形態(tài)更加符合中小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。

通過“做數(shù)學(xué)”，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式也在發(fā)生變化：變被動(dòng)接受為主動(dòng)探究;變統(tǒng)一化學(xué)習(xí)為個(gè)性化學(xué)習(xí);變離身思辨為具身體驗(yàn)，變“半腦”學(xué)習(xí)為“全腦”學(xué)習(xí)。

通過“做數(shù)學(xué)”，學(xué)生不僅獲得了抽象數(shù)學(xué)概念、歸納數(shù)學(xué)原理的直接體驗(yàn)，而且從數(shù)學(xué)法則、性質(zhì)、定理、公式等的歸納和發(fā)現(xiàn)過程中獲得了如何探究、如何發(fā)現(xiàn)的方法論感悟。

另外，“做數(shù)學(xué)”還極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，引起了學(xué)生的好奇心，使學(xué)生以一種積極的態(tài)度投入實(shí)驗(yàn)探究的活動(dòng)中。積極的情感體驗(yàn)是激發(fā)靈感的強(qiáng)大動(dòng)力，?可以促使創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生。

實(shí)踐證明，對于義務(wù)教育階段的學(xué)生來說， “做數(shù)學(xué)”無疑是他們喜歡的、適合他們的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

二、“做數(shù)學(xué)”的實(shí)踐模型

根據(jù)學(xué)段、內(nèi)容以及目標(biāo)的不同，“做數(shù)學(xué)”可以分成操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等三種不同的實(shí)踐模型。

（一）操作體驗(yàn)：讓學(xué)生在體悟的過程中獲得感知、學(xué)會(huì)抽象

中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容包含大量抽象的數(shù)學(xué)概念、原理和法則，但“傳統(tǒng)教學(xué)的特點(diǎn)，就在于往往是口頭講解，而不是從實(shí)際操作開始數(shù)學(xué)教學(xué)”（皮亞杰語）。教學(xué)過程的功利化、形式化，不能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感官參與學(xué)習(xí)活動(dòng)。學(xué)生“悟”的過程太短甚至沒有，很難對知識(shí)產(chǎn)生興趣， 也難以主動(dòng)學(xué)習(xí)，更難以養(yǎng)成專注于數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣。

改變這種現(xiàn)狀，需要在教學(xué)中增加操作體驗(yàn)類的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“感知—感悟—知識(shí)”的過程。也就是說，通過提供豐富的、真實(shí)的問題，安排動(dòng)眼觀察、動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考的任務(wù)， 引導(dǎo)學(xué)生自主活動(dòng)，獲得理解概念、規(guī)律所需的“事實(shí)”，形成對概念、規(guī)律本質(zhì)的深刻體悟;通過延長知識(shí)的獲得過程，給學(xué)生提供感悟知識(shí)精髓的時(shí)間和空間，讓學(xué)生在具身體會(huì)的過程中獲得“如何思考”的體驗(yàn)，使知識(shí)真正變成智慧，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生在探究的過程中習(xí)得方法、發(fā)展思維

促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)之一。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師注重知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)生主要是記住數(shù)學(xué)結(jié)論， 然后進(jìn)行題海式的訓(xùn)練。這樣的教學(xué)，并不利于學(xué)生的思維發(fā)展。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是“做數(shù)學(xué)”的另一種實(shí)施形態(tài)，是教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和尋找證明方法的一種學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將動(dòng)手操作和動(dòng)腦思考有機(jī)地結(jié)合在一起，實(shí)踐性和操作性是它的外部特征，通過實(shí)驗(yàn)活動(dòng)促進(jìn)思維發(fā)展則是它的內(nèi)在核心和最終歸屬。在一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，觀察與分析交織，具象與抽象并存;從實(shí)驗(yàn)前的猜想、實(shí)驗(yàn)中的思考到實(shí)驗(yàn)后的總結(jié)，都是發(fā)展學(xué)生思維的優(yōu)良環(huán)境，同時(shí)為學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)提供了空間。

借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以讓學(xué)生獲得如何探究、如何發(fā)現(xiàn)的方法論感悟，實(shí)現(xiàn)接受式、思辨式學(xué)習(xí)向探究式、體驗(yàn)式學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變;借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、用眼觀察、提出猜想、驗(yàn)證結(jié)論等環(huán)節(jié)，充分體驗(yàn)“知識(shí)從何而來”知“識(shí)是什么”“知識(shí)向何而去”的完整數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。

（三）綜合實(shí)踐：讓學(xué)生在應(yīng)用的過程中積累經(jīng)驗(yàn)、學(xué)會(huì)創(chuàng)新

一方面，學(xué)生只有認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)存在于現(xiàn)實(shí)生活中并被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，才能切實(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值;另一方面，學(xué)生正處在人生觀、價(jià)值觀形成的關(guān)鍵階段，他們不滿足于單純的書本知識(shí)的學(xué)習(xí)，具有參與社會(huì)生活的愿望和一定的社會(huì)實(shí)踐能力。拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的空間，在生活中學(xué)習(xí)，在實(shí)踐中學(xué)習(xí)，在應(yīng)用中學(xué)習(xí)，主動(dòng)地參與并服務(wù)于社會(huì)生活，成為學(xué)生身心發(fā)展的客觀要求。

“綜合實(shí)踐”是《標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》提出的課程內(nèi)容，要求學(xué)生能綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)與方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。綜合實(shí)踐”需要學(xué)生親自實(shí)踐，并在實(shí)踐中多角度地思考;需要學(xué)生相互合作，并在合作中準(zhǔn)確表達(dá)各自的想法;需要學(xué)生不斷嘗試，并在嘗試中尋找策略或提出新的問題;需要學(xué)生運(yùn)用各種工具，并且對這些工具進(jìn)行合理的選擇;需要學(xué)生互相鼓舞，共同完成任務(wù)。因此，它也是“做數(shù)學(xué)”的一種實(shí)施形態(tài)。

“綜合實(shí)踐”強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過實(shí)踐，增強(qiáng)問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，學(xué)習(xí)科學(xué)研究的方法， 發(fā)展綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，增進(jìn)與社會(huì)的聯(lián)系，培養(yǎng)社會(huì)責(zé)任感。因此，在“綜合實(shí)踐”教學(xué)中，可以結(jié)合實(shí)際情境，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、合作研究，設(shè)計(jì)解決具體問題的方案，并加以實(shí)施，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過程，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題;可以通過對有關(guān)問題的探討，引導(dǎo)學(xué)生了解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加深對有關(guān)知識(shí)的理解，進(jìn)一步發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和能力;可以通過反思、總結(jié)、交流，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體悟“數(shù)學(xué)地思考”的思想，有效促進(jìn)創(chuàng)新意識(shí)的形成。

三、做數(shù)學(xué)”的資源建設(shè)

在推進(jìn)“做數(shù)學(xué)”的實(shí)踐過程中，需要幫助教師轉(zhuǎn)變教育觀念，提高教學(xué)水平，還需要給師生提供更多適合的教學(xué)方案，以及更多適用、好用、有用的教與學(xué)的材料和工具，才能使“做數(shù)學(xué)”真正進(jìn)入常態(tài)的數(shù)學(xué)課堂，真正實(shí)現(xiàn)為學(xué)生提供適合教育的目標(biāo)。

（一）將“做數(shù)學(xué)”寫進(jìn)國標(biāo)教材，引導(dǎo)教師轉(zhuǎn)變教育觀念、改進(jìn)教學(xué)方式

2003年，我們第一次將“做數(shù)學(xué)”寫進(jìn)了國家審定通過的蘇科版初中數(shù)學(xué)教材，提出要注重“做數(shù)學(xué)”，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。由此形成了蘇科版初中數(shù)學(xué)教材的一個(gè)鮮明特色：設(shè)置豐富多彩的欄目和內(nèi)容，吸引學(xué)生“做數(shù)學(xué)”。

除了《做一做》《操作》等欄目外，教材還設(shè)置了《數(shù)學(xué)活動(dòng)》《課題學(xué)習(xí)》等欄目及章首活動(dòng)，讓學(xué)生“會(huì)做數(shù)學(xué)”;運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，如Excel、幾何畫板等，讓學(xué)生“巧做數(shù)學(xué)”;設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性、趣味性、挑戰(zhàn)性的活動(dòng)，讓學(xué)生“愛做數(shù)學(xué)”。

另外，教材還設(shè)置了《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室》專欄，分別放在一節(jié)內(nèi)容的開頭、中間、結(jié)束處，體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的三種不同的價(jià)值取向：開頭位置，利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)感受數(shù)學(xué)（抽象數(shù)學(xué)）;中間位置，利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究知識(shí)和方法（發(fā)現(xiàn)原理、規(guī)律等）;最后位置， 運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問題。

2004年9月，教材開始在江蘇、廣東、廣西等地的近百萬初一新生中使用，對引導(dǎo)教師理解新課程理念，實(shí)施“做數(shù)學(xué)”起到了促進(jìn)作用。

之后，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《（2011年版）標(biāo)準(zhǔn)》也采用了蘇科版教材的“做數(shù)學(xué)”的有效做法，明確提出了“有條件的學(xué)校可以建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐從江蘇等地走向了全國。

從《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布開始，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材系統(tǒng)規(guī)劃、增設(shè)了引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”的《動(dòng)手做》欄目。該教材在全國多個(gè)地區(qū)已有近千萬小學(xué)生使用，反響較好。

（二）研制“做數(shù)學(xué)”系列手冊，為師生提供系統(tǒng)的教學(xué)方案

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》的要求，2008年，我們就組織力量編寫了《數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)》（初中，共5 冊），供廣大教師指導(dǎo)學(xué)生的動(dòng)手操作實(shí)踐活動(dòng)使用。2010年，我們又編制了國內(nèi)首套《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》（初中，共5冊），與蘇科版教材同步。經(jīng)過3年的試點(diǎn)實(shí)踐后，分別于2014年、2015年由江蘇省中小學(xué)教材審定委員會(huì)審查通過，供全省初中學(xué)生免費(fèi)使用。《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》設(shè)計(jì)了系列實(shí)驗(yàn)方案10?多個(gè)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)方案都包括實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?shí)驗(yàn)準(zhǔn)備、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟、實(shí)驗(yàn)指南等環(huán)節(jié)，并提出了相應(yīng)的學(xué)與教建議。《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》還配套設(shè)計(jì)了部分可供實(shí)驗(yàn)使用的硬紙片和透明紙等，方便師生在課堂中使用。同時(shí)，我們還組織專家編寫了與蘇教版教材同步的《小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》共12冊），2017 年開始在江蘇全省20多萬小學(xué)生中試用。2020 年，研究小組還以“數(shù)學(xué)體驗(yàn)”為主題，編寫了《數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)手冊》（初中，共5冊）。

這些系列手冊的研制首先關(guān)注以下要素：一是操作性。學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中，要利用有關(guān)工具進(jìn)行各種操作活動(dòng);在動(dòng)手操作的活動(dòng)過程中，將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)果，達(dá)到意義建構(gòu)。二是實(shí)證性。在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生能夠?qū)ο蟆⑦^程、結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)化的描述，使物化的“做數(shù)學(xué)”形象地反映數(shù)學(xué)原理和觀念。三是探究性。做數(shù)學(xué)” 本質(zhì)上是一種解決問題的活動(dòng)，需要學(xué)生面對適度的困難開展嘗試和探索，通過觀察、分析、歸納、猜想等，獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，找到解決問題的方法，并發(fā)展創(chuàng)新思維。四是發(fā)展性。著眼于學(xué)生的發(fā)展，通過學(xué)生的參與，展示數(shù)學(xué)的探索發(fā)現(xiàn)過程， 幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)，既獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，又積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的同步增長。

“做數(shù)學(xué)”中的素材選取，需要契合教學(xué)內(nèi)容、知識(shí)點(diǎn)或活動(dòng)環(huán)節(jié)。我們按照“做數(shù)學(xué)”形式的不同，選取以下素材：一是手工操作素材。包括折紙、拼圖、裁剪、切割等。學(xué)生通過實(shí)物操作，觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，再加以分析概括、推理演繹等，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理等，或驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論，獲得數(shù)學(xué)理解。二是游戲活動(dòng)素材。有很多傳統(tǒng)經(jīng)典游戲與“做數(shù)學(xué)”有關(guān)，選取游戲素材，結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，注入新鮮元素進(jìn)行改造，可以設(shè)計(jì)出一些既似曾相識(shí)又有新創(chuàng)意的活動(dòng)，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，加深學(xué)生數(shù)學(xué)理解。三是測量建模素材。學(xué)生借助測量工具， 如皮尺、測角儀、天平等，測量數(shù)據(jù)，然后記錄、分析數(shù)據(jù)，并利用方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。測量活動(dòng)往往要走出課堂、走向社會(huì)，能夠幫助學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。四是探究發(fā)現(xiàn)素材。這種素材又分為兩類，一類是以實(shí)物為載體的探究素材，主要是借助直觀模型，模擬、再現(xiàn)問題情境，需要學(xué)生利用已有的經(jīng)驗(yàn)，選擇適當(dāng)方法，自主探究數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，有效解決現(xiàn)實(shí)生活問題;另一類是以電腦軟件為載體的探究素材，主要是利用信息技術(shù)，呈現(xiàn)教學(xué)中難以呈現(xiàn)的內(nèi)容，如圖形的運(yùn)動(dòng)和變換等，將復(fù)雜內(nèi)容層次化，把靜態(tài)圖形動(dòng)態(tài)化，從而幫助學(xué)生揭示數(shù)學(xué)內(nèi)涵，挖掘問題本質(zhì)。利用電腦軟件輔助問題探究是“做數(shù)學(xué)”的一條有效途徑。

（三）開發(fā)課程內(nèi)容配套的系統(tǒng)學(xué)具，讓“做數(shù)學(xué)”成為課堂教學(xué)的常態(tài)

“做數(shù)學(xué)”一般以動(dòng)手實(shí)踐為基點(diǎn)，需要借助一定的實(shí)物或智能學(xué)具。

實(shí)物學(xué)具，是指利用物質(zhì)材料及其所包含的數(shù)學(xué)元素、特點(diǎn)開發(fā)的學(xué)具，如網(wǎng)格紙、火柴棒、七巧板等，具有直觀、易操作、貼近學(xué)生生活等特點(diǎn)。這類學(xué)具的使用有兩方面的作用：一是通過實(shí)物學(xué)具的操作，具象化地驗(yàn)證所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)理解;二是借助實(shí)物學(xué)具的“數(shù)學(xué)化”操作，自主探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法。

智能學(xué)具，是指利用各種軟件的計(jì)算、演示、動(dòng)畫、變換等功能開發(fā)的學(xué)具，如計(jì)算器、圖形計(jì)算器、幾何畫板軟件等，具有計(jì)算功能強(qiáng)大、演示形象生動(dòng)、便于揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、可以實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)手段難以實(shí)現(xiàn)的效果等優(yōu)點(diǎn)。這類學(xué)具的使用也有兩方面的作用：一是具象化地驗(yàn)證所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和所獲得的數(shù)學(xué)結(jié)論，幫助學(xué)生理解較為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)和結(jié)論，強(qiáng)化體驗(yàn)的過程;二是借助計(jì)算功能、構(gòu)圖功能，探索、發(fā)現(xiàn)所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念和原理。有時(shí)可以作為實(shí)物學(xué)具的輔助手段。

基于常態(tài)化的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需求，依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》根據(jù)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的需要，我們系統(tǒng)研發(fā)了初中數(shù)學(xué)實(shí)物學(xué)具42 組（件）， 并編寫了教程，涉及初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容的144 個(gè)點(diǎn)，涵蓋初中數(shù)學(xué)的所有核心內(nèi)容;系統(tǒng)研發(fā)了小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)物學(xué)具128 組（件）， 并編寫了使用案例272 個(gè)，涉及小學(xué)數(shù)學(xué)的80 個(gè)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，涵蓋小學(xué)數(shù)學(xué)的所有核心內(nèi)容。同時(shí)，對圖形計(jì)算器以及幾何畫板、GGB 等軟件在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，我們也開發(fā)了相應(yīng)的教程。

這些配套國家中小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的系統(tǒng)學(xué)具的開發(fā)，切實(shí)解決了“完善課程內(nèi)容，加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)”所需要的，與完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程相配套的材料問題，方便師生在教與學(xué)中使用，讓“做數(shù)學(xué)”真正進(jìn)入常態(tài)化的數(shù)學(xué)課堂。

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（董林偉，江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室主任。特級教師，正高級教師。中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)副理事長，江蘇省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)理事長，南京師范大學(xué)碩士生導(dǎo)師。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材主編。獲得全國首屆高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課觀摩與評比一等獎(jiǎng)， “蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)”一等獎(jiǎng)。教學(xué)研究成果分別獲得第一、第二、第三屆江蘇省基礎(chǔ)教育教學(xué)成果獎(jiǎng)特等獎(jiǎng)，教育部第一、第二屆國家級教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。在《教育發(fā)展研究》《課程·教材·教法》《全球教育展望》《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》《數(shù)學(xué)通報(bào)》等刊物發(fā)表論文60 余篇。研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)課程、教學(xué)、評價(jià)等。）