基于“分數除法”算理理解水平的教材比較研究

葛敏輝

[摘 要]學習分數除法的關鍵在于理解運算算理，即為什么可以通過顛倒相乘來實現除法向乘法轉化。以鞏子坤教授提出的4種有理數運算理解為理論依據，深入分析A、B、C三個版本教材在“分數除法”中的算理理解編排部分，意圖借助同一把理論的標尺進行分析，更好地把握教材的編排邏輯，使教學更有效。

[關鍵詞]教材;分數除法;算理;理解水平;編排邏輯

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0015-04

各個版本教材對分數除法的算理理解達到了怎樣的水平？學生對分數除法算理理解的局限性是否與教材編排有關？教材是如何對分數除法運算進行說理的？本文以鞏子坤教授提出的4種有理數算理理解為標尺，對三個不同版本教材進行分析。

一、什么是算理理解水平

鞏子坤教授在《程序性知識教與學研究》中提出有理數運算理解的4種類型：

程序理解，是按照計算法則得出正確的計算結果。如：20×0.1= 2.0。

直觀理解，是用畫圖等直觀方式說明運算結果的合理性。如：20×0.1=2。

抽象理解，是提取認知結構中的已有知識，用語言、算式等說明運算結果的合理性。如：求20×0.1 就是把20平均分成10份，取其中的1份，結果是2。又如：20×0.1=20÷10=2。

形式理解，是用已知規則、規律證實運算結果的合理性。如：20×0.1=（20÷10）×（0.1×10）=2，利用的是商不變的規律。

鞏教授通過實驗研究發現，學生對分數除法運算的理解水平層次由低到高依次為程序理解、直觀理解、抽象理解、形式理解。

二、不同版本教材的分數除法算理理解水平如何

A、B、C三個版本教材的編排都分為兩個層次：第一個層次是分數除以整數，第二個層次是一個數除以分數。在具體編排中細化為分數除以整數、整數除以分數、分數除以分數三部分。

1.分數除以整數的算理理解編排

遵循從特殊到一般的原則，A、B兩個版本教材在分數除以整數部分都安排了兩道例題，分別是分子能被整數整除和不能被整除兩種情況。

A版本教材（如圖1）對4/7?÷2的算理理解為第二水平直觀理解：借助直觀圖，利用整數除法到分數除法的遷移來幫助學生理解算理。在算理一般化的部分，即4/7?÷3，教材直接舍棄了第二水平直觀理解，遞進為第三水平抽象理解。在此學生需要從已有認知中調取三種知識來幫助理解，分別是除法的意義（平均分）、分數的意義以及分數乘法的意義，此處直觀圖的作用在于喚醒學生對分數乘法的已有認知。

B版本教材（如圖2）為了在兩道例題之間進行邏輯銜接，對特殊數據4/5?÷2的算理理解同時呈現了第二水平直觀理解和第三水平抽象理解，目的是體現從直觀理解到抽象理解的優化過程，進而一般化。

可以發現，兩個版本教材在分數除以整數的算理理解編排中都有這樣一種假設：抽象理解比直觀理解更容易，因為抽象的意義解釋具有一般性，可以把對b/a?÷2等于b/a×1/2的解釋應用到分數除以整數的一般情形，而直觀理解的方法是有條件限制的，即分子必須能夠被整數整除。

教材編排中有這樣的兩點需要引起關注：

第一，出場即“消亡”的直觀理解是不是真的不具有一般性？直觀理解在A版本教材中毫無銜接地遞進到抽象理解，出場后就無聲無息地消失了;在B版本教材中存在的價值也僅僅是為了凸顯抽象理解的普適性。

第二，學生真的是這樣思考的嗎？根據《直觀表征與形式表征，孰難孰易——師生選擇的分數除法算理表征方式比較研究》一文，鞏子坤教授等人通過問卷調查法和訪談法，對學生理解分數除法算理進行研究，結果發現，學生對算理的理解有三個水平，其中直觀表征最容易，其次是抽象表征，最難的是形式表征。顯然教材的假設與學生的實際理解情況不相符，教材回避了直觀表征，這不太符合學生的認知習慣。

2.整數除以分數的算理理解編排

A、B兩個版本教材的算理理解都是第二水平直觀理解。所不同的是，如圖3所示，A版本教材借助兩種面積模型幫助學生逐步深化算理理解，但是在說理的過程中選用的數據都是單位分數;如圖5所示，B版本教材遵循從特殊到一般的原則，在數據上有了一般化的處理，除數包含單位分數（如1/2、1/3、1/4）和一般分數（如2/3）;如圖4所示，C版本教材直接出示一般分數，理解水平包含抽象理解和形式理解。其中抽象理解包含兩種，一是把分數轉化為小數進行計算，二是根據題目中的數量關系進行抽象的意義解釋：3/4分行的路程為900米，900÷3等于900×1/3，也就是1/4分行的路程，1分鐘包含4個1/4分，所以1分鐘行的路程為900×1/3×4。此處直觀圖的作用是提供解決問題的思路。形式理解則表現為借助商不變規律解決問題，但與為什么顛倒相乘的算理理解無關。

通過分析筆者得出以下兩點思考：

第一，直觀理解的結論具不具備一般性？A版本教材采用特殊的單位分數，獲得的結論并不能走向一般化;B版本教材在編排整數除以幾分之一時借助直觀理解提出顛倒相乘的猜想，但是在一般化（整數除以一般分數）時的直觀圖并不直接指向為什么可以顛倒相乘，它的作用在于展示直觀圖顯示的計算結果與顛倒相乘的結果與是相同的，從而利用等量公理間接證明顛倒相乘這一算理。因此A、B兩個版本教材在直觀理解顛倒相乘的算理過程中都出現了局限性。

第二，教材中的算理理解水平有遞進嗎？C版本教材看起來理解水平更高，但實際上這里的形式理解（商不變規律）以及抽象理解（將分數轉化為小數進行計算）均不指向顛倒相乘的算理理解，而是作為一種解決問題的方法呈現。

3.分數除以分數的算理理解編排

如圖6、圖7所示，A版本和C版本教材都是第一水平程序理解，即直接用規則解決問題;而B版本教材，如圖8所示，則是第二水平直觀理解，教材選取了同分母分數除法的特殊數據，借助直觀圖，說明直觀圖顯示的計算結果與顛倒相乘的結果是相同的，這與該版本在整數除以分數中的編排思路一致。

還一個很重要的問題值得思考：為什么三個版本教材在分數除以分數這里都直接跳過了說理、證明的過程？雖然B版本教材在分數除以分數的算理理解上試圖借助圖像來解釋說理，但也不難發現，這里用的都是特殊數據，即同分母分數相除，那么這樣理解和得到的結論并不具有一般性。其他版本的教材更是完全省略，只是在練習中讓學生直接用法則計算。

通過對分數除法的三個學習任務（分數除以整數、整數除以分數、分數除以分數）的算理理解編排進行分析，研究教材的算理理解水平，在思考中深入把握教材的編排邏輯。

三、教材的算理理解中要處理好哪幾個關系？

用同一把理論的標尺分析研究教材，在理性的把握中，筆者把目光聚焦在如何處理好以下幾個關系上：

1.如何處理好從特殊到一般的關系

教材編排一般都是先從特殊數據出發，再走向一般化。在這個過程中，只是通過一個例子就得到一個法則是可怕的，用一個特殊的例子得到了結論就更可怕了，都不利于學生對于算理的理解，也不利于學生數學推理能力和數學思維習慣的培養。因此，處理好從特殊到一般的關系是教材編排要重視的問題。

2.如何處理好教材假設與學生認知之間的關系

教材對于算理理解更關注的是抽象理解，而學生更容易接受直觀理解。鞏子坤教授通過研究發現，多數學生對分數除法的算理理解是以程序理解為主，直觀理解和抽象理解都比較少。可見，單純的抽象說明對學生來說有一定的難度，而教材、教師對于以直觀的方式理解算理不夠重視，造成直觀理解不能成為學生的有效學習路徑。筆者認為，學生的思維水平有差異，因此教材編排在遵循學生認知的基礎上可以有多路徑的設計，盡可能讓學生在直觀理解的基礎上發展更高的理解水平。

3.如何處理好直觀理解和其他理解水平間的轉化與遞進

直觀理解真的不具有一般性嗎？答案是否定的。然而不同教材在“分數除以整數”一般化的過程中，都回避了直觀理解，這與學生是以直觀理解為主的特點是相違背的。

對于算理理解來說，我們還是希望學生能夠往更高水平去發展。直觀理解真的不能走向更高水平的理解嗎？如何才能實現算理理解水平的遞進？我認為，在算理一般化的過程中，理解水平的遞進需要學生充分經歷對已有知識的改造和對思考過程的優化，這樣，學生就可以從直觀理解走向更高水平的理解。

以上分析說明，教材的編排本身是一種學習路徑，不一定適用于所有學生。在教學實踐中，教師要加強對教材的分析研究，更要基于學生的認知基礎優化學習路徑，盡可能讓不同層次的學生都能選擇合適的方式去理解算理，讓學生在原有的理解水平上發展更高的理解水平。

（責編 吳美玲）