定比分點的幾種形式在高考中的應用

楊偉達

(廣東省廣州市花都區第二中學 510800)

縱觀近幾年高考題，筆者發現定比分點在現成的人教版教材不作要求，但它卻是平面向量的一部分(人教版必修4第99頁例8)，在數學教材的思考、探索之中，在歷年的高考中都能夠捕捉到它的影子．

一、向量形式

定比分點作為向量分解的補充，以三角形形式在高考中累累呈現，常常考查基向量系數或比值，對提高學生的邏輯推理和數學運算素養具有重要意義．

特別地，當點P為線段P1P2的中點時，此時λ=1有

又因為B、C、D三點共線，所以

因為△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°

二、坐標形式

定比分點以線段的形式出現，常常轉化為坐標，結合方程思想求出；另一種方式根據向量的分解，依托三角形法則分解未知向量，化為基本量，用坐標法即可解決.這些在解析幾何或空間立體幾何中時常呈現，在高考中是一種習以為常的題型.

設P1、P2的坐標分別是(x1,y1)，(x2,y2)

分析本題考查了橢圓與直線的綜合問題．題目給出分點坐標和比值，采用坐標法代入，列方程組轉化為關于一元二次函數即可將問題解決．

解設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

即x1=-2x2，y1=3-2y2．

所以當m=5時，點B橫坐標的絕對值最大，最大值為2．

(1)求證：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

分析本題考查了立體幾何的線面垂直、二面角、線面關系．關鍵是分點F和分點G．第二、三問涉及定比分點，題目已知端點坐標和比值，用三角形法則或坐標法即可求得.

三、坐標形式拓展

例4(2015浙江)如圖6，設拋物線y2=4x的焦點為F，不經過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C，其中點A,B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是( ).

分析本題考查拋物線與直線相交的綜合問題.利用等高不同底原理把面積比轉化為線段之比，再利用相似比轉化為坐標比，結合拋物線的定義問題即可解決．

當然，定比分點的代數形式還與函數、數列、不等式等有著千絲萬縷的聯系，筆者在此沒有展開，不一一列舉.