在“做數學”中推動自主探究①

張愛平 王磊 陳美華

摘要：“做數學”是一種以“做”為支架的發現和提出問題、分析和解決問題的數學學習活動，具有運用材料和工具、動手和動腦有機結合、以感官促思維等特征。“做數學”突出了數學探究的重要方面，符合學生（尤其是低年級學生）的認知特征（從具體、直觀、感受出發）， 能夠推動學生的數學探究。數學教學中，教師可以創設“做數學”活動，引導學生探究發現數學結論和方法以及數學結構（與思維）。

關鍵詞：“做數學”;數學探究;數學結論;數學方法;數學結構

現代學習理論認為，自主探究通常是最好的學習方式，能幫助學生充分理解所學內容，發展學科素養，培養學習能力。弗賴登塔爾認為，數學學習應該經歷內容的“再發現”與“再創造”過程，即所謂的“數學化”。而“再發現”與“再創造”離不開自主探究。

G. 波利亞認為，數學探究通常是一個發現和提出問題、分析和解決問題的過程，一般可分為發現（猜想）與證明（或反駁）這兩個基本階段。這個過程不僅包括抽象思考、演繹推理、嚴密計算，而且包括通常被認為屬于科學探究的觀察、實驗、驗證、歸納、類比、想象、直覺等，由此能夠發現并證明數學結論和方法，發現并體會數學結構（與思維）。

“做數學”是一種以“做”為支架的發現和提出問題、分析和解決問題的數學學習活動，具有運用材料和工具、動手和動腦有機結合、以感官促思維等特征。在“做數學”的過程中，學生常要通過觀察、實驗、驗證等實踐活動，展開類比、歸納、想象、直覺等思維活動，從而發現數學結論和方法以及數學結構（與思維）。可見，“做數學”突出了數學探究的重要方面，符合學生（尤其是低年級學生） 的認知特征（從具體、直觀、感受出發）， 能夠推動學生的數學探究。

因此，數學教學中，教師可以創設“做數學”活動來推動學生的自主探究。下面通過具體案例進行闡述。

一、在“做數學”中探究發現數學結論

很多數學結論（如定理、公式、性質、法則等） 具有直觀或實際意義。學生可以通過“做數學”再現這種“直觀”與“實際”，探究發現數學結論，再通過證明加以確定（或否定）。

例如，在初中，為了發展學生的空間觀念，可以引導學生探究正方體截面的形狀：用一個平面截正方體，截面的形狀可能是什么？ 對此，學生很難通過想象、畫圖以及切割實物發現結論。教師可以引導學生在可密閉的全透明的正方體盒子中注入不同量的有顏色的水，并且不斷調整正方體盒子的擺放位置，觀察水面的形狀，從而歸納發現結論。

首先，在正方體盒子中注入少量的水，將盒子水平放置在桌面上，觀察發現水面是正方形（如圖1所示）; 再不斷調整盒子的擺放位置，觀察發現水面可能是三角形、四邊形和五邊形（如圖2所）。

其次，在正方體盒子中注入較多的水，將盒子水平放置在桌面上，觀察發現水面是正方形（如圖3所示）; 再不斷調整盒子的擺放位置，觀察發現水面可能是四邊形、五邊形和六邊形（如圖4所）。

進一步觀察還能夠發現：截面三角形是銳角三角形;截面四邊形至少有一組對邊平行，即可以是矩形、正方形、平行四邊形、梯形;截面五邊形有兩組對邊平行;截面六邊形三組對邊都平行。

由此，教師可以引導學生思考：截面為什么不可能是七邊形、八邊形乃至更多邊形？ 截面多邊形為什么具有上述特征？ 并讓學生嘗試說明理由。

在此基礎上，可以讓學生再探究其他幾何體截面的形狀，繼續通過“做數學”探究發現結論，促進經驗與方法的內化。

再如，教學“分式的性質”時，為了提升學生對分式（分數）大小的感悟（屬于數感）， 可以引導學生探究分子單獨、分母單獨或分子和分母同時加或減一些數后分數大小的變化。對此，可以引導學生聯系糖水甜度變化的生活經驗，類比發現有關結論。

然后，可以引導學生通過嚴謹的代數推理來證明這些不等關系和相等關系。

此外，還可以引導學生思考：上面所得的式子中，各個字母表示的都是正數，那么如果它們是負數，相應的式子還成立嗎？ 從而進一步促進學生思考與探究的完善。

二、在“做數學”中探究發現數學方法

有時，尤其是學習一些幾何知識時，通過“做數學”，不僅能夠探究發現數學結論，而且能夠探究發現證明（確定）數學結論的方法。

例如，教學“三角形內角和定理”時，學生不難通過多次畫圖、測量、計算，歸納猜想：所有三角形的內角和都是180 度。那么，怎么證明這個結論呢？ 可以引導學生“做數學”，探究發現證明方法。

可以引導學生用紙片把三角形的三個內角撕拼成一個平角，從而發現作一條邊的平行線，利用內錯角相等來移角，并結合平角為180 度來證明的方法（如圖5所示）。

可以引導學生在數學軟件（如“網絡畫板”） 中，畫出△ABC，沿CB或BC延長線方向拖動頂點B或C，發現∠B或∠C在變小，∠A在增大，但∠B或∠C與∠A的和不變，而AB或AC越來越接近與BC平行的位置，從而發現作一條邊的平行線，利用內錯角相等來移角，并結合同旁內角之和為180 度來證明的方法（如圖6所示）。

還可以引導學生玩“轉筆游戲”：將鉛筆依次繞三角形的三個頂點按同樣的方向（如順時針）轉過三個內角，發現筆尖開始的朝向與最終的朝向正好相反（如圖7所示）， 從而考慮將三次旋轉集中到一點，發現作一條邊的平行線，利用內錯角相等和同位角相等來移角，并結合平角為180 度來證明的方法（如圖8所示）。

再如，教學“圓周角定理”時，學生不難通過多次畫圖、測量、計算，歸納猜想：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，同弧或等弧度所對的圓周角相等。那么，怎么證明這個結論呢？ 可以引導學生“做數學”，探究發現證明方法。

為此，可以制作“圓周角探究儀”：如下頁圖9， 由圓軌道、直軌道、2個定點與2個動點構成。通過直軌道上動點的移動，可以發現同弧度所對的圓內角、圓周角和圓外角的大小關系。而通過圓軌道上動點的移動，可以發現：當圓心在圓周角的一條邊上時（如下頁圖10 所示）， 很容易證明圓周角是圓心角的一半;當圓心在圓周角內部時（如下頁圖11 所示）， 圓周角可以轉化為兩個一邊經過圓心的圓周角的和;當圓心在圓周角外部時（如下頁圖12 所示）， 圓周角可以轉化為兩個一邊經過圓心的圓周角的差。由此，不難得到圓周角定理的分類討論證明方法。

又如，教學“圓的面積計算公式”時，可以引導學生類比遷移將平行四邊形、三角形、梯形割補轉化為長方形或平行四邊形，從而得到相應面積計算公式的方法，思考如何將圓割補轉化為已經學過面積計算公式的圖形來得到圓的面積計算公式。然后，可以引導學生“做數學”，探究發現轉化方法：抓住圓的本質特征（半徑相等）， 基于對稱美的直覺，從便于操作的角度，通過對折將圓形紙板等分成4個、8個、16 個、32 個…… 扇形紙板，再將得到的扇形紙板密合拼接，看能得到什么圖形。

學生不難得到多個近似（曲邊）平行四邊形（如圖13 所示）， 進而發現：當分割的等份數越來越大時，拼接得到的曲邊平行四邊形越來越接近長方形。由此，引導學生分析得到：曲邊平行四邊形不斷接近的長方形長和寬分別是πr和r，所以面積是πr²，從而得到圓的面積計算公式S=πr²。學生可以從中體會到化曲為直和極限的思想。

教師還可以引導學生將得到的扇形紙板近似密合拼接，得到多個近似（曲邊）三角形和多個近似（曲邊）梯形（ 16 等份時圖形如圖14 所示），進而發現：當分割的等份數越來越大時，拼接得到的曲邊三角形和曲邊梯形越來越接近三角形和梯形。由此，學生同樣可以得到圓的面積計算公式，還可以提高思維的靈活性。

此外，教師可以引導學生利用生活中由一圈圈布條圍成的圓形杯墊（如圖15 所示）進行操作： 把杯墊沿半徑剪開，將布條盡量拉直并有序排列， 發現可以拼接成一個近似三角形，其底就是圓的周長，其高就是圓的半徑（如圖16 所示）， 從而很容易得到圓的面積計算公式。

三、在“做數學”中探究發現數學結構

G. 波利亞有過一個比喻：“好問題與某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個。“其實， 這是因為數學結論之間是存在聯系的，即數學結論是具有結構性的。因此，通過“做數學”，不僅可以探究發現數學結論，而且應該努力在變化和遷移中探究發現更多結論，從而發現數學結構，完善認知結構，進而充分感悟數學思維，真正學會數學探究。

例如，教學“等腰三角形的軸對稱性”后，可引導學生從“等腰三角形底邊的中點到兩腰的距離相等”這一簡單（特殊）性質出發，通過“做數學”的方式進行拓展探究：先后將底邊的中點變成對稱軸上的任意一點、底邊及其延長線上的任意一點、三角形內的任意一點，將等腰三角形變成等邊三角形、一般三角形，遷移運用有關經驗與方法。學生于探究中能夠發現并證明關于三角形內部或邊上的點到各邊的距離的更多（一般）性質，從中發現數學結構，感悟數學思維。

“等腰三角形底邊的中點到兩腰的距離相等” 這一性質利用符號語言和圖形語言表示就是：如圖17，在△ABC中，AB=AC，P是BC邊的中點， PE⊥AB，PF⊥AC，垂足為E、F，求證：PE=PF。其證明較簡單：可以證明△PBE≌△PCF;可以連接AP，利用AP平分∠BAC證明△PAE≌△PAF。

然后，可以利用數學軟件（如“網絡畫板”）在中線AP所在直線上移動點P（如圖18 所示）， 引導學生發現始終有PE=PF，即：等腰三角形底邊上的中線所在直線上的任意一點到兩腰的距離相等。

也可以在底邊BC上移動點P，同時度量PE、PF的長度（如圖19 所示）， 引導學生基于點P與端點B或C重合的極端情況，發現始終有PE+ PF=BG（=CH）， 即：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和等于腰上的高。這一結論的證明稍有難度。可以引導學生過點P作PD⊥BG于D，先證明四邊形PDGF是矩形，再證明△BPE≌△PBD;也可以引導學生連接AP，通過S△ABC= S△APB+S△APC來證明。

還可以在底邊BC的延長線上移動點P，類似地引導學生得到：等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰的距離差等于腰上的高。

接著，可以把底邊BC上的點P移動到△ABC內，并增加PD⊥BC于D的條件，引導學生探究等腰三角形內任意一點到三邊的距離滿足的關系。

對此，首先可以引導學生注意到三角形三邊地位的平等性（對稱性）， 假設三角形是等邊三角形，即從最特殊的情況開始探究。學生基于點P與頂點A或B或C重合的極端情況，發現并證明等邊三角形內任意一點到三邊的距離和等于任一邊上的高。

參考文獻：

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[3] 趙維坤，董林偉.初中數學實驗工具的開發與利用[J]數學通報，2018（11）.

[4] 董林偉， 趙維坤等. 初中數學實驗的課程開發與實施[M]. 南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2018.

（張愛平，江蘇省南京市教育科學研究所副所長。特級教師，正高級教師。第四批“江蘇人民教育家培養工程”培養對象，南京市陶行知教育思想研究會副會長，南京師范大學教育碩士兼職導師，南京曉莊學院客座教授。主持研究江蘇省教育科學“十二五”規劃重點資助課題“初中數學體驗室建設與利用的研究”、江蘇省教育科學“十三五”規劃重點資助課題“初中數學體驗校本課程的開發研究”等課題10項。研究成果《初中數學體驗教學的實踐探索》獲江蘇省第五屆教育科研成果一等獎。王磊，南京師范大學附屬中學樹人學校。中國數學奧林匹克國家一級教練員。江蘇省基礎教育質量監測中心命題組成員。曾獲全國數學優質課競賽一等獎，江蘇省數學優質課競賽第一名。陳美華，江蘇省常州市實驗小學。特級教師。常州市小學數學學科兼職教研員，常州市小學數學實驗教學研究項目負責人。中國教育學會小學數學專業委員會先進工作者， 常州市教育領軍人才。多篇論文發表于核心期刊或被人大復印報刊資料《小學數學教與學》全文轉載。）