弄通小數乘法的理：從為什么越乘越小說起

郭慧

[摘 要]針對學生的小數乘除法運算正確率低的現象，以小數乘法教學為例，展現教學關鍵過程，分析引發學生錯誤的原因，提出溝通整數除法與小數除法算理的一致性，以及通過加強對小數意義的理解來促進學生對小數乘法算理的理解。

[關鍵詞]小數乘法;教學改進;運算一致性;算理算法

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0018-02

計算教學是小學數學教學的重要內容，雖然課程改革后的小學數學的教學內容比以前更豐富了，但計算依然是小學數學中比重較高的內容之一。相對整數的四則運算來說，小數的四則運算對學生來說有一定難度，尤其是小數的乘除法。筆者曾選擇353名來自城市學校和農村學校的學生，以所用教材（北師大版教材）上的8道小數除法練習題作為測試題，結果能做對8道題的學生僅占31.1%。怎樣才能提高小數乘除法運算的正確率？如果只是一味地增加練習題，可能短時間內會有提高，但從素養本位、能力為重的數學教學要求來看，這只能提高運算的技巧或運算的技能，并沒有促進運算能力的提高以及數學素養的形成，顯然不是一種理想教學的選擇。那么，怎樣實現學生從技能到能力的轉變？本文將以“小數乘法”教學為例，談談怎樣讓學生既掌握算法，又弄通算理，從而提高理解能力和正確率。

一、教學現象再現

【教學片段1】四年級“小數乘法”第一課時

教師從整數乘法入手，依次給出4×2、40×2、400×2，引導學生觀察這些算式的特點，并說說它們之間的規律;然后出示0.4×2、0.04×2，讓學生思考后總結出“小數乘法可以先轉化為整數乘法進行計算”，進而讓學生思考：“積的變化規律在小數乘法中成立嗎？你能用什么方法驗證？”

學生反饋：

方法1：? 0.4×2，就是2個0.4相加，即0.4+0.4=0.8。同理，0.04×2=0.08。

方法2：利用面積模型理解（如下圖）。

從教學的整體情況來看，學生的學習都在教師的基本預設之中，進行得非常順利。然而面對練習題“3×0.5”時，有一個學生舉手提問：“不對呀，怎么會越乘越小呢？”

無獨有偶，“怎么越乘越小了”這句話讓筆者想起另一個課堂。

【教學片段2】四年級“積的小數位數與乘數小數位數的關系”（“小數乘法”第四課時）

教師先呈現一組信息“一張單人學生桌，長6分米、寬4分米，面積是多少平方米？”，然后請學生獨立思考解決，鼓勵學生用不同的方法。

生1：6 dm×4 dm=24 dm2=0.24 ㎡。

師：為什么24 dm2=0.24 ㎡？

生1：因為1 ㎡=100 dm2，24÷100=0.24（㎡）。

生2：6 dm=0.6 m，4 dm=0.4 m，0.6×0.4=2.4（㎡）。

（學生議論紛紛，有兩種聲音：0.6×0.4=2.4，0.6×0.4=0.24。原本很有信心的生2十分猶豫。）

生3（迫切地想表達自己的想法）：我有一個問題，0.6×0.4不可能是0.24，怎么會越乘越小呢？因此不可能是0.24。

二、透過現象，分析成因

如果在小數乘法的第一課時，學生的質疑還是情有可原的話，那么在第四課時學生還提出“怎么會越乘越小的呢？”的疑問就讓筆者深思……

整數乘法的算理是基于“幾個幾相加”，也就是乘法是加法的簡便運算來理解的，即4×2是2個4相加，40×2是2個40相加。同理，出現 0.4×2時，學生自然而然想到是2個0.4相加。

學生已經通過前期的學習建立了這樣的觀念：乘法運算是累加的計算;乘法運算的積是累加的結果，自然是越加越多的……這些觀念一直不斷強化。因此，學生把整數乘法中 “越乘結果越大”的經驗遷移到小數乘法中似乎是自然而然的。更何況，教師在教學中引導學生探索小數乘法的算法就是從整數乘法中一脈相承而來的。

史寧中教授指出：“人們一般認為，乘法是加法的簡便運算，但事實上，問題并不這么簡單。需要分兩種情況討論：一種情況是基于自然數集合的乘法，另一種情況是基于整數集合的乘法。”比如3×4，可以說是3個4或者4個3相加，但是-3×4則不能說是-3個4相加。根據這樣的說法，小數0.3×0.4不能解釋為0.4 個0.3或者0.3 個0.4相加。而學生一旦從整數乘法的意義上來理解小數乘以小數的乘法，就產生了“為什么越乘越小”的困惑。

那么，難道是整數乘法的算理不適用于小數乘法嗎？作為整體教學的視角，教師應該重新審視整數乘法算理的教學。一個好的數學體系，不會因為數域的擴張，“理”就發生了改變，應該還是同一個“理”，這樣學生學習起來才前后一致，融會貫通，所學知識才能起到“綱舉目張”的作用。

在數的認識和運算中有兩個重要的元素——數和計數單位，在整數乘法的算理教學中，重點落在數的計算上，而沒有強調計數單位的運算，比如4×2=？，4個1與2個1相乘，4×2=8，1×1=1，8×1=8;同理，40×20=？，4個10與2個10相乘，4×2=8，10×10=100，8×100=800。如果按這樣的算理進一步推導的話，小數乘法的“理”就相通了，0.4×0.2=？，4個0.1與2個0.1相乘，4×2=8，0.1×0.1=0.01，8×0.01=0.08。前后一致，算理相通。

三、整體設計，教學改進

【教學片段3】教學0.6×0.4

第一環節：刪繁就簡，意義理解得以真實發生

師（直接呈現算式，沒有給出任何背景材料）：0.6×0.4表示什么意思？

生1：表示0.4個0.6。

（生1一說出口就發現好像不對）

師：0.6表示什么意思呢？你能用圖或者其他方式來說明0.6×0.4的意思嗎 ？

（大部分學生選擇了用面積模型表示，也有學生選擇用文字表達）

生2： 0.6×0.4就是把0.6平均分成10份，取其中的4份。

生3：也可以說把0.4平均分成10份，取其中的6份。

生4：我知道了，我知道了！0.6×0.4是0.6里面的4/10，乘了反而少了！

生5：0.6×4就是2.4了！

師：我們也可以這樣想，0.6×0.4=？，6個0.1與4個0.1相乘，6×4=24，0.1×0.1=0.01，24×0.01=0.24。

這個環節重在通過理解算式本身的意義推動學生以小數意義來理解小數乘法。因此，教師并不急于得出計算的結果，而是給予學生充足的時間自主探究、討論交流，從而使得學生能夠基于小數的意義來理解小數乘法的意義，并通過語言表達得以強化。同時，也使小數乘法從算理上與整數乘法保持一致。

第二環節：聯系生活，算法算理真正融合

師（呈現教材“街心廣場”的數學信息）：地磚的長為0.3米，寬為0.2米，求出地磚的面積。請獨立思考。

（許多學生都有意識地借助圖形來解決問題）

生1：其實就是3×2=6，6個1/100。

師：為什么是6個1/100？

生1：一個大格是一平方米，就是100平方分米，那一個小格是1平方分米，現在有3×2=6個小格，就是6個1/100。

在這一環節中，學生聯系生活經驗理解算式在現實背景意義下的意義，算理與算法自然地融合。

四、教學反思，形成經驗

學生產生“為什么越乘越小”的困惑的主要原因是整數乘法表示累加產生的負遷移。一方面，教師要努力讓學生在理解整數乘法的算理的基礎上，不為后續小數乘法留下不一致的思維印象;另一方面，追根溯源，把小數乘法建立在小數的意義的基礎上，讓學生真正理解小數乘法的算理，將數的認識與運算整合起來。學生在三年級“小數的初步認識”的學習就是建立在整數十進制位值及分數的初步認識基礎上的，也就是說，學生已經初步建立了小數與分數的關系，感悟到小數與分數一樣是“分”的結果，10×10=100，1/10×1/10=1/100，從這層意義上講，引導學生從小數意義的角度來理解小數乘法算式本身的意義是完全可行的。

如果題目是“一塊地磚長0.3米、寬0.2米，求出地磚面積”，幾乎所有的學生都會把0.3米、0.2米轉換成分米，也就是先把小數轉換成整數再進行計算，然后通過面積單位之間的進率關系將結果轉換成平方米。在這樣的過程中，學生得到更多的是小數乘法算法的體驗，并沒有真正理解小數乘法的算理，學生對“為什么結果變小”還會心存疑惑。

史寧中教授認為：絕不可以簡單地把算理理解為依附于運算的一種性質，而應當把算理理解為運算的本質。正因為這樣，教師要加強運算的一致性，使得整數運算與小數運算在算理上保持一致，同時加強學生對數的意義的理解，將數的認識與運算聯系起來，通過探究小數乘小數算式本身的意義，使得學生從小數意義本身理解小數乘法算理的本質內涵。只要理解對了，哪怕慢一點，計算錯誤也會大大減少。

（責編 金 鈴）