弄通小數(shù)乘法的理：從為什么越乘越小說起

郭慧

[摘 要]針對(duì)學(xué)生的小數(shù)乘除法運(yùn)算正確率低的現(xiàn)象，以小數(shù)乘法教學(xué)為例，展現(xiàn)教學(xué)關(guān)鍵過程，分析引發(fā)學(xué)生錯(cuò)誤的原因，提出溝通整數(shù)除法與小數(shù)除法算理的一致性，以及通過加強(qiáng)對(duì)小數(shù)意義的理解來促進(jìn)學(xué)生對(duì)小數(shù)乘法算理的理解。

[關(guān)鍵詞]小數(shù)乘法;教學(xué)改進(jìn);運(yùn)算一致性;算理算法

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）20-0018-02

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，雖然課程改革后的小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容比以前更豐富了，但計(jì)算依然是小學(xué)數(shù)學(xué)中比重較高的內(nèi)容之一。相對(duì)整數(shù)的四則運(yùn)算來說，小數(shù)的四則運(yùn)算對(duì)學(xué)生來說有一定難度，尤其是小數(shù)的乘除法。筆者曾選擇353名來自城市學(xué)校和農(nóng)村學(xué)校的學(xué)生，以所用教材（北師大版教材）上的8道小數(shù)除法練習(xí)題作為測(cè)試題，結(jié)果能做對(duì)8道題的學(xué)生僅占31.1%。怎樣才能提高小數(shù)乘除法運(yùn)算的正確率？如果只是一味地增加練習(xí)題，可能短時(shí)間內(nèi)會(huì)有提高，但從素養(yǎng)本位、能力為重的數(shù)學(xué)教學(xué)要求來看，這只能提高運(yùn)算的技巧或運(yùn)算的技能，并沒有促進(jìn)運(yùn)算能力的提高以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成，顯然不是一種理想教學(xué)的選擇。那么，怎樣實(shí)現(xiàn)學(xué)生從技能到能力的轉(zhuǎn)變？本文將以“小數(shù)乘法”教學(xué)為例，談?wù)勗鯓幼寣W(xué)生既掌握算法，又弄通算理，從而提高理解能力和正確率。

一、教學(xué)現(xiàn)象再現(xiàn)

【教學(xué)片段1】四年級(jí)“小數(shù)乘法”第一課時(shí)

教師從整數(shù)乘法入手，依次給出4×2、40×2、400×2，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些算式的特點(diǎn)，并說說它們之間的規(guī)律;然后出示0.4×2、0.04×2，讓學(xué)生思考后總結(jié)出“小數(shù)乘法可以先轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法進(jìn)行計(jì)算”，進(jìn)而讓學(xué)生思考：“積的變化規(guī)律在小數(shù)乘法中成立嗎？你能用什么方法驗(yàn)證？”

學(xué)生反饋：

方法1：? 0.4×2，就是2個(gè)0.4相加，即0.4+0.4=0.8。同理，0.04×2=0.08。

方法2：利用面積模型理解（如下圖）。

從教學(xué)的整體情況來看，學(xué)生的學(xué)習(xí)都在教師的基本預(yù)設(shè)之中，進(jìn)行得非常順利。然而面對(duì)練習(xí)題“3×0.5”時(shí)，有一個(gè)學(xué)生舉手提問：“不對(duì)呀，怎么會(huì)越乘越小呢？”

無獨(dú)有偶，“怎么越乘越小了”這句話讓筆者想起另一個(gè)課堂。

【教學(xué)片段2】四年級(jí)“積的小數(shù)位數(shù)與乘數(shù)小數(shù)位數(shù)的關(guān)系”（“小數(shù)乘法”第四課時(shí)）

教師先呈現(xiàn)一組信息“一張單人學(xué)生桌，長(zhǎng)6分米、寬4分米，面積是多少平方米？”，然后請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立思考解決，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法。

生1：6 dm×4 dm=24 dm2=0.24 ㎡。

師：為什么24 dm2=0.24 ㎡？

生1：因?yàn)? ㎡=100 dm2，24÷100=0.24（㎡）。

生2：6 dm=0.6 m，4 dm=0.4 m，0.6×0.4=2.4（㎡）。

（學(xué)生議論紛紛，有兩種聲音：0.6×0.4=2.4，0.6×0.4=0.24。原本很有信心的生2十分猶豫。）

生3（迫切地想表達(dá)自己的想法）：我有一個(gè)問題，0.6×0.4不可能是0.24，怎么會(huì)越乘越小呢？因此不可能是0.24。

二、透過現(xiàn)象，分析成因

如果在小數(shù)乘法的第一課時(shí)，學(xué)生的質(zhì)疑還是情有可原的話，那么在第四課時(shí)學(xué)生還提出“怎么會(huì)越乘越小的呢？”的疑問就讓筆者深思……

整數(shù)乘法的算理是基于“幾個(gè)幾相加”，也就是乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算來理解的，即4×2是2個(gè)4相加，40×2是2個(gè)40相加。同理，出現(xiàn) 0.4×2時(shí)，學(xué)生自然而然想到是2個(gè)0.4相加。

學(xué)生已經(jīng)通過前期的學(xué)習(xí)建立了這樣的觀念：乘法運(yùn)算是累加的計(jì)算;乘法運(yùn)算的積是累加的結(jié)果，自然是越加越多的……這些觀念一直不斷強(qiáng)化。因此，學(xué)生把整數(shù)乘法中 “越乘結(jié)果越大”的經(jīng)驗(yàn)遷移到小數(shù)乘法中似乎是自然而然的。更何況，教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探索小數(shù)乘法的算法就是從整數(shù)乘法中一脈相承而來的。

史寧中教授指出：“人們一般認(rèn)為，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，但事實(shí)上，問題并不這么簡(jiǎn)單。需要分兩種情況討論：一種情況是基于自然數(shù)集合的乘法，另一種情況是基于整數(shù)集合的乘法。”比如3×4，可以說是3個(gè)4或者4個(gè)3相加，但是-3×4則不能說是-3個(gè)4相加。根據(jù)這樣的說法，小數(shù)0.3×0.4不能解釋為0.4 個(gè)0.3或者0.3 個(gè)0.4相加。而學(xué)生一旦從整數(shù)乘法的意義上來理解小數(shù)乘以小數(shù)的乘法，就產(chǎn)生了“為什么越乘越小”的困惑。

那么，難道是整數(shù)乘法的算理不適用于小數(shù)乘法嗎？作為整體教學(xué)的視角，教師應(yīng)該重新審視整數(shù)乘法算理的教學(xué)。一個(gè)好的數(shù)學(xué)體系，不會(huì)因?yàn)閿?shù)域的擴(kuò)張，“理”就發(fā)生了改變，應(yīng)該還是同一個(gè)“理”，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)起來才前后一致，融會(huì)貫通，所學(xué)知識(shí)才能起到“綱舉目張”的作用。

在數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算中有兩個(gè)重要的元素——數(shù)和計(jì)數(shù)單位，在整數(shù)乘法的算理教學(xué)中，重點(diǎn)落在數(shù)的計(jì)算上，而沒有強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算，比如4×2=？，4個(gè)1與2個(gè)1相乘，4×2=8，1×1=1，8×1=8;同理，40×20=？，4個(gè)10與2個(gè)10相乘，4×2=8，10×10=100，8×100=800。如果按這樣的算理進(jìn)一步推導(dǎo)的話，小數(shù)乘法的“理”就相通了，0.4×0.2=？，4個(gè)0.1與2個(gè)0.1相乘，4×2=8，0.1×0.1=0.01，8×0.01=0.08。前后一致，算理相通。

三、整體設(shè)計(jì)，教學(xué)改進(jìn)

【教學(xué)片段3】教學(xué)0.6×0.4

第一環(huán)節(jié)：刪繁就簡(jiǎn)，意義理解得以真實(shí)發(fā)生

師（直接呈現(xiàn)算式，沒有給出任何背景材料）：0.6×0.4表示什么意思？

生1：表示0.4個(gè)0.6。

（生1一說出口就發(fā)現(xiàn)好像不對(duì)）

師：0.6表示什么意思呢？你能用圖或者其他方式來說明0.6×0.4的意思嗎 ？

（大部分學(xué)生選擇了用面積模型表示，也有學(xué)生選擇用文字表達(dá)）

生2： 0.6×0.4就是把0.6平均分成10份，取其中的4份。

生3：也可以說把0.4平均分成10份，取其中的6份。

生4：我知道了，我知道了！0.6×0.4是0.6里面的4/10，乘了反而少了！

生5：0.6×4就是2.4了！

師：我們也可以這樣想，0.6×0.4=？，6個(gè)0.1與4個(gè)0.1相乘，6×4=24，0.1×0.1=0.01，24×0.01=0.24。

這個(gè)環(huán)節(jié)重在通過理解算式本身的意義推動(dòng)學(xué)生以小數(shù)意義來理解小數(shù)乘法。因此，教師并不急于得出計(jì)算的結(jié)果，而是給予學(xué)生充足的時(shí)間自主探究、討論交流，從而使得學(xué)生能夠基于小數(shù)的意義來理解小數(shù)乘法的意義，并通過語言表達(dá)得以強(qiáng)化。同時(shí)，也使小數(shù)乘法從算理上與整數(shù)乘法保持一致。

第二環(huán)節(jié)：聯(lián)系生活，算法算理真正融合

師（呈現(xiàn)教材“街心廣場(chǎng)”的數(shù)學(xué)信息）：地磚的長(zhǎng)為0.3米，寬為0.2米，求出地磚的面積。請(qǐng)獨(dú)立思考。

（許多學(xué)生都有意識(shí)地借助圖形來解決問題）

生1：其實(shí)就是3×2=6，6個(gè)1/100。

師：為什么是6個(gè)1/100？

生1：一個(gè)大格是一平方米，就是100平方分米，那一個(gè)小格是1平方分米，現(xiàn)在有3×2=6個(gè)小格，就是6個(gè)1/100。

在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)理解算式在現(xiàn)實(shí)背景意義下的意義，算理與算法自然地融合。

四、教學(xué)反思，形成經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生產(chǎn)生“為什么越乘越小”的困惑的主要原因是整數(shù)乘法表示累加產(chǎn)生的負(fù)遷移。一方面，教師要努力讓學(xué)生在理解整數(shù)乘法的算理的基礎(chǔ)上，不為后續(xù)小數(shù)乘法留下不一致的思維印象;另一方面，追根溯源，把小數(shù)乘法建立在小數(shù)的意義的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生真正理解小數(shù)乘法的算理，將數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算整合起來。學(xué)生在三年級(jí)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)就是建立在整數(shù)十進(jìn)制位值及分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上的，也就是說，學(xué)生已經(jīng)初步建立了小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，感悟到小數(shù)與分?jǐn)?shù)一樣是“分”的結(jié)果，10×10=100，1/10×1/10=1/100，從這層意義上講，引導(dǎo)學(xué)生從小數(shù)意義的角度來理解小數(shù)乘法算式本身的意義是完全可行的。

如果題目是“一塊地磚長(zhǎng)0.3米、寬0.2米，求出地磚面積”，幾乎所有的學(xué)生都會(huì)把0.3米、0.2米轉(zhuǎn)換成分米，也就是先把小數(shù)轉(zhuǎn)換成整數(shù)再進(jìn)行計(jì)算，然后通過面積單位之間的進(jìn)率關(guān)系將結(jié)果轉(zhuǎn)換成平方米。在這樣的過程中，學(xué)生得到更多的是小數(shù)乘法算法的體驗(yàn)，并沒有真正理解小數(shù)乘法的算理，學(xué)生對(duì)“為什么結(jié)果變小”還會(huì)心存疑惑。

史寧中教授認(rèn)為：絕不可以簡(jiǎn)單地把算理理解為依附于運(yùn)算的一種性質(zhì)，而應(yīng)當(dāng)把算理理解為運(yùn)算的本質(zhì)。正因?yàn)檫@樣，教師要加強(qiáng)運(yùn)算的一致性，使得整數(shù)運(yùn)算與小數(shù)運(yùn)算在算理上保持一致，同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)的意義的理解，將數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算聯(lián)系起來，通過探究小數(shù)乘小數(shù)算式本身的意義，使得學(xué)生從小數(shù)意義本身理解小數(shù)乘法算理的本質(zhì)內(nèi)涵。只要理解對(duì)了，哪怕慢一點(diǎn)，計(jì)算錯(cuò)誤也會(huì)大大減少。

（責(zé)編 金 鈴）