關于圓的有關內容教材編寫及二次開發研究（一）

劉慧

[摘 要]結合教學實踐，對現行小學數學教材中編寫的圓的周長與圓周率探索活動進行了比較分析。從被測量材料和測量方法兩方面，指出并論證了教材中探究活動設計存在的問題，以及探究很難得出圓的周長、圓周率較為精確的結果的事實和原因;提出了完善教材探索活動的兩個建議，并給出了具體的措施。

[關鍵詞]教材編寫;圓;周長;圓周率;探究

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0001-04

圓的有關知識是小學高年級的重要幾何內容之一。國內現行各版本教材中，蘇教版教材將其編排在五年級下冊，其他版本教材將其編排在六年級上冊。由于圓形的物體在生活中隨處可見，且有著非常廣泛的應用，故教材的相關內容都注重圓與生活的聯系和探究活動的設計，充分體現了新課改提倡的自主探究、自我構建知識的教育理念。然而，研讀和分析教材的編寫以及教學實證后發現，教材編寫的一些探究活動很難落實，有必要對其進行二次開發。本專題研究先對教材的編寫進行比較分析，然后提出教材二次開發的建議，本文就先對圓的周長與圓周率之探究活動進行比較分析。

一、關于測量圓的周長方法的分析

圓周率的探究離不開測量圓的周長和直徑。由于直徑便于測量，而周長的測量有一定的困難，所以教材都設計了圓的周長的探究測量活動。

1.被測量材料的分析

綜觀教材的設計，被測量的材料包括以下幾方面。

（1）無圓形輔助物，直接測量圓這個圖形。顯然，畫一個圓后測量這個圓的周長，學生是根本不可能做到的。但是，青島版教材（第60頁;如圖1）就是“測量幾個圓的直徑和周長”，且沒有圓形輔助物用于測量。給出的測量方法中，無論是用線圍一圈圓這個圖形的周圍——圍成這個圓（再測量線的長度），還是將這個圓的圖形沿直尺邊沿滾一圈，都是不好操作的。另外，浙教版教材（第63頁;如圖2）給出的第一種方法是“用線圍成一個圓”。這里連圓都不畫，也沒有圓形輔助物可以纏繞，直接用線圍成一個圓對學生來說幾乎不可能。

（2）有圓形輔助物。除青島版教材外，其他版本教材（包括浙教版教材的第二種測量方法）都設計了測量輔助物——圓形物品，但選用的物品不同：

①讓學生自己選擇圓形輔助物。如，人教版教材（第63頁;如圖3） 是讓學生自己“找一些圓形的物品”，由于圓形的物品不好確定，無法判斷是否有利于測量操作;北師大版教材（第9頁;如圖4）則是讓學生自己選“3個大小不同的圓片”，從圖可見圓片比較小，用線圍或滾小圓片測量顯然不是很好操作。

②有固定的圓形物品用于測量。如，西師大版教材（第16頁;如圖5）、冀教版教材（第42、43頁;如圖6、圖7），既給出了一元硬幣用于測量，也讓學生自己選一些圓形的物品用于測量。滬教版教材（第105頁;如圖8）則給出了固定的五角硬幣和一元硬幣用于測量。由于硬幣容易找到，不易變形，這為學生進行測量提供了方便，有利于探究活動的進行。

③學生自己制作圓形卡片。浙教版教材（第64頁;如圖9）和蘇教版教材（第92頁;如圖10）都是讓學生用硬紙板分別剪出幾個大小不同的圓（應為圓片），且浙教版教材明確規定了直徑的長度，蘇教版教材則是由學生自己確定，這些都有利于培養學生的動手能力?？墒牵瑢W生雖然在硬紙板上用圓規畫出圓容易，但要剪出圖示標準的或略標準的圓片恐怕有很大難度。再者，用線圍或滾比較?。ǚ駝t剪不出來）的小圓片也不太好操作。

綜上，被測量的圓形物品的材料及其大小都會影響學生的測量探究活動。相對來說，只要方法得當，測量硬幣的周長還是比較符合實際的，但硬幣太小也會給測量增加困難，且容易出現誤差。

2.測量方法的分析

不同版本的教材對于測量圓的周長都設計了兩種方法。

其一，用線（或皮尺）在圓形物品上圍一圈，然后測量線（或皮尺）的長度。這種測量方法比較簡單，也較容易操作，只要被測量的圓形物品合適，相對來說還是能夠得出較為精確的測量結果的。

其二，將被測量的圓形物品在直尺上滾動一圈，然后讀出結果。從圖示可以看出，各教材幾乎都是將圓形物品（圓片）在直尺標有刻度線一側的側面（棱）上進行滾動，既為了好讀數，也是為了滾動時讓圓形物品沿著直尺邊緣走直線?？墒?，這樣好操作嗎？眾所周知，現在學生用的直尺大多是塑料或不銹鋼的，厚度往往不超過1毫米，在這么薄的直尺上滾動圓片猶如走鋼絲，甚至比走鋼絲還難，要想獲得比較精確的結果，難度可想而知，更不用說在滾動過程中可能還會滑動。

3.測量很難得出比較精確的結果

可見，即使選擇了比較好測量的圓形物品（如硬幣），且測量方法得當，要想得出比較精確的結果，難度也比較大。不妨看看一些教材上的測量結果。

人教版教材（第62頁;如圖11）用了兩種測量方法。從圖示的測量結果可知，被測量圓片的周長都是6厘米。可從圖示的標尺可見，圓的直徑約為1.6厘米，周長約是5.0265厘米，誤差之大可見一斑。

冀教版教材（如圖6）上顯示，滾的是2001年的第四套人民幣一元的硬幣，從1厘米處開始滾，滾一圈的落點是9.25厘米，即周長是8.25厘米。若按圖上標尺所示，硬幣的直徑約為2.25厘米，周長約為7.0686厘米。實際上，中國人民銀行公布的1元硬幣的直徑為25毫米，周長約為7.8540厘米。誤差顯然不小。

因此，即使選用了合適的圓形物品，不管是用哪種方法去測量，要得到比較精確的結果都有較大難度。

二、圓周率的探究分析

關于圓周率的探究，各版本教材的編排大同小異，可以說，都是在測量了幾個圓的直徑和周長的基礎上，讓學生直接計算出周長除以直徑的商，填在表格中進行比較后再估測。基于上面的分析，周長的測量本身就有較大的誤差;而直徑雖然好測量一些，但肯定也存在誤差，就是好測量的硬幣也是如此。例如，西師大版教材（如圖5）中1元硬幣的直徑是2.4厘米，冀教版教材（如圖6）的是2.25厘米，而標準應是2.5厘米。既然測量直徑和周長都會出現較大的誤差，那計算得出的商，其誤差一般來說就會更大?？赡苷腔诖耍蠖鄶到滩亩贾赋鲋荛L是直徑的3倍多一點，然后借助數學史介紹其數值，這種設計處理還是符合實際情況的。當然，浙教版教材（如圖9）直接得出了約為3.14的結論，這恐怕是先入為主或憑空想象吧，因為劉徽是計算到圓內接正192邊形才得到圓周率約為3.14的。必須指出的是，整個探究過程都是按設計好的“測量—計算—填表—觀察—結論”步驟進行，至于為什么計算周長除以直徑的商，而不計算周長除以半徑的商都沒有說明，這不但不能促進學生思考，還束縛了學生的思維;有的教材甚至連比較都沒有，一次觀察就得出結論。這樣的“探究”有多少思維含量？須知探究式教學的關鍵在于促進學生動腦思考啊！

三、思考與建議

一些教材編排的探究活動只是讓學生認識到周長是直徑的3倍多一點，學生幾乎不可能得出“約為3.14”，最后還必須得借助數學史。下面就新課改的教育理念設計探究活動。

1.讓學生測量大一些的硬的圓形物體

測量的圓形物體比較?。ㄈ缬矌?、小圓片等）且易變形（如圓形紙片）時，學生既不好操作，還容易出現測量誤差，導致緊接著的計算的誤差更大，很難得到較為精確的值。若讓學生測量一些方便攜帶的、熟悉的、較大的圓形物體（如光盤、圓形的小鏡子等），用皮尺（或線）將其圍一圈，既好測量，又可減少誤差。這樣，在學生認識到周長是直徑的3倍多一點后，教師再借助數學史介紹其數值即可。當然，不少教材一開始就給出了一些圓形的、大的物體，如車輪、圓飯桌、天壇的地基等，這些不可能搬到課堂上去操作，只能作為聯系生活的問題提出而已。

2.設計圓內接和外切正多邊形讓學生進行測量探究

（1）設計直（半）徑較大（為減少誤差）且為整數厘米的圓，作出其圓內接正六邊形和外切正六邊形（最好提供給學生現成的材料，因為學生自己作圖很困難）。

（2）讓學生分別測量圓內接和外切正六邊形的邊長，計算出周長。

（3）引導學生觀察、比較與思考，使其認識到圓夾在兩個正六邊形之間，周長比圓內接正六邊形的周長大，比圓外切正六邊形的周長小，即“圓內接正六邊形的周長<圓的周長<圓外切正六邊形的周長”。

（4）計算周長除以直徑的商，即“圓內接正六邊形的周長/直徑<圓的周長/直徑<圓外切正六邊形的周長/直徑”，再取兩邊商的平均值，即可得出圓的周長除以直徑的商的近似值。

（5）借助數學史介紹圓周率。

這樣設計不僅滲透了古人計算圓周率的方法，還滲透了兩邊夾逼的極限思想（實際上是《高等數學》中兩邊夾法則或迫斂定理的應用）。如果想得到更為近似的結果，也可作圓內接與外切正八邊形再完成上述過程。當然，邊數越多越精確，只是沒有那個必要。

其實，關于圓內接或外切正多邊形的圖形在蘇教版、北師大版、青島版等教材中都出現過，遺憾的是知識之間缺乏聯系，不能實現知識與方法的統一。

總之，讓學生在一節課上得出圓周率較為精確的值是根本不可能的。因此，只要讓學生借助簡單的操作，再加上動腦思考，認識到圓周率比3大一點，再進行介紹就行了，沒有必要進行過多的、機械式的操作探究活動，更何況，課堂上也沒有這些時間讓學生進行探究。

【本文系“青藍項目：青島市教育學會 2018 年度教育研究項目——關于空間與圖形領域課堂探索活動編寫的比較研究（QES18E152）”研究成果之一?！?/p>

（責編金 鈴）