在確定單位和實際測量中建構面積概念

裴為堂

[摘 要]教學“面積和面積單位”時，有兩處難點，一是怎么建立準確、穩固的面積概念，二是在制定面積單位時，選用什么作為面積單位，面積大小和面積單位的度量過程與結果有什么關聯。教學時，教師應引導學生在面積單位確定和實際測量中有效建構面積的概念。

[關鍵詞]面積;面積單位;概念; 測量

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0033-02

對于“面積和面積單位”，教材進行了這樣的描述：比較兩個圖形面積的大小要用統一的度量單位來測量。對此，筆者不禁質疑：三年級的學生，如果懂得用圖形去度量圖形，難道會不知道要統一度量衡，用統一規格的單位面積？除此之外，教材還提出一問題：“用何種形狀的圖形作為單位面積比較科學？”對于這一問題，筆者認為不論是從測量方便上考量，還是從學生的認知習慣來考慮，不同的測量對象應該采用不同形狀的單位面積。比如一個大的等邊三角形，恰好可以分割成整數個小等邊三角形，此時用小等邊三角形作為度量的單位面積正適合。教材上還提到：“選用正方形作為度量的單位面積最合適?！比绻麅H僅是度量長方形，選用正方形作為度量的單位面積固然方便，但長方形不就有得天獨厚的優勢嗎？為了做出合理解釋，許多教師創設了許多情境，并由此得出結論：正方形可以密鋪，而長方形不能密鋪。

一、概念教學策略確定

對于“正方形可以密鋪，而長方形不能密鋪”的觀點，筆者不敢茍同。筆者認為，正方形也有“留縫”的時候，長方形也有可以密鋪的時候。

“面積和面積單位”這一課的內容屬于概念教學，而基礎概念就應該讓學生在生活中感受和提煉，或者在操作中體會，或者在解決困難時摸索。

“面積”的概念形成應該來自于度量面積的客觀需要，輔之以一定量的辨析，學生對面積這個概念的認識就會更加理性、全面而深刻。因此，本著“不悱不發，不憤不啟”的原則，筆者引導學生在解決問題的過程中揭露概念的本質。如果能讓學生在解決問題的過程中產生一種熱切渴望建立具有固定形狀的度量標準的剛需，然后用單位面積的數量來計量待測物的面積大小，那么他的“面積單位”概念就會掌握得更加牢固。

當然，尺子是無法測量圖形的面積的，但是不少學生卻認為可先用尺子量出圖形的長，再量出圖形的寬，然后用“長乘寬”就能算出其面積的大小，而這都是尺子測量的“功勞”。但這并不是直接度量出待測物包含面積單位的數量，而是基于算術意義上的核計面積單位數量的簡算方法。教師完全可以直接教學生這種算術意義上的面積計算方法，但果真如此做，學生也許終身都無法領悟面積單位的真諦，也無法理解長乘寬得出面積的始末。

長乘寬的確可以求出長方形的面積，學生只要量出長方形的長和寬，就可以計算出它的面積，照此說法，只要測量出三角形和梯形的關鍵線段的長度，就可以輕易求出它們的面積，但是這是測算，不是測量。這個過程是一個運用公式計算的過程，是一個物理換算的過程，是由長度推算出面積大小的過程，測量的原始量不是面積而是長度，不能算作直接度量面積。直接度量面積使用的測量工具應該包含面積單位，面積是二維平面內的幾何量，所以測量工具應該是一個固定大小的平面而不是一個一維的長度，既然如此，測算出的面積自然就無法揭示面積的本質含義，也無法體現面積單位的本質屬性。那么，測量長度有刻度尺，刻度尺本身就包含各種長度的線條，而且都標好了標準單位，那么測量面積有什么工具呢？顯然，這個工具上需要標明面積單位的刻度。在尋找和創造面積度量工具和物色面積單位時，學生自然會對面積單位的屬性做進一步思考并建立高級認識。

二、改進教案后的試教與反響

正是有了以上反思，筆者開始改進教案。首先引導學生觸摸物體表面，感受其大小，然后讓學生給這種平面的大小命名。學生會說出“面積”這個新詞，此時學生對圖形面積的認識還存在障礙（在兩次教學中可見一斑），容易和周長混為一談。因此，很有必要讓學生指出面積的所在，以便和周長區分。比如三角形的面積在何處？需要引導學生指出三角形的三邊包圍的整個內部區域就是其面積，并讓學生辨析面積和周長的區別。經過以上訓練，學生對面積概念的掌握十分到位。在學生認清了物體表面的面積和圖形的面積之后，再讓其歸納總結面積的概念就水到渠成了。學生建立了面積的概念后，理解“面積單位”的含義就成了當務之急。筆者設計了面積大小的比較活動。先出示兩組僅憑肉眼就能輕易看出大小的圖形，一組是足球場和籃球場的對比圖，另一組是需要疊放才能比較大小的組圖（如圖1），再出示一組靠直觀觀察和疊放都無法比較面積大小的圖形，讓學生自行鉆研，攻克難題。學生可能會將首次疊再后露出來的部分都剪下來，繼續疊放，循環往復，直到比出兩個面積的大小。這不失為一個好辦法，但不是最好，因為不但操作煩瑣，而且破壞了圖形的原形。

思維遇阻后，學生往往會想到測量法。要測量就需要測量工具，讓學生自發物色測量工具，絕非易事，但也不是絕無可能。筆者先誘導學生說出用尺子測量，并在征求意見時形成兩派爭論之勢，少部分學生會想到用圖形來測量，而這個作為測量工具的圖形的廬山真面目就是“面積單位”，只不過這個“面積單位”的大小未知，也沒有得到廣泛認可。為了與1平方厘米、1平方分米、1平方米的單位標準合拍，筆者引導學生從眾多可供選擇的單位形狀中選出正方形。為了盡量避免人為操縱，筆者嘗試同時使用正方形和長方形密鋪，在“競爭”中突顯正方形測量的優越性。

首次試教中，意外頻發。學生認定長方形更合適，理由是1個長方形的面積剛好等于2個正方形的面積（失手造成的意外案例），如此一來，密鋪完待測物后需要長方形的數量就最少，因此更合適。局面十分尷尬，但為了后面的教學，筆者拿出教師的絕對權威：正方形的四條邊都一樣長，測量起來更方便，更受歡迎（事實上，學生很反感）。學生屈服于筆者的權威，只好乖乖選用正方形。于是筆者安排小組用正方形去度量同一個長方形：有的小組拼擺的結果是24個小正方形，有的小組拼擺的結果是6個小正方形。這樣就有了認知沖突，統一標準勢在必行。但正方形多種多樣，將哪一個定為標準合適呢？這就為下一課時的學習做好鋪墊，體現了知識的連貫性。

三、課后的得失與爭論

比如長方形面積的計算公式，就是建立在用1平方厘米大的正方形密鋪圖形時巧算正方形數量的基礎上。對該內容，教研組也有一些爭論，焦點就在“選用正方形測量最合適”上。教師都認為，沒有最合適的單位形狀，合不合適要因圖而異。筆者再一次細細研讀《教師教學用書》，發現書中有這樣的描述：“教師應該明白，將面積單位規定為哪種形狀、哪種尺寸，純屬人為規定。根據需要，選用其他形狀，比如正五邊形也并無不妥?！惫P者一下子感到“沉冤得雪”，既然真相大白，那為啥教材還要說“選用正方形測量是最方便的？”，這背后一定有什么不得已的“苦衷”。

這個“苦衷”莫非就是為了確定1平方厘米、1平方分米、1平方米？用圖形去測量圖形的面積重要嗎？筆者認為，這對學生創造出正確的面積單位，理解計算面積大小的真實原理來說很重要。但是，當我們理解了面積的計算原理后，誰還會去采用這種粗笨的圖形密鋪測量法呢？換言之，對于不同的圖形應該因地制宜選用不同的單位面積形狀，而實際上學生需要測量面積的圖形就只有長方形，所以教材上說“選用正方形測量是最方便的”。那么為何要排除它的“兄弟”長方形呢？學生不是覺得長方形方便嗎？筆者無心之失造就的一個特殊長方形（正好能分成2個正方形）倒提了個醒——應該選用更普通的長方形。思前想后，筆者決定做如下處理（如圖2）。

該圖形雖然沒能杜絕巧合，但是普遍性更強了。同時直觀上，也揭示了用4條邊等長的正方形測量時的優勢。這個處理在公開課中大放異彩，收到了意想不到的效果。

（責編 童 夏）