“做數(shù)學(xué)”對初中生提出問題能力影響的實驗研究①

李天擎 楊明遠 王曉峰

摘要：數(shù)學(xué)實驗是“做數(shù)學(xué)”的一個重要內(nèi)容。在江蘇省蘇州市某初級中學(xué)七年級和八年級選取被試，以教學(xué)方法為自變量，提出問題為因變量，實驗組在教學(xué)中穿插數(shù)學(xué)實驗，對照組采用常規(guī)教學(xué)。在經(jīng)過6周的教學(xué)后進行提出問題的后測，結(jié)果顯示，實驗組與對照組的后測成績存在顯著差異。研究表明，數(shù)學(xué)實驗是促進初中生提出問題能力發(fā)展的一條有效途徑。

關(guān)鍵詞：“做數(shù)學(xué)”;數(shù)學(xué)實驗;提出問題

一、問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》的總目標(biāo)中提出，“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：…… 增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。因此，提出數(shù)學(xué)問題是義務(wù)教育階段學(xué)生應(yīng)具備的基本能力。

國內(nèi)許多學(xué)者對學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題做了較多研究。冒建生提出，運用不同的思維方法培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力：（1）運用整合條件與結(jié)論的方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題;（2）運用歸納、類比、聯(lián)想的方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題;?（3）將問題一般化或特殊化，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題。② 王嶸和蔡金法在對國內(nèi)外教科書中提出問題內(nèi)容分析的基礎(chǔ)上，提出三點建議：（1）教師作為課程的再設(shè)計者，以簡單的方式重塑現(xiàn)有的教科書，為學(xué)生提出問題創(chuàng)造更多的學(xué)習(xí)機會;（2）以帶有示例性問題的問題提出活動為支撐， 為學(xué)生提出問題積累豐富的經(jīng)驗;（3）鼓勵學(xué)生提出不同難度的問題，逐步發(fā)展學(xué)生的問題提出能力。③ 張丹與吳正憲對提出問題做了實證研究， 通過后測發(fā)現(xiàn)：在經(jīng)歷了兩個學(xué)習(xí)活動后，二年級學(xué)生就已經(jīng)初步具備發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力;二到五年級，提出發(fā)展性問題的比例越來越大，說明隨著年級的增高學(xué)生不斷地積累提出發(fā)展性問題的經(jīng)驗;到了六年級，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)能夠提出發(fā)展性問題，一半以上的學(xué)生則能較為系統(tǒng)地提出發(fā)展性問題。① 夏小剛等針對學(xué)生普遍缺乏提出數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和問題意識較為低下的現(xiàn)狀， 開展了對“創(chuàng)設(shè)情境—提出問題—解決問題—應(yīng)用數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)教學(xué)模式（簡稱SPBI 模式）的實驗研究。結(jié)果表明，SPBI 模式對學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣、提出問題能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力具有顯著的促進作用。② 吳華與盧小男認為，多媒體環(huán)境對學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題有極其重要的作用與意義，把多媒體技術(shù)恰當(dāng)有效地整合到學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題和問題解決中是發(fā)揮技術(shù)價值的一個很好的切入點。多媒體技術(shù)使學(xué)生能用具體的方法對其數(shù)學(xué)思維進行表征，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。③

可以看出，這些研究從教學(xué)方式改進或?qū)W生參與活動方式變化的角度，來提高學(xué)生提出問題的能力。我們則從“做數(shù)學(xué)”角度切入，用實驗方法探討“做數(shù)學(xué)”對學(xué)生提出問題的影響。

“做數(shù)學(xué)”是以“做”為支架的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。包括：（1）數(shù)學(xué)體驗。是學(xué)生動手操作， 作中體驗數(shù)學(xué)的一種學(xué)習(xí)方式。（2）數(shù)學(xué)實驗。是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，利用一定的工具（實物或軟件）， 通過動手操作、用眼觀察、歸納抽象等過程建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、驗證數(shù)學(xué)結(jié)論、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的一種學(xué)習(xí)方式。（3）綜合實踐。是以學(xué)生的經(jīng)驗與生活為核心，強調(diào)實踐性的一種學(xué)習(xí)方式。本次研究的“做數(shù)學(xué)”，主要指其中的“數(shù)學(xué)實驗”。

二、研究方法

本次研究是在喻平教授關(guān)于“做數(shù)學(xué)”實證研究總體設(shè)計框架下開展的一項研究。

（一）被試選擇

本次研究，被試來自江蘇省蘇州市某初級中學(xué)，我們以2020—2021 年第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)調(diào)研成績?yōu)閰⒖迹\用SPSS 軟件進行t檢驗，考察七、八年級各個班級之間的差異情況，以此來選擇實驗組和對照組。最后，我們選取了七年級1、2、3、4班與八年級15 、16 、17 、20 班共8個學(xué)習(xí)水平相當(dāng)（t檢驗后，檢驗結(jié)果不存在顯著差異）的班級參與實驗。其中，七年級1、3班和八年級15 、17 班作為實驗組;七年級2、4班和八年級16 、20 班作為對照組。這8個班級中，每組實驗班和對照班都是由同一位數(shù)學(xué)教師任教的，從而消除了不同教師的教學(xué)水平可能造成的無關(guān)變量因素。

（二）研究工具

本次研究主要是評估初中生在提出問題方面的表現(xiàn)，是一種能力的評價性研究，但是從許多相關(guān)研究來看，目前沒有比較標(biāo)準(zhǔn)和統(tǒng)一的測量工具。

許多研究者廣泛認同和采用的一種評價思路和手段是：為被試提供或設(shè)計一些提出問題的任務(wù)，而這些提出問題的任務(wù)都是以一定的生活或數(shù)學(xué)情境為背景的;讓被試針對提供的情境，提出正確的數(shù)學(xué)問題;對被試提出的問題進行某個維度或視角的分析和評價。

為了實驗的可對比性與嚴謹性，研究工具采用了數(shù)學(xué)實驗核心組統(tǒng)一編制后交由各校統(tǒng)一使用的測試卷。該測試卷的編制遵從兩個原則：?（1）圍繞所學(xué)的知識設(shè)計題目;（2）主要考查學(xué)生提出問題的能力。

我們采用蔡金法教授的分法，把“提出問題” 分為三級水平（將不能提出問題排除在水平之外）：水平1，能夠提出一個簡單問題;水平2，能夠提出一個中等難度問題;水平3，能夠提出一個較難問題。

兩個年級的測試卷均為三道題目。測試時長40 分鐘。

七年級的測試題如下：

如圖1，在平面內(nèi)，將一副三角尺擺放在一起， 其中頂點D在邊AC上，設(shè)∠ADE=α，∠CDF=β。

請回答下面的問題：

①請你提出一個針對α、β的數(shù)學(xué)問題，并解答這個問題;

②將三角尺DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，請在圖2中畫出圖形，再提出一個針對α、β的新的數(shù)學(xué)問題， 并解答這個問題;

③將三角尺DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使EF⊥AB， 請在圖3中畫出圖形，再提出一個針對α、β的新的數(shù)學(xué)問題，并解答這個問題。

八年級的測試題如下：

如圖4，已知平行四邊形紙片ABCD。

請回答下面的問題：

①折疊該紙片的1個角，使這個角的兩邊重合，畫出折痕，然后提出一個數(shù)學(xué)問題，并解答這個問題;

②折疊該紙片的2個角，使這2個角的兩邊分別重合，畫出折痕，然后提出一個與四邊形有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并解答這個問題;

③折疊該紙片的幾個角，使這幾個角的兩邊分別重合，畫出折痕，然后提出一個新的與四邊形有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并解答這個問題。

（三）實驗設(shè)計

實驗方案如圖5所示。兩個“做數(shù)學(xué)”階段， 每一個階段至少安排3次“做數(shù)學(xué)”活動。

三、研究過程

（一）實驗操作

2021 年2月，以上一學(xué)期期末考試成績?yōu)閰⒖迹x取合適的班級參與本次實驗研究，并確定實驗組和對照組。

2021 年4月—5月，與正常教學(xué)同步開始進行數(shù)學(xué)實驗教學(xué)（教學(xué)內(nèi)容詳見下頁表1，皆源自蘇科版初中數(shù)學(xué)實驗手冊）。

2021 年5月，利用測試卷對學(xué)生進行檢測。

（二）數(shù)學(xué)實驗教學(xué)案例

【案例1】七年級：拼圖———探索一類多項式的因式分解

教學(xué)《整式乘法與因式分解》這一章時，我們選擇《拼圖——探索一類多項式的因式分解》這節(jié)實驗課作為載體，在實驗班中滲透數(shù)學(xué)實驗的方法：通過拼圖活動，探索拼圖與整式的因式分解之間的內(nèi)在關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展幾何直觀和推理能力（對照班則通過代數(shù)方法，利用多項式乘多項式的運算法則，推導(dǎo)得出乘法公式）。

課前，準(zhǔn)備A型紙片（邊長為a的正方形）、B 型紙片（邊長為b的正方形）、C型紙片（邊長為a和b的長方形）若干。實驗過程設(shè)計如下：

（1）能否利用手上的紙片驗證已經(jīng)學(xué)過的乘法公式？

（2）利用1張A型紙片、4張B型紙片、4張C 型紙片可以拼成什么特殊的四邊形？ 根據(jù)該四邊形，你有何發(fā)現(xiàn)？

（3）將多項式a²+4ab+4b²分解因式，對比剛剛的拼圖結(jié)果，你能提出什么問題？

（4）取1張A型紙片、2張B型紙片、若干C 型紙片，使其拼成一個長方形，你能提出怎樣的問題？

（5）分別取適當(dāng)數(shù)量的A型、B型、C型紙片，?使其拼成一個長為a+3b、寬為a+b的長方形，并將多項式a²+4ab+3b²分解因式，根據(jù)剛剛的實驗過程，你有何發(fā)現(xiàn)？

（6）如果分別取A型、B型、C型紙片若干，能夠拼成一個長方形，是否就能將一個多項式分解因式？ 如果能，那么你能提出關(guān)于這個多項式系數(shù)的何種猜想？

（7）分別取適當(dāng)數(shù)量的A型、B型、C型紙片， 使其拼成一個長方形，能夠?qū)⒍囗検?a²+5ab+3b²分解因式嗎？

（8）剛剛所有的拼圖都是在原有基礎(chǔ)上增加出來的，你還能提出什么問題嗎？（允許覆蓋，能否拼成一個長方形從而將多項式a²+2ab-3b²分解因式？）

如此設(shè)計，有四個方面目的（作用）：（1）利用三種紙片的拼圖，再現(xiàn)分解因式的公式，讓學(xué)生感受數(shù)與形的聯(lián)系;（2）通過給定數(shù)量的紙片能拼成一個正方形或長方形，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想和紙片面積一樣的多項式就能分解因式，再尋找關(guān)于這個多項式系數(shù)的規(guī)律;（3）利用三種紙片拼出長方形或覆蓋后拼出長方形，讓學(xué)生懂得從增和減的角度思考問題;（4）適當(dāng)穿插如“利用不同型號的紙片做出正方形”“利用‘L字形紙片進行裁切，拼成長方形”“利用四個長方形拼合‘回字形，探究公式”等活動，引導(dǎo)學(xué)生從紙片面積的不同表達方式入手自發(fā)猜想和驗證，鍛煉提出問題和說理表達的能力。

【案例2】八年級：糖水實驗———探索分式的有關(guān)性質(zhì)

教學(xué)《分式》這一章時，我們選擇《糖水實驗——探索分式的有關(guān)性質(zhì)》這節(jié)實驗課作為載體，在實驗班進行教學(xué)：通過糖水實驗，從生活經(jīng)驗中抽象出數(shù)學(xué)式子，探索并進一步理解分式的相關(guān)性質(zhì)，感受模型思想（對照班則通過傳統(tǒng)的代數(shù)方法，利用通分與約分的類比進行教學(xué)）。實驗過程設(shè)計如下：

（1）在一杯水中加入糖后，水會變甜;再加入水后，又會變淡。你能用數(shù)學(xué)的語言描述這種現(xiàn)象嗎？

（2）有兩杯糖水， 請你提出一個值得研究的問題。（表示糖水的甜度）

（3）單獨添加糖或水， 請你提出一個值得研究的問題。（利用式子描述）

（4）配置糖水：①一杯糖水分配出三小杯，提出一個關(guān)于甜度的問題;②一小杯糖水，倒入原來的杯子中，提出一個關(guān)于甜度的問題;③兩杯不同甜度的糖水，你能提出怎樣的問題？（嘗試利用式子描述）

（5）加糖、加水都是添加，能否提出其他問題？ （通過某種手段提取溶液中的糖或水）

這樣設(shè)計，有四個方面目的（作用）：（1）通過兩杯糖水的對比，引導(dǎo)學(xué)生提出甜度的衡量標(biāo)準(zhǔn);（2）通過單獨添加糖或水，引導(dǎo)學(xué)生利用分數(shù)性質(zhì)解釋生活現(xiàn)象;（3）通過配置糖水，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)影響甜度的因素;（4）通過對問題的變式，體會相對思想，讓學(xué)生懂得可以從增和減的角度提出問題，展開研究。

四、研究結(jié)果

將實驗班和對照班的數(shù)據(jù)合并后，利用SPSS 軟件進行t檢驗，結(jié)果如下：

（一）前測成績分析

以七年級、八年級上一學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績作為前測數(shù)據(jù)，進行統(tǒng)計檢驗，結(jié)果如表2—下頁表5所示。

表3顯示，在方差Levene（齊性）檢驗中，Sig.=0.570>0.05，因此方差齊性，再看對應(yīng)的Sig.（雙側(cè)）=0.883>0.05，因此，七年級實驗組和對照組的前測成績不存在顯著差異。

下頁表5顯示，八年級實驗組和對照組的前測成績也不存在顯著差異。

（二）后測成績分析

對七、八年級的三道后測試題分別做檢驗，再對總成績做檢驗，結(jié)果見下頁表6—表9。

表7表明，七年級的實驗組和對照組在第（1） 題和第（3）題的成績上沒有顯著差異，但是在第（2）題的成績和總分上都有顯著差異。

表9顯示，八年級的實驗組和對照組在第（1） 題和第（2）題的成績上沒有顯著差異，??但在第（3）題的成績和總分上都存在顯著性差異。

可見，通過數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，實驗組和對照組學(xué)生在“問題提出”方面產(chǎn)生了顯著差異，說明數(shù)學(xué)實驗在某種程度上提升了學(xué)生提出問題的能力。

五、結(jié)論與討論

從前測成績看，七、八年級實驗組和對照組均不存在顯著差異，說明實驗組與對照組的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平相當(dāng)，從而為實驗提供了前提性保障。

隨著后續(xù)第一、第二階段數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的開展，實驗組學(xué)生接受了有別于對照組的教學(xué)，通過“做數(shù)學(xué)”，手腦并用，利用數(shù)學(xué)實驗來探究問題。從后測成績看，兩個組之間出現(xiàn)了顯著差異，說明數(shù)學(xué)實驗對學(xué)生提出問題產(chǎn)生了影響，提升了學(xué)生提出問題的能力。

在后測成績中，七年級在測試題第（1）、第（3） 兩題上未體現(xiàn)出顯著差異，但在第（2）題和總分上產(chǎn)生了顯著差異。究其原因，是第（1）題相對容易，第（3）?題相對較難， 而學(xué)生解答的區(qū)分度不高， 第（2）題的問題提出和解決難度中等，學(xué)生在這個問題的回答上產(chǎn)生了一定的分層，從而在該題以及總分上產(chǎn)生了顯著差異。八年級實驗組與對照組在測試題第（1）、第（2）兩題上沒有顯著差異，但在第（3）?題和總分上存在顯著差異。原因可能是：前兩題提出問題并解決相對容易，但第（3）題需要學(xué)生具有一定的觀察、想象和推理能力，并提出一個合適的問題再加以解決，難度較高，因此在該題上體現(xiàn)出較大的差異性。

“做數(shù)學(xué)”與初中生提出問題之間具有內(nèi)在聯(lián)系，能對提出問題能力產(chǎn)生正向影響。“做數(shù)學(xué)”?通過動手動腦，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓一些原本畏懼數(shù)學(xué)、游離在課堂之外的學(xué)生也逐漸參與到學(xué)習(xí)中，拉近了他們與數(shù)學(xué)的距離。通過有趣的實驗環(huán)節(jié)，讓抽象的數(shù)學(xué)變得更加具體和生動。同時，通過獨立思考和同伴討論，學(xué)生也逐漸能找出蘊藏在數(shù)學(xué)現(xiàn)象中的一些規(guī)律，并對此提出自己的問題。而教師在教學(xué)環(huán)節(jié)中的適度引導(dǎo)，可以讓問題變得更有深度，使不同層次的學(xué)生解決不同梯度的問題，讓他們發(fā)展數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力，獲得成就感，進一步提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

參考文獻：

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[3]董林偉.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)實驗手冊（八年級下冊）[M]. 南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2014.

[4]喻平，趙靜亞.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中品格與價值觀的評價指標(biāo)體系建構(gòu)[J]. 課程·教材·教法，2020（6）.

（李天擎，西安交通大學(xué)蘇州附屬初級中學(xué)。楊明遠，西安交通大學(xué)蘇州附屬初級中學(xué)。王曉峰，江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心。）