“做數學”:中小學生適合教育的實踐構建①

【編者按】數學學習究竟應該以怎樣的方式進行？ 數學學科的獨特育人價值能夠在怎樣的學習過程中更好地實現？ 基于中國傳統文化“知行結合”的哲學淵源，借鑒近代以來杜威等人提出的“從做中學”理念，董林偉主任領銜的團隊在對數學實驗教學進行了多年研究和實踐的基礎上，進一步提出“做數學”的主張。本期《關注》欄目的8篇文章，分別對“做數學”的概念建構、實踐模型、理論基礎、育人價值進行了深入研究，并結合具體的教學案例，對如何通過“做數學”幫助學生實現對數學的深度理解，歷經對數學的自主探究，體驗對數學的實踐創新，給出了具體的方法和路徑;還通過教學實驗，研究了“做數學”對學生提出問題能力以及邏輯推理、直觀想象能力的影響。

摘要：“做數學”是以“做”為支架， 通過操作體驗、數學實驗、綜合實踐等活動，獲得數學概念、發現數學規律和應用數學知識的一種學習方式。它改變了數學知識的形態，改進了學生學習的方式， 促進了學生認知和情感的和諧發展，是構建中小學生適合教育的學科實踐。通過將“做數學”寫進國標教材，研制“做數學” 系列手冊，開發課程內容配套的系統學具等資源建設，助力“做數學”真正成為課堂教學的常態。

關鍵詞：“做數學”;適合教育;實踐模型;資源建設

數學是一門系統且嚴謹的演繹科學，具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。在發展和完善的過程中，數學逐漸脫離了現實對象， 僅保留了數量關系和空間形式，許多數學發現和結論很難找到具有直觀意義的現實原型。這給學習者的理解帶來了困難，同時也影響了學習者對數學廣泛應用性的感悟。這些特點都使得學習者對數學產生了一種神秘感，進而疏遠了與數學的距離。在世界各國，“數學難學”已是一個不爭的事實。

義務教育階段的學生，尤其是小學生，其認知發展處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段;即便是初中生，也尚未形成比較成熟的抽象邏輯思維，且生活和實踐經驗有限。因此，在學習數學的過程中，他們往往需要利用已有的知識與經驗，通過對研究對象的觀察、實驗、概括、推理， 發現數學規律，揭示研究對象的本質特征。但現狀卻是學生多通過聽教師講、反復記憶、重復做題來學習數學，練得多、悟得少，對數學知識的本源缺乏理解，對數學內在的思想方法缺少感悟，對數學學習也普遍缺乏熱情。

21 世紀初，中國啟動了基礎教育新課程改革。《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準（實驗稿）》）提出，“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動…… 動手實踐、自主探索與合作交流是學習數學的重要方式。”《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020 年）》也強調，要為每個學生提供適合的教育，促進每個學生主動地、生動活潑地發展。因此，針對學生認知水平、活動經驗、學習方式等與數學學科特點及要求之間的落差，需要我們尋求有效的“橋梁”，為學生提供一種適合的教育。

一、“做數學”的概念建構

早在20 世紀90 年代，我們就開始嘗試：借助“工具”，設計操作活動，為學生搭建適合的數學學習“支架”。

例如，借助“多米諾骨牌游戲”（如圖1所示）， 讓學生經歷數學歸納法的直觀、動態的抽象過程， 讓抽象的遞推“可視化”。再如，借助“轉圈游戲”， 讓學生親身經歷多邊形外角和定理的發現過程， 在將生活情境轉化成數學問題的過程中形成證明的思路與方法，即：在多邊形內取一點，作各邊的平行射線，構成一個周角（如圖2所示）; 或者利用電腦軟件的動態功能，將多邊形逐漸縮小，直到退成一個點，這時，各外角和直觀地形成一個周角。

這類數學活動，具有這樣一些顯著特點：

一是將數學的知識置于一定的現實情境中。這種真實的、可親近的學習環境，容易讓學生產生學習的訴求。

二是現實情境中有明確的學習目標指向。通過一定的指向性問題（任務）， 引發學生的思考，讓學習自然發生。

三是學生必須使用一定的工具（實物模型或電腦軟件）。這些工具實質上是實驗對象物化了的載體，讓操作者更容易“數學化”地觀察、歸納、類比和猜想，讓思維可視化。

四是學生借助工具，通過操作、觀察、實驗、歸納、類比、交流等，調動多種感官參與學習過程，體悟數學知識、原理和方法，讓學習真正發生。

這是一種動手動腦相結合的數學學習活動， 是教師引導學生在特定的問題（任務）情境中，借助一定的工具，以“做”為支架，通過操作體驗、數學實驗、綜合實踐等活動，獲得數學概念、發現數學規律和應用數學知識的一種學習方式。我們稱之為“做數學”。

通過“做數學”，抽象的數學知識可以轉化為具象的數學知識，結果性知識可以轉化為過程性知識，靜態的知識可以轉化為動態的知識，從而使數學知識呈現的形態更加符合中小學生的認知特點。

通過“做數學”，學生學習數學的方式也在發生變化：變被動接受為主動探究;變統一化學習為個性化學習;變離身思辨為具身體驗，變“半腦”學習為“全腦”學習。

通過“做數學”，學生不僅獲得了抽象數學概念、歸納數學原理的直接體驗，而且從數學法則、性質、定理、公式等的歸納和發現過程中獲得了如何探究、如何發現的方法論感悟。

另外，“做數學”還極大地激發了學生的學習興趣，調動了學生的學習熱情，引起了學生的好奇心，使學生以一種積極的態度投入實驗探究的活動中。積極的情感體驗是激發靈感的強大動力，?可以促使創造性思維的產生。

實踐證明，對于義務教育階段的學生來說， “做數學”無疑是他們喜歡的、適合他們的一種數學學習方式。

二、“做數學”的實踐模型

根據學段、內容以及目標的不同，“做數學”可以分成操作體驗、數學實驗、綜合實踐等三種不同的實踐模型。

（一）操作體驗：讓學生在體悟的過程中獲得感知、學會抽象

中小學生數學學習的內容包含大量抽象的數學概念、原理和法則，但“傳統教學的特點，就在于往往是口頭講解，而不是從實際操作開始數學教學”（皮亞杰語）。教學過程的功利化、形式化，不能有效調動學生的各種感官參與學習活動。學生“悟”的過程太短甚至沒有，很難對知識產生興趣， 也難以主動學習，更難以養成專注于數學問題的習慣。

改變這種現狀，需要在教學中增加操作體驗類的“做數學”活動，讓學生經歷“感知—感悟—知識”的過程。也就是說，通過提供豐富的、真實的問題，安排動眼觀察、動手操作、動腦思考的任務， 引導學生自主活動，獲得理解概念、規律所需的“事實”，形成對概念、規律本質的深刻體悟;通過延長知識的獲得過程，給學生提供感悟知識精髓的時間和空間，讓學生在具身體會的過程中獲得“如何思考”的體驗，使知識真正變成智慧，進一步激發學習的興趣。

（二）數學實驗：讓學生在探究的過程中習得方法、發展思維

促進學生的思維發展，是數學教育的重要任務之一。傳統的數學教學中，教師注重知識的系統性和邏輯的嚴謹性，學生主要是記住數學結論， 然后進行題海式的訓練。這樣的教學，并不利于學生的思維發展。

數學實驗是“做數學”的另一種實施形態，是教師引導學生經歷探索過程，發現數學結論和尋找證明方法的一種學習方式。數學實驗將動手操作和動腦思考有機地結合在一起，實踐性和操作性是它的外部特征，通過實驗活動促進思維發展則是它的內在核心和最終歸屬。在一個數學實驗中，觀察與分析交織，具象與抽象并存;從實驗前的猜想、實驗中的思考到實驗后的總結，都是發展學生思維的優良環境，同時為學生創造性思維的培養提供了空間。

借助數學實驗，可以讓學生獲得如何探究、如何發現的方法論感悟，實現接受式、思辨式學習向探究式、體驗式學習的轉變;借助數學實驗，可以讓學生經歷動手操作、用眼觀察、提出猜想、驗證結論等環節，充分體驗“知識從何而來”知“識是什么”“知識向何而去”的完整數學學習過程。

（三）綜合實踐：讓學生在應用的過程中積累經驗、學會創新

一方面，學生只有認識到數學存在于現實生活中并被廣泛應用于現實世界，才能切實體會到數學的應用價值;另一方面，學生正處在人生觀、價值觀形成的關鍵階段，他們不滿足于單純的書本知識的學習，具有參與社會生活的愿望和一定的社會實踐能力。拓展數學學習的空間，在生活中學習，在實踐中學習，在應用中學習，主動地參與并服務于社會生活，成為學生身心發展的客觀要求。

“綜合實踐”是《標準（實驗稿）》提出的課程內容，要求學生能綜合運用有關知識與方法解決實際問題，培養問題意識、應用意識和創新意識，積累活動經驗，提高解決現實問題的能力。綜合實踐”需要學生親自實踐，并在實踐中多角度地思考;需要學生相互合作，并在合作中準確表達各自的想法;需要學生不斷嘗試，并在嘗試中尋找策略或提出新的問題;需要學生運用各種工具，并且對這些工具進行合理的選擇;需要學生互相鼓舞，共同完成任務。因此，它也是“做數學”的一種實施形態。

“綜合實踐”強調學生通過實踐，增強問題意識、應用意識和創新意識，學習科學研究的方法， 發展綜合運用知識解決實際問題的能力，增進與社會的聯系，培養社會責任感。因此，在“綜合實踐”教學中，可以結合實際情境，引導學生獨立思考、合作研究，設計解決具體問題的方案，并加以實施，體驗建立模型、解決問題的過程，嘗試發現和提出問題;可以通過對有關問題的探討，引導學生了解所學數學知識之間的關聯，加深對有關知識的理解，進一步發展應用意識和能力;可以通過反思、總結、交流，引導學生進一步積累數學活動經驗，體悟“數學地思考”的思想，有效促進創新意識的形成。

三、做數學”的資源建設

在推進“做數學”的實踐過程中，需要幫助教師轉變教育觀念，提高教學水平，還需要給師生提供更多適合的教學方案，以及更多適用、好用、有用的教與學的材料和工具，才能使“做數學”真正進入常態的數學課堂，真正實現為學生提供適合教育的目標。

（一）將“做數學”寫進國標教材，引導教師轉變教育觀念、改進教學方式

2003年，我們第一次將“做數學”寫進了國家審定通過的蘇科版初中數學教材，提出要注重“做數學”，引導學生自主探索、積累活動經驗。由此形成了蘇科版初中數學教材的一個鮮明特色：設置豐富多彩的欄目和內容，吸引學生“做數學”。

除了《做一做》《操作》等欄目外，教材還設置了《數學活動》《課題學習》等欄目及章首活動，讓學生“會做數學”;運用現代信息技術，如Excel、幾何畫板等，讓學生“巧做數學”;設計基礎性、趣味性、挑戰性的活動，讓學生“愛做數學”。

另外，教材還設置了《數學實驗室》專欄，分別放在一節內容的開頭、中間、結束處，體現數學實驗的三種不同的價值取向：開頭位置，利用數學實驗感受數學（抽象數學）;中間位置，利用數學實驗探究知識和方法（發現原理、規律等）;最后位置， 運用所學知識和方法解決問題。

2004年9月，教材開始在江蘇、廣東、廣西等地的近百萬初一新生中使用，對引導教師理解新課程理念，實施“做數學”起到了促進作用。

之后，《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《（2011年版）標準》也采用了蘇科版教材的“做數學”的有效做法，明確提出了“有條件的學校可以建立數學實驗室”，使數學實驗的實踐從江蘇等地走向了全國。

從《標準（2011年版）》頒布開始，蘇教版小學數學教材系統規劃、增設了引導學生動手“做數學”的《動手做》欄目。該教材在全國多個地區已有近千萬小學生使用，反響較好。

（二）研制“做數學”系列手冊，為師生提供系統的教學方案

根據《標準（實驗稿）》的要求，2008年，我們就組織力量編寫了《數學綜合與實踐活動》（初中，共5 冊），供廣大教師指導學生的動手操作實踐活動使用。2010年，我們又編制了國內首套《數學實驗手冊》（初中，共5冊），與蘇科版教材同步。經過3年的試點實踐后，分別于2014年、2015年由江蘇省中小學教材審定委員會審查通過，供全省初中學生免費使用。《數學實驗手冊》設計了系列實驗方案10?多個，每個實驗方案都包括實驗目的、實驗準備、實驗內容與步驟、實驗指南等環節，并提出了相應的學與教建議。《數學實驗手冊》還配套設計了部分可供實驗使用的硬紙片和透明紙等，方便師生在課堂中使用。同時，我們還組織專家編寫了與蘇教版教材同步的《小學數學實驗手冊》共12冊），2017 年開始在江蘇全省20多萬小學生中試用。2020 年，研究小組還以“數學體驗”為主題，編寫了《數學體驗活動手冊》（初中，共5冊）。

這些系列手冊的研制首先關注以下要素：一是操作性。學生在實驗過程中，要利用有關工具進行各種操作活動;在動手操作的活動過程中，將數學知識內化為認知結果，達到意義建構。二是實證性。在實驗過程中，學生能夠將對象、過程、結果進行數學化的描述，使物化的“做數學”形象地反映數學原理和觀念。三是探究性。做數學” 本質上是一種解決問題的活動，需要學生面對適度的困難開展嘗試和探索，通過觀察、分析、歸納、猜想等，獲得數學知識，找到解決問題的方法，并發展創新思維。四是發展性。著眼于學生的發展，通過學生的參與，展示數學的探索發現過程， 幫助學生發現數學、體驗數學、理解數學、運用數學，既獲得數學知識，又積累數學活動經驗，實現數學認識和經驗的同步增長。

“做數學”中的素材選取，需要契合教學內容、知識點或活動環節。我們按照“做數學”形式的不同，選取以下素材：一是手工操作素材。包括折紙、拼圖、裁剪、切割等。學生通過實物操作，觀察數學現象，再加以分析概括、推理演繹等，可以發現數學概念、公式、法則、定理等，或驗證數學結論，獲得數學理解。二是游戲活動素材。有很多傳統經典游戲與“做數學”有關，選取游戲素材，結合數學教學內容，注入新鮮元素進行改造，可以設計出一些既似曾相識又有新創意的活動，能激發學生學習興趣，促進學生數學思考，加深學生數學理解。三是測量建模素材。學生借助測量工具， 如皮尺、測角儀、天平等，測量數據，然后記錄、分析數據，并利用方程、不等式、函數等數學模型解決實際問題。測量活動往往要走出課堂、走向社會，能夠幫助學生強化數學知識的運用，感受數學的應用價值。四是探究發現素材。這種素材又分為兩類，一類是以實物為載體的探究素材，主要是借助直觀模型，模擬、再現問題情境，需要學生利用已有的經驗，選擇適當方法，自主探究數學知識，發現數學結論，有效解決現實生活問題;另一類是以電腦軟件為載體的探究素材，主要是利用信息技術，呈現教學中難以呈現的內容，如圖形的運動和變換等，將復雜內容層次化，把靜態圖形動態化，從而幫助學生揭示數學內涵，挖掘問題本質。利用電腦軟件輔助問題探究是“做數學”的一條有效途徑。

（三）開發課程內容配套的系統學具，讓“做數學”成為課堂教學的常態

“做數學”一般以動手實踐為基點，需要借助一定的實物或智能學具。

實物學具，是指利用物質材料及其所包含的數學元素、特點開發的學具，如網格紙、火柴棒、七巧板等，具有直觀、易操作、貼近學生生活等特點。這類學具的使用有兩方面的作用：一是通過實物學具的操作，具象化地驗證所學的數學知識和方法，獲得相應的數學理解;二是借助實物學具的“數學化”操作，自主探索、發現數學知識和方法。

智能學具，是指利用各種軟件的計算、演示、動畫、變換等功能開發的學具，如計算器、圖形計算器、幾何畫板軟件等，具有計算功能強大、演示形象生動、便于揭示數學本質、可以實現傳統手段難以實現的效果等優點。這類學具的使用也有兩方面的作用：一是具象化地驗證所學的數學知識和所獲得的數學結論，幫助學生理解較為抽象的數學知識和結論，強化體驗的過程;二是借助計算功能、構圖功能，探索、發現所要學習的數學概念和原理。有時可以作為實物學具的輔助手段。

基于常態化的數學課堂教學需求，依據《標準（2011年版）》根據發展學生數學學科核心素養的需要，我們系統研發了初中數學實物學具42 組（件）， 并編寫了教程，涉及初中數學課程標準內容的144 個點，涵蓋初中數學的所有核心內容;系統研發了小學數學實物學具128 組（件）， 并編寫了使用案例272 個，涉及小學數學的80 個關鍵知識點，涵蓋小學數學的所有核心內容。同時，對圖形計算器以及幾何畫板、GGB 等軟件在數學學習中的應用，我們也開發了相應的教程。

這些配套國家中小學數學課程內容的系統學具的開發，切實解決了“完善課程內容，加強實踐環節”所需要的，與完整的數學學習過程相配套的材料問題，方便師生在教與學中使用，讓“做數學”真正進入常態化的數學課堂。

參考文獻：

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[2] 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011 年版）[M]北京：北京師范大學出版社，?2012.

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[4] 董林偉， 石樹偉. 數學實驗工具： 助力初中生數學學習的應然選擇[J].數學通報，2018（11）.

[5] 董林偉.走向學科育人：“做數學”的時代建構與實踐創新[J].教育發展研究，2021（8）

（董林偉，江蘇省教育科學規劃領導小組辦公室主任。特級教師，正高級教師。中國教育學會中學數學教學專業委員會副理事長，江蘇省教育學會中學數學教學專業委員會理事長，南京師范大學碩士生導師。蘇科版初中數學教材主編。獲得全國首屆高中數學優秀課觀摩與評比一等獎， “蘇步青數學教育獎”一等獎。教學研究成果分別獲得第一、第二、第三屆江蘇省基礎教育教學成果獎特等獎，教育部第一、第二屆國家級教學成果獎二等獎。在《教育發展研究》《課程·教材·教法》《全球教育展望》《數學教育學報》《數學通報》等刊物發表論文60 余篇。研究方向：中學數學課程、教學、評價等。）