“做數學”的理論基礎分析①

摘要：知行結合是“做數學”的認識論基礎，強調數學體驗中的知與行、數學實驗中的知與行、綜合實踐中的知與行。建構知識是“做數學”的學習論基礎，強調“做數學”是學生的個體行為，“做數學”不是知識傳遞的模式，“做數學”是合作學習的方式，“做數學”是用情境支持知識理解。情境認知是“做數學”的教學論基礎， 強調“做數學”體現了在情境脈絡中學習，踐行了在實踐共同體中教學，實現了在行動中學習知識。

關鍵詞：“做數學”;理論基礎;知行結合;建構知識;情境認知

一、知行結合：“做數學”的認識論基礎

在批判傳統學校教育的基礎上，杜威提出了“從做中學”這個基本教學理念。杜威認為，由于人們最初的知識和最牢固地保持的知識是關于怎樣做的知識，因此，教學過程應該是“做”的過程。在他看來，“從做中學”也就是“從活動中學”、從經驗中學，使得學校里知識的獲得與生活過程中的活動聯系了起來。由于兒童能從那些真正有教育意義和有興趣的活動中學習，因此，那些活動就有助于兒童的生長和發展。如果兒童沒有“做”的機會，那必然會阻礙兒童的自然發展。

傳統哲學一向把人類和自然界分離開來，把個人和社會分離開來，把心與身以及知和行分離開來，形成二元認識論。杜威把人類視為自然界的組成部分，認為有機體經常謀求對環境的適應， 個人是通過參加社會活動而得到發展的。知與行相互依賴，這種認識論應用在教育上，便是“教育即生活”，應用到教學上，便是“從做中學”。杜威認為，在理想的教學過程中，教師應當鼓勵兒童在活動時開動大腦，運用觀察和推測、實驗和分析、比較和判斷，使他們的手、足、耳、目和頭腦等身體器官成為智慧的源泉①。

事實上，杜威的“從做中學”理念得到了具身認知理論的支持。傳統教育觀對身體的忽視與認知主義二元論有關。認知主義接受笛卡兒以來的二元論觀點，認為身體和認知是兩種不同性質的實在。笛卡兒曾經主張，包括身體在內的“物”占有空間，但是不能思維;而“心”的特征是能思維， 但是不占有空間。具身認知理論反對認知主義二元論。具身認知理論認為，心智是身體的心智，認知是身體的認知。這一理論有幾個基本觀點②。首先，身體的結構和性質決定了認知的種類和特性，認知并非可以脫離身體的抽象符號運算。有什么類型的身體，就有什么類型的認知。身體結構和性質限制和制約了有機體能獲得的概念和范疇。其次，認知過程具有非表征特點，思維、判斷等心智過程也并非抽象表征的加工和操縱。認知是身體與環境互動的結果。認知發生于身體作用于環境的實時動力系統中，并不存在表征和表征加工過程。再次，認知、身體、環境是一體的。認知是身體的認知，而身體的結構和性質又是進化的產物，是環境塑造出來的。這意味著認知、身體和環境是一個緊密的聯合體。最后，身體和環境是認知系統的構成成分。身體和環境對認知的作用不限于因果影響，身體和環境在認知加工中扮演了某種構成性的角色。例如，我們使用紙張和鉛筆進行計算，紙張和鉛筆不是計算過程的因果因素，卻是完整計算過程的有機組成部分。

毫無疑問，“從做中學”理念對于科學學科學習過程及價值的解釋是容易理解的。譬如，物理、化學、生物的學習離不開實驗，通過實驗去學習本身就是“從做中學”。那么，在數學學習中如何理解“做數學”？ 數學能“做”嗎？

廣義地理解，做數學研究、做數學練習、解答數學問題、動手操作去發現規律或驗證規律等過程，均可謂“做數學”。但本研究所謂的“做數學”， 是指學生運用材料和工具，在協同動手動腦的過程中，理解數學知識，發現數學規律（關系）， 創造性地解決問題，發展數學核心素養。從外延看， “做數學”包括：（1）數學體驗，即通過操作、觀察、感悟、理解來學習數學。就是讓學生動手操作，在操作中體驗數學。由此，學生可以獲得大量的感性知識。（2）數學實驗，即通過操作、觀察、探究、發現及論證來學習數學。就是引導學生利用一定的工具（實物或軟件）， 通過操作感受、觀察思考、歸納抽象等過程建構數學概念、驗證數學結論、探索數學規律、解決數學問題。（3）綜合實踐，即通過思考、實踐、運用、解決問題來學習數學。它以經驗與生活為核心，強調學生通過實踐，增強問題和創新意識，學習科學研究的方法，發展綜合運用知識的能力。

數學體驗中的知與行。小學生對數的認識， 始于對具體事物數量的抽象。例如，通過數小棒認識自然數，然后逐步脫離小棒，用頭腦中形成的表象來表征對象，最后再將其轉化為符號表征;通過對小棒數量增減的操作，形成自然數加減的直觀認識，逐步過渡到表象表征，最后習得符號表征。這些過程的起始階段都是動手操作的行為。布魯納認為，在人類生長期間，有三種表征系統在起作用，就是動作表征、表象表征和符號表征，即通過動作或行動、表象或圖像以及各種符號等抽象形式來認識事物。這三種表征系統相互作用，是認知生長或智慧生長的核心③。在兒童發展的早期，他們從完全采用動作表征過渡到開始使用表象表征，即“心理映象”作為某些事物的代用品。事實上，在小學階段，學生學習數學概念大多是由動作表征開始的，離不開感性的數學體驗。

數學實驗中的知與行。數學實驗強調操作與觀察，這當然是在“做數學”。其實，數學家做數學研究也是在做實驗，不過這種實驗更多的是思維實驗，即借助符號表征來完成實驗過程。對于小學生和初中生來說，他們具備的知識量有限，思維也沒有上升到能夠完全依托符號表征來完成實驗的水平，因而在發現知識、理解知識方面仍需要動作表征或表象表征的支持。例如，小學生對分數的認識，需要通過對具體實物的切割，或者用對具體物體切割的操作，或者利用圖片在頭腦中形成對具體事物切割的表象;初中生直接發現并證明三角形中位線的長等于第三邊的一半這個結論是有困難的，但通過測量則很容易得到這一結論。數學概念或命題是一種靜態形式，呈現的是“知”?的狀態，然而，這些知識的形成往往是“做”在先“知”在后。例如，從知識產生的過程看，合并同類項是先有同類項概念，還是先有合并同類項的方法？ 顯然，是后者先出現，前者后出現。人們發現，在多項式的運算過程中，可以利用分配律來簡化運算過程，然后再將字母及其次數相同的項稱為同類項。概念的產生在方法之后，而尋找這個方法就是“做”也是實驗的過程。

綜合實踐中的知與行。將數學知識用于實踐，解決與現實生活或其他學科相關的問題，這個過程也是與“做數學”密不可分的。以數學為工具去解決現實生活或其他學科中的問題，是一個數學建模的過程，需要收集真實的數據，分析建立適當的數學模型。收集數據是動手操作或手腦并用的活動。例如，要知道一個建筑物的高度，需要到現場測量有關的距離與角度;要設計一個交叉路口的紅綠燈開放時間，需要到現場調查每個時段的車流量。整個過程都是在“做數學”。兒童及至青少年學習數學不能脫離“做”，這是一個基本的認識論觀點。

二、建構知識：“做數學”的學習論基礎

與客觀主義把學習解釋為人腦對客觀知識的復制不同，建構主義認為，人的學習過程不是簡單的刺激與反應的聯結，不是對客觀知識的直接寫照，而是將人的經驗、理解、交流、協商都納入學習中。其顯著的樣態在于有了自己話語權的解放，?個人的熱情、主張、觀點、意見都能參與學習，學習不再是一種對知識頂禮膜拜從而無條件地接受和信仰的過程①。

簡單地說，知識建構就是學習者借助自己已有的知識和經驗，主動地認識知識、理解知識從而抽象出知識內核的過程。這個過程既有個人獨立的思考、辨析與抽象，也有學習共同體之間的相互協商與交流。建構主義的基本要義是：（1）知識的建構性。個人對知識的建構，是個人創造有關世界的意義，而不是發現源于現實的意義。建構通過新舊知識的相互作用來實現，認知的功能是適應。（2）知識的社會性。除了個體對知識的建構外，知識的建構離不開共同體，更多的是共同體互動、協商、交流的結果。（3）知識的情境性。人的思維不能脫離情境，在適當的情境和實踐共同體中，知識的建構才能達成②。

“做數學”是一種知識的建構過程，對此應當有明晰的認識。

首先，“做數學”是學生的個體行為。顯然， “做數學”不是由教師演示操作規程，學生模仿來完成的，而是由教師提供目標、暗示方向，學生自己設計路徑、制訂方案來完成的。因此，在“做數學”的過程中，學生作為獨立的個體，通過自己的思考、自己的行動來實現學習目標，本質上就是自我建構知識的過程。正因為如此，學生在“做數學”的過程中，就可以提出自己的見解，將個人的熱情、自我的主張融入學習中。這與建構主義的主旨是一致的。

其次，“做數學”不是知識傳遞的模式。客觀主義強調知識的客觀性，認為知識是客觀存在的， 科學研究的任務是發現這些客觀規律，不能帶有科學家自身的價值觀;同時，發現的結果只能是對現實存在的真實寫照，不能帶有代表社會群體意識和利益的價值意向。因此，人的學習過程是個體認識這些客觀事物，將客觀知識轉化為主觀知識的過程。學習的本質是通過建立客觀現實與個體頭腦的映射，將客觀知識復制到頭腦中，成為一種無條件的接受。教師的任務是為學生構建一個知識復制的場域，提供一種知識傳遞的情境，將教學設定為利用證實的思維解讀教材，目的是要學生相信這些事實并接受它。與此不同，“做數學”不是教師告訴學生這個知識是什么，而是要學生通過自己的感知和具體的操作來認識事物的特征，建構知識的雛形，然后通過論證來確立知識的合理性。這顯然更符合建構主義學習的基本要義。

再次，“做數學”是合作學習的方式。在真實教學中，教師往往采用分組方式來組織學生“做數學”，小組成員之間可以相互討論，充分發表自己的看法和意見，在交流中完成學習任務。建構主義將建造房子作為教學的一種隱喻：教師的主要工作是搭建腳手架，學生的工作是站在腳手架上添磚加瓦。顯然，這個工作需要小組合作來完成： 有的人攪拌混凝土，有的人運送磚塊，有的人砌磚。如果說這種隱喻強調合作學習中分工的角色和作用，那么合作學習另一個更重要的功能在于： 交流本身就是學生思維差異的取長補短，這也正是社會建構主義的內核所在。

最后，“做數學”是用情境支持知識理解。關于這個問題，我們在下面的討論中詳細闡述。

三、情境認知：“做數學”的教學論基礎

學習的情境認知理論關注物理的和社會的場景與個體的交互作用，認為學習不可能脫離具體的情境而產生，情境是整個學習中重要而有意義的組成部分。情境認知理論注重語言、個體和群體活動、文化的意義和差異、工具等因素以及這些因素之間的聯系與互動。

威爾遜和邁爾斯列了一張表，對與學習環境相關的情境認知原則做了梳理，對情境認知理論做了比較詳細的闡述①，主要觀點有：（1）情境脈絡中的學習。思維和認知只有在特定的情境中才有意義，所有的思維和認知都是處在特定的情境脈絡中的，不存在非情境化的學習。個體認知心理常常產生于構成、指導和支持認知過程的環境中，認知過程的本質由情境決定，情境是一切認知活動的基礎。（2）實踐共同體中的學習。人們在實踐共同體中行動和建構意義，學習被看作是與他人、工具和物質世界互動的辯證過程。認知與行動不可分———不論是直接的身體和外顯的行動，還是有意的反思和內部行動。（3）行動中的知識學習。知識存在于個體和群體的行動中，是隨著個人參與到新的情境中，并在基于新情境的協商中產生的。而知識和能力的發展發生于在真實情境中不斷利用知識的活動中。

情境認知理論的突出特點是把個人認知放到更大的物理和社會的情境脈絡中，這個情境脈絡是互動的，包含了文化性建構的工具和意義。從教育層面看，它是一種理念;從教學層面看，它是一種模式。教學模式的基本要素包括理論基礎、教學目標、教學程序、教學策略、教學評價。而情境認知本身就是一種學習理論，依據這一理論的教學目標是發展學生的實踐能力與合作交流能力;同時，情境認知理論也框定了教學的基本流程，提出了具體的教學策略。因此，不能簡單地把情境認知理論理解為只是在教學中設置情境的一種教學手段。“做數學”與情境認知有密不可分的聯系，對此應當特別關注。

第一，“做數學”體現了在情境脈絡中學習。無論是數學體驗、數學實驗，還是綜合實踐，“做數學”都需要設置恰當的情境。情境可為“做數學”提供先行組織者。這個先行組織者不是一些簡單的文字材料，而是一個操作的平臺，通過實際操作來輔助對新知的認識。同時，情境又可以溝通數學知識的來龍去脈。以現實問題為背景創設問題情境，通過“做數學”，學生了解知識產生的根源;以數學問題為背景構造問題情境，通過“做數學”，學生明了知識之間的聯系，把握知識的生長趨勢。因此，無論創設怎樣的情境，都是一種對知識的梳理，學生可以借助情境把握知識脈絡，加深對知識的理解。小學生與初中生的數學學習，需要情境來支撐對知識的理解，因為無論是動作表征還是表象表征，都是建立在對具體事物的感知基礎上的，而具體事物往往伴隨著情境顯現。“做數學”的過程是先在情境中做，然后脫離情境抽象出數學概念或原理，形成符號表征。因此，情境設置是“做數學”的必要條件，也是“做數學”的理論基礎。

第二，“做數學”踐行了在實踐共同體中教學。教學實踐共同體的蘊義是指學習者與他人、工具和物質世界互動。從教學過程來看，一方面，“做數學”的一個基本特征是工具性，工具包括紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具、計算機等①，學生通過對工具的操作來探究結論或驗證結論，實驗的過程實在地貫通了學生與工具的互動;另一方面，“做數學”又是一種共同合作、共同協商的活動，小組成員可以暢所欲言地表達自己的觀點，通過相互交流來達成共識，體現出學生與他人的互動行為。

第三，“做數學”實現了在行動中學習知識。“做數學”的另一個特性是操作性，學生是活動的主體，他們通過動手操作去體驗、探索、領悟，在“做”中學習數學。“做”是一種行為，是學生主體的行為，因此，數學實驗的操作性特征的直接效果是使學生在行動中學習知識。更有價值的是，在行動中學習知識事實上構造了一種教學模式。傳統數學教學的模式是“先學后做”，即教師向學生講授知識，學生在理解知識的基礎上模仿教師去解決問題，最后過渡到獨立解決問題。“做數學” 則提倡“先做后學”“在做中學”，即在實踐去學習， 這種實踐以“做”為支架，從而形成一種有別于傳統的教學模式。

（喻平，南京師范大學數學科學學院教授， 博士生導師，南京師范大學課程與教學研究所所長。全國數學教育研究會副理事長，全國教育論專業委員會理事，江蘇省數學教育專業委員會副主任委員。主要從事數學課程與教學論、數學教育心理學的教學與科研工作。出版《教學認識信念研究》《數學教育基本問題研究》等專著6本，主編《中國數學教育研究30 年》叢書4本，主編高校教材、中學教材5本，在國內外學術期刊上發表論文200 多篇。）