關于圓的有關內容教材編寫及二次開發研究（二）

劉慧

[摘 要]結合教學實踐與實驗，對現行小學數學教材中編排的圓的面積估測和公式推導的探究活動做了比較分析，指出了“畫—分—剪—拼”探究方法存在的問題，并結合實驗論證了其不可行性，提出了借助三角形的面積公式推導圓的面積公式等完善教材的建議。

[關鍵詞]教材編寫;圓;面積;探究

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0005-04

“圓的面積”是“圓”這一單元內容的重中之重，各教材為了體現新課改的教育理念，展現圓的面積公式的來龍去脈，滲透數學思想，都精心編排了探究過程。但操作驗證后發現，教材的設計目標很難實現，因此有必要對教材編寫的探究活動進行分析。

一、圓的面積公式推導方法分析

關于圓的面積公式推導，各教材給出的方法既有一樣的，也有不同的。歸納起來，主要有以下幾種。

1.將圓分割為若干等份后拼成已學圖形

在紙上畫圓，將它分成若干等份，剪下圓并沿等分線剪開，分成若干扇形小紙片，再拼成已學圖形，進而推導出圓的面積公式。這是所有教材都給出的探究方法（簡稱為“畫—分—剪—拼”方法），只是化歸的方向不同，有的單一，有的多向。

（1）化歸為平行四邊形（長方形）

這種化歸方向是各教材中都有的，表述也大同小異。先對人教版教材進行分析，然后再指出其他教材的異同。人教版教材（第67頁;如圖1）先提出“在硬紙上畫一個圓，把圓分成若干（偶數）等份，剪開后，用這些近似等腰三角形的小紙片拼一拼，你能發現什么？”，然后將圓紙片分成了16等份和32等份，拼出了近似的長方形，指出“分的份數越多，拼成的圖形就越接近長方形”的極限思想，推導出了圓的面積公式。此探究活動其實很難實施。首先，用圓規在硬紙上畫一個圓好辦，可不管是把圓形紙片先分后剪，還是先剪后分，都得把圓形紙片剪下來，那要剪成一個比較標準的圓形紙片就很難。其次，假設能剪下一個標準的圓形紙片，怎么把它分成16等份和32等份？學生確實會作垂線，可先作兩條互相垂直的直徑將圓形紙片分成4等份，那再分呢？只能測量角，把直角分成兩個45°角以確定等分點，進而8等份;再測量出22.5°、11.25°……以分成16等份、32等份……此操作也不容易。第三，假設能夠在圓形紙片上畫16或32等份線，那剪開的過程也比較繁雜，即使學生能夠完成，但由于折疊的紙容易卷曲也會影響拼圖。第四，拼圖就非得拼出近似的長方形嗎？拼出的圖形與平行四邊形不是更近似嗎？拼成學過的其他近似的圖形（梯形、三角形）不行嗎？

其實，蘇教版教材（第97頁;如圖2）可能考慮到了以上分析的問題，故在教材附頁中給出了圖中所示的、帶有16等份和32等份等分線的圓讓學生剪，這雖然減少了操作的難度，但其他問題仍然存在。而滬教版教材（第112頁;如圖3）、北師大版教材（第14頁;如圖4）、西師大版教材（第20頁;如圖5）、冀教版教材（第48頁;如圖6）、青島版教材（第66頁;如圖7），除上述問題外還存在一個問題，那就是“等分圓這個圖形，并把等分后的圖形拼起來”，學生能做到嗎？恐怕也是剪開圓形紙片去拼的。

（2）化歸為梯形或三角形

作為探究活動，浙教版教材是沒有封堵學生的化歸思路，且給學生留有思考空間的。浙教版教材（第69、70頁;如圖8、圖9）不僅展示拼成的、近似的平行四邊形和長方形，還有近似的梯形和三角形，這對促進學生發散思維和提升創新能力成是有較大幫助的。另外，西師大版教材在練習中以思考題的形式讓學生拼出近似的梯形和三角形去推導公式，也彌補了探究時化歸思路單一的不足。

綜上所述，用“畫—分—剪—拼”方法探究圓的面積公式，不僅因存在上述問題很難實施，還把探究活動變成了按流程進行的操作活動，變成了手工課。

2.將圓轉化為近似的三角形

有的教材將圓分割成若干等份后，得到的每一份都是近似的等腰三角形（扇形），但不剪拼圖形，而是根據三角形的面積公式推導圓的面積公式。如，浙教版教材（如圖9）把圓分成32等份，不剪開，將每一小份（扇形）當作三角形來求面積后再乘以32，即得到圓的面積公式。另外，冀教版教材（第47頁;如圖10）以飛鏢板為例也是這種處理方式，計算出了面積，只是沒有借助其推導出圓的面積公式。

再者，北師大版教材（第16頁;如圖11）是剪開草繩編制的圓形茶墊，將其轉化成近似的三角形，利用其面積推導出圓的面積公式。此方法新穎、獨特，但只適用于類似的物品，而不適用于圓形紙片、鐵片等實體，缺乏一般性，這也應是教材將其作為一種介紹而沒有把它作為推導圓面積公式的原因。

顯然，將圓轉化為近似的三角形，利用三角形的面積公式推導出圓的面積公式的方法，比“畫—分—剪—拼”方法要好。因為將每一個小扇形當作三角形，其近似程度比剪開拼成的近似的已學圖形更高，且省去了不少煩瑣的機械式操作。

二、思考與建議

1.“畫—分—剪—拼”的探究方法不具備可行性

我給已學過圓的面積的學生提供圓形紙片，讓他們按照“畫—分—剪—拼”的探究方法進行操作。該班45人，在20分鐘內能分成32等份并拼成較標準拼圖的一個人也沒有，能分成16等份后拼成還算較標準拼圖的也只有7人。尤其需要指出的是，這7人都沒有按教材上的要求去做，而是邊折邊割完成的，不是剪開而是割開。試想：按教材的步驟在紙上畫一個圓，把它略為標準地剪下來就至少需要1～2分鐘;將圓形紙片等分并畫上16或32等份的等分線，這需確定等分點并畫出8或16條直徑，也至少需要5～6分鐘才能做到;用剪刀剪成16、32等份，分別需要剪15、31次，在不要求很標準的情況下至少也需要5～6分鐘;最后拼出圖形少說也得2～3分鐘。可見，20分鐘之內絕大多數學生是不能完成的。因此，這種探究方法根本不具備可行性。事實上，眾多該內容的教學只是簡單介紹此方法，而后用多媒體展示說明，真正讓學生按此方法進行操作探究的不多，足可說明大多數教師也發現了此方法的不可行性。既然如此，此探究方法的設計就沒有存在的必要。若教材中仍保留此方法，可隨教材配備將圓形紙已分成16或32等份的粘貼紙，讓學生揭下來進行拼圖即可。這樣省去畫、分、剪，只保留拼，可取得同樣的探究效果。

2.建議借助三角形的面積公式推導圓的面積公式

浙教版教材（如圖9）把圓等分而不剪開，將每一小份扇形（各教材在“圓”這一單元都設計了扇形的內容）當作三角形推導圓的面積公式的方法是可取的，只是學生將圓等分為32等份比較困難。其實，既沒有等分的必要，也不用分成太多份，只要讓學生將其分成一些比較小的扇形，看出這些扇形與三角形很接近（相似），引導學生類比三角形的面積公式求出每個小扇形的面積，再求和即可推導出圓的面積公式。這樣設計既滲透了將圓轉化為近似三角形的化歸思想和極限思想，學生也好操作、理解與掌握，可大大提高教學效率，同時還能滲透類比這一重要方法。

教材的重要性眾所皆知，毋庸贅述。教材編寫探究活動貫徹新課改的教育理念是必要的，但教師應親自動手操作、驗證一下可行性進而完善之才更好、更穩妥。

【本文系“青藍項目：青島市教育學會 2018 年度教育研究項目——關于空間與圖形領域課堂探索活動編寫的比較研究（QES18E152）”研究成果之一。】

（責編 金 鈴）