關于圓的有關內容教材編寫及二次開發研究（四）

劉慧 王素玲

[摘 要]對浙教版、蘇教版、西師大版教材中估計圓的面積的編排內容做比較和分析，指出了存在意圖不明、前后環節不銜接、思路斷層及顛倒等問題，提出了完善教材、探究并獲得圓的面積猜想過程的具體建議。

[關鍵詞]圓;面積;教材;估計

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0011-03

在探究圓的面積公式時，有的教材除了用“畫—分—剪—拼”方法之外，還在此前做了估計圓的面積的設計。由于只涉及幾個版本的教材，故在此單獨進行比較分析。

一、教材比較分析

1.浙教版教材與青島版教材

浙教版教材在第68頁（如圖1）給出了圓內接和外切正方形，以及邊長為圓的半徑的正方形，通過讓學生比較圓的面積和這些正方形面積之間的關系進行了初步估計，得到圓的面積在以半徑為邊長的小正方形的面積（半徑×半徑）的2倍與4倍之間。

青島版教材在第65頁（如圖2）設計了圓的內接和外切正多邊形，有正四邊形、正八邊形、正十六邊形。但從引導語看，僅得到了圓的面積比圓內接正方形的面積大一些，比圓外切正方形的面積小一些的結果，沒有進一步量化，應該不是為了讓學生估計或猜出圓的面積。

這兩個版本教材的內容只能讓學生感受圓的面積的大體范圍，不足以引導學生猜想圓的面積，教材也沒引導學生提出猜想，而是進入利用“畫—分—剪—拼”方法探究圓的面積公式環節，但設計思路缺乏連貫性，難道是為了滲透化曲為直、化圓為方的化歸思想？還是為圓的分割做思想與方法的準備和鋪墊，滲透古人求圓周率和圓的面積的方法及極限思想？

2.蘇教版教材與西師大版教材

蘇教版教材（第96頁;如圖3）和西師大版教材（第19頁;如圖4）估測圓的面積都是采用數方格這種最基本的方法，使學生認識到圓的面積比“半徑×半徑”的3倍多一些。由圖可見，蘇教版教材的內容更詳細一些，給出了邊長為4、5、6個單位長度的正方形，并列成表格形成對比;而西師大版教材只給出邊長為4個單位長度的正方形。但它們都存在以下問題：

首先，這兩個版本教材應該是想通過“3倍多一些”引導學生聯想到圓周率，從而提出“圓的面積是半徑×半徑的[π]倍”之猜想，繼而再驗證猜想，推導圓的面積公式。這樣，既滲透了“提出問題—猜想—驗證（證明）猜想—獲得結論”的科學發現方法與模式，又培養了學生的創新能力。可遺憾的是，教材沒有提出猜想，也沒引導學生提出猜想，而是直接進入利用“畫—分—剪—拼”方法推導圓的面積公式的環節，讓人感到該設計思路斷層。

其次，有機械操作計算的問題。因設計都是在方格紙上直接數出四分之一圓的面積，進而得出圓的面積后再進行計算。這種直接數出面積的方法不但不精確，而且是學生一開始學習面積不得已而采用的方法，在已經學習了不少圖形的面積后再采用這種原始方法能促進學生認知的提高嗎？

最后，存在思路顛倒的問題。由圖3和圖4可知，兩個版本教材都是先給出正方形，然后以它的邊長為半徑畫圓。這里是探討圓的面積問題，應該是先畫圓。有的人可能會說：“先畫誰不行，目的不都是數出面積并進行計算嗎？”其實不然，這關系到知識之間的相互聯系、應用和拓展。

綜上，兩個版本教材關于圓的面積估計的內容，沒有引導學生提出猜想，與下一環節用“畫—分—剪—拼”方法推導圓的面積公式有些脫節。

二、圓的面積估計與猜想編寫的必要性分析

眾多教材編寫該內容的目的，可能一是為了體現課程標準在第二學段的“二、圖形與幾何”中，“（二）測量”之“5.會用方格紙估計不規則圖形的面積”;二是貫徹課程標準提出的“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力”的要求。當然，可能還體現課程標準要求滲透數學思想的目的，但前后環節缺乏聯系，又體現不出過程。其實，課程標準并未明確要求上述兩點非得在圓的面積部分體現，這也是其他教材都沒有此環節設計，而是直接用“畫—分—剪—拼”方法推導圓的面積公式的原因。

三、教材完善建議

下面以蘇教版、西師大版教材為藍本，提出以下建議，目的是將估計猜想環節與驗證推導圓的面積公式環節聯系起來，形成一個完整的科學發現過程。

首先，讓學生畫幾個半徑為單位長度整數倍的圓，并提出考察其面積的問題。比如，可畫半徑為4、5、6個單位長度的圓。

其次，引導學生想到圓的面積的大小是由半徑確定的，而度量面積的大小是用正方形做面積單位的，啟發學生考察圓的面積是邊長為圓的半徑的正方形面積的幾倍。這樣，學生會作相互垂直的直徑，然后作出邊長為圓的半徑的正方形，進而比較。這樣的設計，不僅促進了學生思考，建立了知識間的聯系，更有利于學生思維與知識的拓展。如，學生學習了圓的面積是以半徑為邊長的正方形的面積的[π]倍后，教師再給出相互垂直的長、短軸分別為2a、2b的橢圓，學生可以借助類比猜想出橢圓的面積是以a、b為邊長的長方形面積的[π]倍，即[π]ab。這樣，既開闊了學生的思維，又體現了知識的活學活用。

第三，用方格紙數出四分之一圓的面積的盈虧范圍（而不是直接數出多少），再取平均值，進而求得圓的面積，再計算出圓的面積是邊長為圓的半徑的正方形的面積的幾倍。這樣，不僅滲透了兩邊夾逼的原則和極限思想，也體現了平均數的應用，更重要的是能得到較為精確的數值。例如，在圖3和圖4的半徑為4個單位長度的圖形中，學生通過拼湊可數出四分之一圓的面積在12與13之間，平均值為12.5，計算出圓的面積約為正方形面積的3.125倍。而若按西師大版教材的（如圖2）“四分之一圓的面積是13”計算，得到的是3.25倍，誤差較大。又如，半徑為5個單位長度的圖形中，可數出四分之一圓的面積在19.5與20之間，平均值為19.75，計算出圓的面積約為正方形面積的3.16倍。

第四，引導學生比較所計算出的倍數，并與圓的周長與直徑的關系或圓周率進行比較，學生便可猜出圓的面積是邊長為圓的半徑的正方形面積的[π]倍。

總之，這樣的編排，能使估計猜測環節與驗證證明環節形成一個完整的科學發現過程，同時還滲透數學思想方法，有利于學生創新能力的培養，及知識的融合與靈活運用。

【本文系“青藍項目：青島市教育學會 2018 年度教育研究項目——關于空間與圖形領域課堂探索活動編寫的比較研究（QES18E152）”研究成果之一。】

（責編 金 鈴）