一道“八省聯考”解幾題的多解、推廣及通法總結

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學 241000)

一、試題呈現與分析

(2021年1月23日全國高三“八省聯考”數學第7題)已知拋物線y2=2px上三點A(2,2)，B，C，直線AB,AC是⊙I：(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

分析該題綜合性強、解法靈活，考查了拋物線與圓的簡單幾何性質，方程的思想，直線與圓、拋物線的位置關系等知識，考查了學生分析問題、解決問題的能力及轉化與化歸的數學思想，體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學核心素養.試題看似簡單、明了，但內涵豐富，本文嘗試對該題從不同的角度予以思考，給出不同的解法，并揭示出問題的命題背景，最后總結出該類問題的通解通法，以發揮該題的最大價值.

二、解法探究

評注考慮到直線BC的方程受到直線AB,AC的制約，于是考慮將AB,AC兩條直線的方程同時和拋物線聯立，得到三個公共點A,B,C縱坐標同時滿足的方程，通過提取公因式舍去點A，得到關于B,C的方程3y2+12y+8=0，結合y2=2x，得到直線BC的方程.該法過程簡潔，運算量小，不失為一種巧妙解法.

三、變式推廣，深入探究

數學家波利亞曾說：“解題就像采蘑菇一樣，當我們發現一個蘑菇時，它的周圍可能有一個蘑菇圈.”解答完本題后，筆者有如下變式探究：

探究1 已知⊙I：(x-2p)2+y2=r2(r>0)與拋物線y2=2px無公共點，拋物線上三點A(2p,2p)，B，C，滿足直線AB,AC是⊙I的兩條切線，求證直線BC的斜率為定值.

既然圓的半徑可以一般化，條件可簡化為kAB+kAC=0，由此，得到如下結論：

若點A為拋物線y2=2px任意一點(異于坐標原點O)，結論變不變呢？

由此，得到如下結論：

說明特別地，結論2中的y0=2p，即為結論1.

橢圓、雙曲線和拋物線統稱為圓錐曲線，三者之間有很多可類比的性質，體現了圓錐曲線的內在統一，于是筆者對橢圓與雙曲線進行了探究.

證明設B(x1,y1)，C(x2,y2)，則lAB：y-y0=k(x-x0)，lAC：y-y0=-k(x-x0).

由此，得到如下結論：

類比可得雙曲線中的如下結論：

由于橢圓經過伸縮變換，可以得到以坐標原點為圓心的圓，類比可得如下結論：

說明限于篇幅，結論4,5的證明可參照結論3的證明.

考慮平移變換，對于圓心不為坐標原點的圓，容易得到如下結論：

基于上述討論，筆者猜想：若直線AB與AC無限靠近直至重合，則B,C兩點可以視做點A關于x軸的對稱點，根據對稱性，此時直線BC的斜率與曲線在點A處切線斜率互為相反數.筆者利用幾何畫板分別在圓、橢圓、雙曲線、拋物線上探究，發現猜想正確，考慮將圓、橢圓、雙曲線、拋物線統一為二次曲線方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，得到如下結論：

說明限于篇幅，結論7的證明留給讀者思考.

四、總結通解通法，掌握模式化解題策略

通過上述研究發現，我們可以將問題概括為斜率和為定值的相交弦問題，解法3(雙直線方程法)為我們提供了一種解決該類問題的新思路，下面我們通過一道高考真題及其變式來理解這種解題方法.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設直線l不經過P2點，且與橢圓C相交于A,B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1，證明：直線l經過定點.

變式將(2)中的“若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1”改為“若直線P2A與直線P2B的斜率積為-1”.

評注例1及其變式，沒有采用傳統的聯立直線l與橢圓方程，消元得到一元二次方程后利用韋達定理解題，而是利用直線P2A與P2B的雙直線方程與橢圓方程聯立，得到關于P2,A,B三點的曲線系方程，利用分解因式的辦法舍去點P2，得到直線l的方程，相較于傳統法，解答過程過程簡潔，運算量小.

通過上述討論，不難發現，若題中條件符合兩條相交弦所在直線的斜率和(或積)為定值，則利用雙直線方程與曲線方程聯立，利用斜率和(或積)的定值，可以巧妙解題，具體步驟總結如下：

雙直線方程法步驟：

(1)寫出兩相交弦所在直線的點斜式方程y-y0=k1(x-x0)，y-y0=k2(x-x0)(其中(x0,y0)為相交弦的交點坐標，k1,k2為兩相交弦所在直線的斜率)；

(2)寫出雙直線方程[y-y0-k1(x-x0)][y-y0-k2(x-x0)]=0，利用斜率k1,k2的定值關系將其化簡；

(3)將(2)中所得雙直線方程與曲線方程聯立，得到兩相交弦的端點(共三點)坐標滿足的曲線系方程，通過因式分解舍去點(x0,y0)，得到含有參數k1,k2的直線方程.

五、拓展應用，深化理解

例2(2019年北京卷·第18題)已知拋物線C：x2=-2py經過點(2，-1)．

(1)求拋物線C的方程及其準線方程；

(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N，直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

解析(1)C：x2=-4y，準線：y=1(過程略)；

評注注意到直線OM與ON為相交弦，考慮直線OM與ON的雙直線方程與拋物線聯立，通過因式分解舍去點O，得到直線MN的方程，利用直線MN經過焦點，得到斜率積為定值，接著將斜率積轉化為A,B兩點橫坐標關系，接下來問題迎刃而解.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

六、反思總結

1.一題多解，提高解題能力

數學離不開解題，數學研究的過程就是解決問題的過程，掌握數學的一個重要標志就是善于解題.可見，解題是一名教者的必備技能，技能的形成并非一朝一夕，而在于日積月累.數學解題是鞏固基礎知識、落實基本技能、感悟思想方法、提升思維敏銳度的系統活動，所以對一道典型問題進行多角度的分析與解答是非常必要的.筆者從三個角度分析“八省聯考”的解幾小題，得到三種不同解法，第一種解法屬于最常用解法，先設線再求點，計算量大，過程復雜，第二種方法根據題目特點，先設點再求線，優化了解題過程，簡化了計算，第三種解法抓住題目斜率和為定值的兩條相交弦的命題背景，采用雙直線法，巧妙自然，富有創意.

2.變式推廣，尋求多解歸一

“八省聯考”的數學試卷由教育部組織命制，每一道試題凝聚著命題人的心血與智慧，是命題者反復考量與打磨才成型的，對新高考的教學具有導向性與啟示性.對典型試題進行逆向探究、引申探究、類比探究等，往往可以得到很多有價值的東西，筆者將試題一般化處理，得到結論1和2，運用類比的思想方法，探究橢圓、雙曲線、圓，依次得到結論3、4、5和6，最后將四種曲線統一為二次曲線，得到結論7，體現了二次曲線內在統一.教學中，教師若能合理運用上述方式，定能教會學生處理同類問題的通解通法，避免題海戰術，減輕學生負擔，提高學習效率，達到多解歸一的目的.

3.總結通法，形成模式化解題策略

通過分析、對比、歸納，概括出一類問題的公同特點，依此特點制定規范的解題步驟，形成模式化解題策略，這樣就可以教會學生處理同類問題的通解通法，避免題海戰術，減輕學業負擔，提高學習效率.這樣，我們在學習基礎知識，掌握基本技能的同時，就可以有效鍛煉思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創新性，達到舉一反三、融會貫通的解題水平和能力，提高自身的數學思想和數學核心素養.