關(guān)于圓的有關(guān)內(nèi)容教材編寫(xiě)及二次開(kāi)發(fā)研究（一）

劉慧

[摘 要]結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中編寫(xiě)的圓的周長(zhǎng)與圓周率探索活動(dòng)進(jìn)行了比較分析。從被測(cè)量材料和測(cè)量方法兩方面，指出并論證了教材中探究活動(dòng)設(shè)計(jì)存在的問(wèn)題，以及探究很難得出圓的周長(zhǎng)、圓周率較為精確的結(jié)果的事實(shí)和原因;提出了完善教材探索活動(dòng)的兩個(gè)建議，并給出了具體的措施。

[關(guān)鍵詞]教材編寫(xiě);圓;周長(zhǎng);圓周率;探究

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）20-0001-04

圓的有關(guān)知識(shí)是小學(xué)高年級(jí)的重要幾何內(nèi)容之一。國(guó)內(nèi)現(xiàn)行各版本教材中，蘇教版教材將其編排在五年級(jí)下冊(cè)，其他版本教材將其編排在六年級(jí)上冊(cè)。由于圓形的物體在生活中隨處可見(jiàn)，且有著非常廣泛的應(yīng)用，故教材的相關(guān)內(nèi)容都注重圓與生活的聯(lián)系和探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)，充分體現(xiàn)了新課改提倡的自主探究、自我構(gòu)建知識(shí)的教育理念。然而，研讀和分析教材的編寫(xiě)以及教學(xué)實(shí)證后發(fā)現(xiàn)，教材編寫(xiě)的一些探究活動(dòng)很難落實(shí)，有必要對(duì)其進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)。本專(zhuān)題研究先對(duì)教材的編寫(xiě)進(jìn)行比較分析，然后提出教材二次開(kāi)發(fā)的建議，本文就先對(duì)圓的周長(zhǎng)與圓周率之探究活動(dòng)進(jìn)行比較分析。

一、關(guān)于測(cè)量圓的周長(zhǎng)方法的分析

圓周率的探究離不開(kāi)測(cè)量圓的周長(zhǎng)和直徑。由于直徑便于測(cè)量，而周長(zhǎng)的測(cè)量有一定的困難，所以教材都設(shè)計(jì)了圓的周長(zhǎng)的探究測(cè)量活動(dòng)。

1.被測(cè)量材料的分析

綜觀(guān)教材的設(shè)計(jì)，被測(cè)量的材料包括以下幾方面。

（1）無(wú)圓形輔助物，直接測(cè)量圓這個(gè)圖形。顯然，畫(huà)一個(gè)圓后測(cè)量這個(gè)圓的周長(zhǎng)，學(xué)生是根本不可能做到的。但是，青島版教材（第60頁(yè);如圖1）就是“測(cè)量幾個(gè)圓的直徑和周長(zhǎng)”，且沒(méi)有圓形輔助物用于測(cè)量。給出的測(cè)量方法中，無(wú)論是用線(xiàn)圍一圈圓這個(gè)圖形的周?chē)獓蛇@個(gè)圓（再測(cè)量線(xiàn)的長(zhǎng)度），還是將這個(gè)圓的圖形沿直尺邊沿滾一圈，都是不好操作的。另外，浙教版教材（第63頁(yè);如圖2）給出的第一種方法是“用線(xiàn)圍成一個(gè)圓”。這里連圓都不畫(huà)，也沒(méi)有圓形輔助物可以纏繞，直接用線(xiàn)圍成一個(gè)圓對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)幾乎不可能。

（2）有圓形輔助物。除青島版教材外，其他版本教材（包括浙教版教材的第二種測(cè)量方法）都設(shè)計(jì)了測(cè)量輔助物——圓形物品，但選用的物品不同：

①讓學(xué)生自己選擇圓形輔助物。如，人教版教材（第63頁(yè);如圖3） 是讓學(xué)生自己“找一些圓形的物品”，由于圓形的物品不好確定，無(wú)法判斷是否有利于測(cè)量操作;北師大版教材（第9頁(yè);如圖4）則是讓學(xué)生自己選“3個(gè)大小不同的圓片”，從圖可見(jiàn)圓片比較小，用線(xiàn)圍或滾小圓片測(cè)量顯然不是很好操作。

②有固定的圓形物品用于測(cè)量。如，西師大版教材（第16頁(yè);如圖5）、冀教版教材（第42、43頁(yè);如圖6、圖7），既給出了一元硬幣用于測(cè)量，也讓學(xué)生自己選一些圓形的物品用于測(cè)量。滬教版教材（第105頁(yè);如圖8）則給出了固定的五角硬幣和一元硬幣用于測(cè)量。由于硬幣容易找到，不易變形，這為學(xué)生進(jìn)行測(cè)量提供了方便，有利于探究活動(dòng)的進(jìn)行。

③學(xué)生自己制作圓形卡片。浙教版教材（第64頁(yè);如圖9）和蘇教版教材（第92頁(yè);如圖10）都是讓學(xué)生用硬紙板分別剪出幾個(gè)大小不同的圓（應(yīng)為圓片），且浙教版教材明確規(guī)定了直徑的長(zhǎng)度，蘇教版教材則是由學(xué)生自己確定，這些都有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力。可是，學(xué)生雖然在硬紙板上用圓規(guī)畫(huà)出圓容易，但要剪出圖示標(biāo)準(zhǔn)的或略標(biāo)準(zhǔn)的圓片恐怕有很大難度。再者，用線(xiàn)圍或滾比較薄（否則剪不出來(lái)）的小圓片也不太好操作。

綜上，被測(cè)量的圓形物品的材料及其大小都會(huì)影響學(xué)生的測(cè)量探究活動(dòng)。相對(duì)來(lái)說(shuō)，只要方法得當(dāng)，測(cè)量硬幣的周長(zhǎng)還是比較符合實(shí)際的，但硬幣太小也會(huì)給測(cè)量增加困難，且容易出現(xiàn)誤差。

2.測(cè)量方法的分析

不同版本的教材對(duì)于測(cè)量圓的周長(zhǎng)都設(shè)計(jì)了兩種方法。

其一，用線(xiàn)（或皮尺）在圓形物品上圍一圈，然后測(cè)量線(xiàn)（或皮尺）的長(zhǎng)度。這種測(cè)量方法比較簡(jiǎn)單，也較容易操作，只要被測(cè)量的圓形物品合適，相對(duì)來(lái)說(shuō)還是能夠得出較為精確的測(cè)量結(jié)果的。

其二，將被測(cè)量的圓形物品在直尺上滾動(dòng)一圈，然后讀出結(jié)果。從圖示可以看出，各教材幾乎都是將圓形物品（圓片）在直尺標(biāo)有刻度線(xiàn)一側(cè)的側(cè)面（棱）上進(jìn)行滾動(dòng)，既為了好讀數(shù)，也是為了滾動(dòng)時(shí)讓圓形物品沿著直尺邊緣走直線(xiàn)。可是，這樣好操作嗎？眾所周知，現(xiàn)在學(xué)生用的直尺大多是塑料或不銹鋼的，厚度往往不超過(guò)1毫米，在這么薄的直尺上滾動(dòng)圓片猶如走鋼絲，甚至比走鋼絲還難，要想獲得比較精確的結(jié)果，難度可想而知，更不用說(shuō)在滾動(dòng)過(guò)程中可能還會(huì)滑動(dòng)。

3.測(cè)量很難得出比較精確的結(jié)果

可見(jiàn)，即使選擇了比較好測(cè)量的圓形物品（如硬幣），且測(cè)量方法得當(dāng)，要想得出比較精確的結(jié)果，難度也比較大。不妨看看一些教材上的測(cè)量結(jié)果。

人教版教材（第62頁(yè);如圖11）用了兩種測(cè)量方法。從圖示的測(cè)量結(jié)果可知，被測(cè)量圓片的周長(zhǎng)都是6厘米。可從圖示的標(biāo)尺可見(jiàn)，圓的直徑約為1.6厘米，周長(zhǎng)約是5.0265厘米，誤差之大可見(jiàn)一斑。

冀教版教材（如圖6）上顯示，滾的是2001年的第四套人民幣一元的硬幣，從1厘米處開(kāi)始滾，滾一圈的落點(diǎn)是9.25厘米，即周長(zhǎng)是8.25厘米。若按圖上標(biāo)尺所示，硬幣的直徑約為2.25厘米，周長(zhǎng)約為7.0686厘米。實(shí)際上，中國(guó)人民銀行公布的1元硬幣的直徑為25毫米，周長(zhǎng)約為7.8540厘米。誤差顯然不小。

因此，即使選用了合適的圓形物品，不管是用哪種方法去測(cè)量，要得到比較精確的結(jié)果都有較大難度。

二、圓周率的探究分析

關(guān)于圓周率的探究，各版本教材的編排大同小異，可以說(shuō)，都是在測(cè)量了幾個(gè)圓的直徑和周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生直接計(jì)算出周長(zhǎng)除以直徑的商，填在表格中進(jìn)行比較后再估測(cè)。基于上面的分析，周長(zhǎng)的測(cè)量本身就有較大的誤差;而直徑雖然好測(cè)量一些，但肯定也存在誤差，就是好測(cè)量的硬幣也是如此。例如，西師大版教材（如圖5）中1元硬幣的直徑是2.4厘米，冀教版教材（如圖6）的是2.25厘米，而標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)是2.5厘米。既然測(cè)量直徑和周長(zhǎng)都會(huì)出現(xiàn)較大的誤差，那計(jì)算得出的商，其誤差一般來(lái)說(shuō)就會(huì)更大。可能正是基于此，大多數(shù)教材都指出周長(zhǎng)是直徑的3倍多一點(diǎn)，然后借助數(shù)學(xué)史介紹其數(shù)值，這種設(shè)計(jì)處理還是符合實(shí)際情況的。當(dāng)然，浙教版教材（如圖9）直接得出了約為3.14的結(jié)論，這恐怕是先入為主或憑空想象吧，因?yàn)閯⒒帐怯?jì)算到圓內(nèi)接正192邊形才得到圓周率約為3.14的。必須指出的是，整個(gè)探究過(guò)程都是按設(shè)計(jì)好的“測(cè)量—計(jì)算—填表—觀(guān)察—結(jié)論”步驟進(jìn)行，至于為什么計(jì)算周長(zhǎng)除以直徑的商，而不計(jì)算周長(zhǎng)除以半徑的商都沒(méi)有說(shuō)明，這不但不能促進(jìn)學(xué)生思考，還束縛了學(xué)生的思維;有的教材甚至連比較都沒(méi)有，一次觀(guān)察就得出結(jié)論。這樣的“探究”有多少思維含量？須知探究式教學(xué)的關(guān)鍵在于促進(jìn)學(xué)生動(dòng)腦思考啊！

三、思考與建議

一些教材編排的探究活動(dòng)只是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到周長(zhǎng)是直徑的3倍多一點(diǎn)，學(xué)生幾乎不可能得出“約為3.14”，最后還必須得借助數(shù)學(xué)史。下面就新課改的教育理念設(shè)計(jì)探究活動(dòng)。

1.讓學(xué)生測(cè)量大一些的硬的圓形物體

測(cè)量的圓形物體比較小（如硬幣、小圓片等）且易變形（如圓形紙片）時(shí)，學(xué)生既不好操作，還容易出現(xiàn)測(cè)量誤差，導(dǎo)致緊接著的計(jì)算的誤差更大，很難得到較為精確的值。若讓學(xué)生測(cè)量一些方便攜帶的、熟悉的、較大的圓形物體（如光盤(pán)、圓形的小鏡子等），用皮尺（或線(xiàn)）將其圍一圈，既好測(cè)量，又可減少誤差。這樣，在學(xué)生認(rèn)識(shí)到周長(zhǎng)是直徑的3倍多一點(diǎn)后，教師再借助數(shù)學(xué)史介紹其數(shù)值即可。當(dāng)然，不少教材一開(kāi)始就給出了一些圓形的、大的物體，如車(chē)輪、圓飯桌、天壇的地基等，這些不可能搬到課堂上去操作，只能作為聯(lián)系生活的問(wèn)題提出而已。

2.設(shè)計(jì)圓內(nèi)接和外切正多邊形讓學(xué)生進(jìn)行測(cè)量探究

（1）設(shè)計(jì)直（半）徑較大（為減少誤差）且為整數(shù)厘米的圓，作出其圓內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形（最好提供給學(xué)生現(xiàn)成的材料，因?yàn)閷W(xué)生自己作圖很困難）。

（2）讓學(xué)生分別測(cè)量圓內(nèi)接和外切正六邊形的邊長(zhǎng)，計(jì)算出周長(zhǎng)。

（3）引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察、比較與思考，使其認(rèn)識(shí)到圓夾在兩個(gè)正六邊形之間，周長(zhǎng)比圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)大，比圓外切正六邊形的周長(zhǎng)小，即“圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)<圓的周長(zhǎng)<圓外切正六邊形的周長(zhǎng)”。

（4）計(jì)算周長(zhǎng)除以直徑的商，即“圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)/直徑<圓的周長(zhǎng)/直徑<圓外切正六邊形的周長(zhǎng)/直徑”，再取兩邊商的平均值，即可得出圓的周長(zhǎng)除以直徑的商的近似值。

（5）借助數(shù)學(xué)史介紹圓周率。

這樣設(shè)計(jì)不僅滲透了古人計(jì)算圓周率的方法，還滲透了兩邊夾逼的極限思想（實(shí)際上是《高等數(shù)學(xué)》中兩邊夾法則或迫斂定理的應(yīng)用）。如果想得到更為近似的結(jié)果，也可作圓內(nèi)接與外切正八邊形再完成上述過(guò)程。當(dāng)然，邊數(shù)越多越精確，只是沒(méi)有那個(gè)必要。

其實(shí)，關(guān)于圓內(nèi)接或外切正多邊形的圖形在蘇教版、北師大版、青島版等教材中都出現(xiàn)過(guò)，遺憾的是知識(shí)之間缺乏聯(lián)系，不能實(shí)現(xiàn)知識(shí)與方法的統(tǒng)一。

總之，讓學(xué)生在一節(jié)課上得出圓周率較為精確的值是根本不可能的。因此，只要讓學(xué)生借助簡(jiǎn)單的操作，再加上動(dòng)腦思考，認(rèn)識(shí)到圓周率比3大一點(diǎn)，再進(jìn)行介紹就行了，沒(méi)有必要進(jìn)行過(guò)多的、機(jī)械式的操作探究活動(dòng)，更何況，課堂上也沒(méi)有這些時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行探究。

【本文系“青藍(lán)項(xiàng)目：青島市教育學(xué)會(huì) 2018 年度教育研究項(xiàng)目——關(guān)于空間與圖形領(lǐng)域課堂探索活動(dòng)編寫(xiě)的比較研究（QES18E152）”研究成果之一。】

（責(zé)編金 鈴）