“做數學”對初中生提出問題能力影響的實驗研究①

李天擎 楊明遠 王曉峰

摘要：數學實驗是“做數學”的一個重要內容。在江蘇省蘇州市某初級中學七年級和八年級選取被試，以教學方法為自變量，提出問題為因變量，實驗組在教學中穿插數學實驗，對照組采用常規教學。在經過6周的教學后進行提出問題的后測，結果顯示，實驗組與對照組的后測成績存在顯著差異。研究表明，數學實驗是促進初中生提出問題能力發展的一條有效途徑。

關鍵詞：“做數學”;數學實驗;提出問題

一、問題提出

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》的總目標中提出，“通過義務教育階段的數學學習，學生能：…… 增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。因此，提出數學問題是義務教育階段學生應具備的基本能力。

國內許多學者對學生提出數學問題做了較多研究。冒建生提出，運用不同的思維方法培養學生提出問題的能力：（1）運用整合條件與結論的方法，讓學生發現和提出問題;（2）運用歸納、類比、聯想的方法，讓學生發現和提出問題;?（3）將問題一般化或特殊化，讓學生發現和提出問題。② 王嶸和蔡金法在對國內外教科書中提出問題內容分析的基礎上，提出三點建議：（1）教師作為課程的再設計者，以簡單的方式重塑現有的教科書，為學生提出問題創造更多的學習機會;（2）以帶有示例性問題的問題提出活動為支撐， 為學生提出問題積累豐富的經驗;（3）鼓勵學生提出不同難度的問題，逐步發展學生的問題提出能力。③ 張丹與吳正憲對提出問題做了實證研究， 通過后測發現：在經歷了兩個學習活動后，二年級學生就已經初步具備發現和提出問題的能力;二到五年級，提出發展性問題的比例越來越大，說明隨著年級的增高學生不斷地積累提出發展性問題的經驗;到了六年級，多數學生已經能夠提出發展性問題，一半以上的學生則能較為系統地提出發展性問題。① 夏小剛等針對學生普遍缺乏提出數學問題的學習經驗和問題意識較為低下的現狀， 開展了對“創設情境—提出問題—解決問題—應用數學”的數學教學模式（簡稱SPBI 模式）的實驗研究。結果表明，SPBI 模式對學生的數學興趣、提出問題能力和數學學習能力具有顯著的促進作用。② 吳華與盧小男認為，多媒體環境對學生提出數學問題有極其重要的作用與意義，把多媒體技術恰當有效地整合到學生提出數學問題和問題解決中是發揮技術價值的一個很好的切入點。多媒體技術使學生能用具體的方法對其數學思維進行表征，有助于學生發現數學問題的本質。③

可以看出，這些研究從教學方式改進或學生參與活動方式變化的角度，來提高學生提出問題的能力。我們則從“做數學”角度切入，用實驗方法探討“做數學”對學生提出問題的影響。

“做數學”是以“做”為支架的一種數學學習活動。包括：（1）數學體驗。是學生動手操作， 作中體驗數學的一種學習方式。（2）數學實驗。是學生在教師指導下，利用一定的工具（實物或軟件）， 通過動手操作、用眼觀察、歸納抽象等過程建構數學概念、驗證數學結論、探索數學規律、解決數學問題的一種學習方式。（3）綜合實踐。是以學生的經驗與生活為核心，強調實踐性的一種學習方式。本次研究的“做數學”，主要指其中的“數學實驗”。

二、研究方法

本次研究是在喻平教授關于“做數學”實證研究總體設計框架下開展的一項研究。

（一）被試選擇

本次研究，被試來自江蘇省蘇州市某初級中學，我們以2020—2021 年第一學期期末數學調研成績為參考，運用SPSS 軟件進行t檢驗，考察七、八年級各個班級之間的差異情況，以此來選擇實驗組和對照組。最后，我們選取了七年級1、2、3、4班與八年級15 、16 、17 、20 班共8個學習水平相當（t檢驗后，檢驗結果不存在顯著差異）的班級參與實驗。其中，七年級1、3班和八年級15 、17 班作為實驗組;七年級2、4班和八年級16 、20 班作為對照組。這8個班級中，每組實驗班和對照班都是由同一位數學教師任教的，從而消除了不同教師的教學水平可能造成的無關變量因素。

（二）研究工具

本次研究主要是評估初中生在提出問題方面的表現，是一種能力的評價性研究，但是從許多相關研究來看，目前沒有比較標準和統一的測量工具。

許多研究者廣泛認同和采用的一種評價思路和手段是：為被試提供或設計一些提出問題的任務，而這些提出問題的任務都是以一定的生活或數學情境為背景的;讓被試針對提供的情境，提出正確的數學問題;對被試提出的問題進行某個維度或視角的分析和評價。

為了實驗的可對比性與嚴謹性，研究工具采用了數學實驗核心組統一編制后交由各校統一使用的測試卷。該測試卷的編制遵從兩個原則：?（1）圍繞所學的知識設計題目;（2）主要考查學生提出問題的能力。

我們采用蔡金法教授的分法，把“提出問題” 分為三級水平（將不能提出問題排除在水平之外）：水平1，能夠提出一個簡單問題;水平2，能夠提出一個中等難度問題;水平3，能夠提出一個較難問題。

兩個年級的測試卷均為三道題目。測試時長40 分鐘。

七年級的測試題如下：

如圖1，在平面內，將一副三角尺擺放在一起， 其中頂點D在邊AC上，設∠ADE=α，∠CDF=β。

請回答下面的問題：

①請你提出一個針對α、β的數學問題，并解答這個問題;

②將三角尺DEF繞點D旋轉，請在圖2中畫出圖形，再提出一個針對α、β的新的數學問題， 并解答這個問題;

③將三角尺DEF繞點D旋轉，使EF⊥AB， 請在圖3中畫出圖形，再提出一個針對α、β的新的數學問題，并解答這個問題。

八年級的測試題如下：

如圖4，已知平行四邊形紙片ABCD。

請回答下面的問題：

①折疊該紙片的1個角，使這個角的兩邊重合，畫出折痕，然后提出一個數學問題，并解答這個問題;

②折疊該紙片的2個角，使這2個角的兩邊分別重合，畫出折痕，然后提出一個與四邊形有關的數學問題，并解答這個問題;

③折疊該紙片的幾個角，使這幾個角的兩邊分別重合，畫出折痕，然后提出一個新的與四邊形有關的數學問題，并解答這個問題。

（三）實驗設計

實驗方案如圖5所示。兩個“做數學”階段， 每一個階段至少安排3次“做數學”活動。

三、研究過程

（一）實驗操作

2021 年2月，以上一學期期末考試成績為參考，選取合適的班級參與本次實驗研究，并確定實驗組和對照組。

2021 年4月—5月，與正常教學同步開始進行數學實驗教學（教學內容詳見下頁表1，皆源自蘇科版初中數學實驗手冊）。

2021 年5月，利用測試卷對學生進行檢測。

（二）數學實驗教學案例

【案例1】七年級：拼圖———探索一類多項式的因式分解

教學《整式乘法與因式分解》這一章時，我們選擇《拼圖——探索一類多項式的因式分解》這節實驗課作為載體，在實驗班中滲透數學實驗的方法：通過拼圖活動，探索拼圖與整式的因式分解之間的內在關系，體會數形結合的思想方法，發展幾何直觀和推理能力（對照班則通過代數方法，利用多項式乘多項式的運算法則，推導得出乘法公式）。

課前，準備A型紙片（邊長為a的正方形）、B 型紙片（邊長為b的正方形）、C型紙片（邊長為a和b的長方形）若干。實驗過程設計如下：

（1）能否利用手上的紙片驗證已經學過的乘法公式？

（2）利用1張A型紙片、4張B型紙片、4張C 型紙片可以拼成什么特殊的四邊形？ 根據該四邊形，你有何發現？

（3）將多項式a²+4ab+4b²分解因式，對比剛剛的拼圖結果，你能提出什么問題？

（4）取1張A型紙片、2張B型紙片、若干C 型紙片，使其拼成一個長方形，你能提出怎樣的問題？

（5）分別取適當數量的A型、B型、C型紙片，?使其拼成一個長為a+3b、寬為a+b的長方形，并將多項式a²+4ab+3b²分解因式，根據剛剛的實驗過程，你有何發現？

（6）如果分別取A型、B型、C型紙片若干，能夠拼成一個長方形，是否就能將一個多項式分解因式？ 如果能，那么你能提出關于這個多項式系數的何種猜想？

（7）分別取適當數量的A型、B型、C型紙片， 使其拼成一個長方形，能夠將多項式2a²+5ab+3b²分解因式嗎？

（8）剛剛所有的拼圖都是在原有基礎上增加出來的，你還能提出什么問題嗎？（允許覆蓋，能否拼成一個長方形從而將多項式a²+2ab-3b²分解因式？）

如此設計，有四個方面目的（作用）：（1）利用三種紙片的拼圖，再現分解因式的公式，讓學生感受數與形的聯系;（2）通過給定數量的紙片能拼成一個正方形或長方形，引導學生大膽猜想和紙片面積一樣的多項式就能分解因式，再尋找關于這個多項式系數的規律;（3）利用三種紙片拼出長方形或覆蓋后拼出長方形，讓學生懂得從增和減的角度思考問題;（4）適當穿插如“利用不同型號的紙片做出正方形”“利用‘L字形紙片進行裁切，拼成長方形”“利用四個長方形拼合‘回字形，探究公式”等活動，引導學生從紙片面積的不同表達方式入手自發猜想和驗證，鍛煉提出問題和說理表達的能力。

【案例2】八年級：糖水實驗———探索分式的有關性質

教學《分式》這一章時，我們選擇《糖水實驗——探索分式的有關性質》這節實驗課作為載體，在實驗班進行教學：通過糖水實驗，從生活經驗中抽象出數學式子，探索并進一步理解分式的相關性質，感受模型思想（對照班則通過傳統的代數方法，利用通分與約分的類比進行教學）。實驗過程設計如下：

（1）在一杯水中加入糖后，水會變甜;再加入水后，又會變淡。你能用數學的語言描述這種現象嗎？

（2）有兩杯糖水， 請你提出一個值得研究的問題。（表示糖水的甜度）

（3）單獨添加糖或水， 請你提出一個值得研究的問題。（利用式子描述）

（4）配置糖水：①一杯糖水分配出三小杯，提出一個關于甜度的問題;②一小杯糖水，倒入原來的杯子中，提出一個關于甜度的問題;③兩杯不同甜度的糖水，你能提出怎樣的問題？（嘗試利用式子描述）

（5）加糖、加水都是添加，能否提出其他問題？ （通過某種手段提取溶液中的糖或水）

這樣設計，有四個方面目的（作用）：（1）通過兩杯糖水的對比，引導學生提出甜度的衡量標準;（2）通過單獨添加糖或水，引導學生利用分數性質解釋生活現象;（3）通過配置糖水，引導學生發現影響甜度的因素;（4）通過對問題的變式，體會相對思想，讓學生懂得可以從增和減的角度提出問題，展開研究。

四、研究結果

將實驗班和對照班的數據合并后，利用SPSS 軟件進行t檢驗，結果如下：

（一）前測成績分析

以七年級、八年級上一學期期末數學考試成績作為前測數據，進行統計檢驗，結果如表2—下頁表5所示。

表3顯示，在方差Levene（齊性）檢驗中，Sig.=0.570>0.05，因此方差齊性，再看對應的Sig.（雙側）=0.883>0.05，因此，七年級實驗組和對照組的前測成績不存在顯著差異。

下頁表5顯示，八年級實驗組和對照組的前測成績也不存在顯著差異。

（二）后測成績分析

對七、八年級的三道后測試題分別做檢驗，再對總成績做檢驗，結果見下頁表6—表9。

表7表明，七年級的實驗組和對照組在第（1） 題和第（3）題的成績上沒有顯著差異，但是在第（2）題的成績和總分上都有顯著差異。

表9顯示，八年級的實驗組和對照組在第（1） 題和第（2）題的成績上沒有顯著差異，??但在第（3）題的成績和總分上都存在顯著性差異。

可見，通過數學實驗教學，實驗組和對照組學生在“問題提出”方面產生了顯著差異，說明數學實驗在某種程度上提升了學生提出問題的能力。

五、結論與討論

從前測成績看，七、八年級實驗組和對照組均不存在顯著差異，說明實驗組與對照組的數學學業水平相當，從而為實驗提供了前提性保障。

隨著后續第一、第二階段數學實驗教學的開展，實驗組學生接受了有別于對照組的教學，通過“做數學”，手腦并用，利用數學實驗來探究問題。從后測成績看，兩個組之間出現了顯著差異，說明數學實驗對學生提出問題產生了影響，提升了學生提出問題的能力。

在后測成績中，七年級在測試題第（1）、第（3） 兩題上未體現出顯著差異，但在第（2）題和總分上產生了顯著差異。究其原因，是第（1）題相對容易，第（3）?題相對較難， 而學生解答的區分度不高， 第（2）題的問題提出和解決難度中等，學生在這個問題的回答上產生了一定的分層，從而在該題以及總分上產生了顯著差異。八年級實驗組與對照組在測試題第（1）、第（2）兩題上沒有顯著差異，但在第（3）?題和總分上存在顯著差異。原因可能是：前兩題提出問題并解決相對容易，但第（3）題需要學生具有一定的觀察、想象和推理能力，并提出一個合適的問題再加以解決，難度較高，因此在該題上體現出較大的差異性。

“做數學”與初中生提出問題之間具有內在聯系，能對提出問題能力產生正向影響。“做數學”?通過動手動腦，調動了學生學習數學的興趣，讓一些原本畏懼數學、游離在課堂之外的學生也逐漸參與到學習中，拉近了他們與數學的距離。通過有趣的實驗環節，讓抽象的數學變得更加具體和生動。同時，通過獨立思考和同伴討論，學生也逐漸能找出蘊藏在數學現象中的一些規律，并對此提出自己的問題。而教師在教學環節中的適度引導，可以讓問題變得更有深度，使不同層次的學生解決不同梯度的問題，讓他們發展數學思維和解決問題的能力，獲得成就感，進一步提升數學學習的熱情。

參考文獻：

[1]趙維坤，章建躍.初中數學實驗的教學設計[J].課程·教材·教法， 2016（8）.

[2]董林偉.義務教育教科書·數學實驗手冊（七年級下冊）[M].南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2014.

[3]董林偉.義務教育教科書·數學實驗手冊（八年級下冊）[M]. 南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2014.

[4]喻平，趙靜亞.數學核心素養中品格與價值觀的評價指標體系建構[J]. 課程·教材·教法，2020（6）.

（李天擎，西安交通大學蘇州附屬初級中學。楊明遠，西安交通大學蘇州附屬初級中學。王曉峰，江蘇省蘇州工業園區教師發展中心。）