難以分清的“葡萄”和“葡萄干”

周游

[摘 要]引導學生解難題時，教師不能局限于一種方法，而應該根據學生學習的基礎和知識的更新情況，適時調整方法，改換策略，從列表策略過渡到“比例”的方法，提高解題效率。

[關鍵詞]列表;對應關系;比例

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0045-02

偶然讀到一篇數學論文，題目為《從“曬制葡萄干”說起》，文中提到一道經典的數學應用題“用4千克的葡萄可以曬制葡萄干1.6千克，照這樣計算，1千克的葡萄可以曬制葡萄干多少千克？要曬制1千克葡萄干需要多少千克葡萄？”，并提供了兩種解題方法。第一種：鎖定問題，即最后求的是葡萄干還是葡萄的質量。如果求的是葡萄干的質量，那就用葡萄干的質量除以葡萄的質量;如果求的是葡萄的質量，那就用葡萄的質量除以葡萄干的質量。第二種：鎖定問題的開頭語。如果問題的開頭語是1千克葡萄，那就把葡萄的質量作為除數，葡萄干的質量作為被除數，列一個除法算式;如果問題的開頭語是1千克葡萄干，那么就倒過來，把葡萄干的質量作為除數，葡萄的質量作為被除數，列一個除法算式。顯然，一些教師認為與其費盡唇舌還不能讓學生領悟個中原委，不如直接用斷句法和語句推敲法“快刀斬亂麻”，但這種做法是極其短視的。

一、詞句分析法不可取

五年級的學生開始學習小數和分數，習題及測試卷中常常會出現“黃金搭檔”填空題，如“火神山建筑隊每1.5小時可以粉刷120平方米的外墻，照這樣計算，火神山建筑隊1小時可以粉刷（?）平方米的外墻？粉刷1平方米外墻要（ ? ）小時？”，對于此類題，學生的答題正確率比較高，但對于變式題“用4千克的葡萄可以曬制葡萄干1.6千克，照這樣計算，1千克的葡萄可以曬制葡萄干多少千克？要曬制1千克葡萄干需要多少千克葡萄？”，學生的答題正確率則呈斷崖式下降。

筆者訪談了不少學生，以了解其中原因。其一：前一題有相應的數量關系式“施工速度=任務量÷施工時間”“施工時間=工程總量÷施工速度”，而后一題則缺少這種通識性的數量關系式作為支撐。其二：前一題中，當目標量的單位是“平方米”時，就用120平方米除以1.5小時;當目標量的單位是“小時”時，就用1.5小時除以120平方米。因為根據除法性質，商的單位和被除數的單位要保持一致，因此商和被除數應是同類量，而后一題中所有的單位都是千克，就難以據此列式了。

二、列表找對應關系

由以上分析可見，教學中不應只關注學生做題結果的正確率，還應關注學生的思考過程，在學生理解的基礎上建立除法解題模型，讓學生在解決問題的過程中積累基本的數學經驗。

為此，筆者總結出了“回環相除”題型，即不論哪一個量除以哪一個量，都是圍繞著一個基本的數量關系式“總數÷份數=每份數”來展開的。當然，這必須具體情況具體討論，因為“總數”和“份數”會隨著題意的變化而進行“角色互換”。因此，教師首先要指導學生反復讀題，明確“總數”和“份數”分別對應的量，對于不便明確的量，推薦使用列表法。首先，用列表摘選條件的方法來解析題意。列表過程雖然瑣碎，但是對精準分析題意發揮著重要的作用。經過一段時間的練習，學生就可以做到在腦海中形成虛擬表格，并成為一種下意識的行為。其次，要重視列表摘選條件的方法指導。雖然，學生在四年級學過列表法，但對列表法的運用還是很生澀，此時教師的指導很關鍵。第三，列表后的對比辨析至關重要。如下表：

分析表中數據可以發現，葡萄和葡萄干的質量是有對應關系的，葡萄質量增加，葡萄干的質量也相應增加，葡萄的質量減少，葡萄干的質量也相應減少。既然存在這樣的對應關系，就可據此進行具體分析，如表格中4千克葡萄→1千克葡萄，縮小了4倍，那么曬制的葡萄干的量也相應縮小4倍，變為1.6÷4=0.4（千克）;當葡萄干1.6千克→葡萄干1千克時，縮小了1.6倍，那么葡萄的量也相應縮小1.6倍，變為4÷1.6=2.5（千克）。利用列表法，可幫助學生看清葡萄和葡萄干之間的一一對應關系，為解題提供了思路。由此可見，列表分析對應關系比先計算每份數更符合學生的思維特性。

三、從比例的角度來理解

到了六年級，學生學了比例知識后，“曬制葡萄干”的解決途徑又多出一條。在列表分析對應關系的基礎上，讓學生進一步理解“同樣的葡萄作原料，葡萄干的出產率是一定的”“相對應的葡萄干與葡萄（或者葡萄與葡萄干）的比值是一定的”“相對應的葡萄干與葡萄（或者葡萄與葡萄干）存在比例關系”。學生很快發現：4千克葡萄∶1.6千克葡萄干=1千克葡萄∶？千克葡萄干，可列出比例式4∶1.6=1∶x，反過來1.6千克葡萄干∶4千克葡萄=？千克葡萄干∶1千克葡萄，可列出比例式1.6∶4=x∶1;4千克葡萄∶1.6千克葡萄干=？千克葡萄∶1千克葡萄干，可列出比例式4∶1.6=y∶1，反過來，1.6千克葡萄干∶4千克葡萄=1千克葡萄干∶？千克葡萄，可列出比例式1.6∶4=1∶y。這時，列比例式的方法比列表找對應關系方便得多。

“列比例式”的方法，可有效解決“已知巨峰葡萄曬制葡萄干的出產率為40%，50千克巨峰葡萄可曬制多少千克葡萄干？要曬制50千克葡萄干需要多少千克巨峰葡萄？”這一問題。學生只要理解“出葡萄干率=葡萄干的千克數÷葡萄的千克數”，便能順利地列出“x/50=40%”“50/y=40%”。類似的求治愈率、到崗率等的問題也都可以迎刃而解。當然，在更復雜的分數應用題中，該方法也能夠大顯神威。如“方艙醫院新冠肺炎男性、女性患者的比是4∶3，轉走2名女患者后，男性和女性女患者的比是6∶5，求原來男性、女性患者各有多少人？”這樣一道題，以往的解法是，先設“男性患者人數”這個不變量為單位“1”，求出原來女性患者人數占單位“1”的3/4，后來女性患者人數占單位“1”的5/6，再用2÷（5/6?-3/4）=24求出男性患者人數，最后求出原來的女性患者人數。現在，可以根據比例列出方程：[4x/3x-2=65]。在后面的拓展題“方艙醫院收治的新冠肺炎男性、女性患者人數的比是4∶3，轉走2名男性患者，又轉進1名女性患者后，男性、女性患者的比是6∶5，求原來男性、女性患者各有多少人？”中，關系較為復雜，但學生可以利用比例列出方程：[4x-23x+1=65]。

一道看似尋常的“曬制葡萄干”題，引出不同的解題方法。教師應該時刻保持科研者的心態，敏銳地嗅出數學題背后的知識鏈接，引導學生尋求問題的破解之道。

（責編 羅 艷）