“三角形的三邊關系”教學誤區研究

沈紅霞

[摘 要]“三角形的三邊關系”是一個看似容易卻較難教學的小學數學經典內容。在教學時，很多教師不經意中就會踏入這樣或那樣的誤區，比較常見的有：混淆上下位概念、導入設計簡單、邏輯關系不清、低估學生邏輯思維能力等。只有在真正了解學情、精心研究教材的基礎上，引導學生經歷完整的知識探究過程，才能有效避免各種誤區的出現并促進學生深度學習。

[關鍵詞]三角形;三邊關系;教學誤區

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0039-03

在小學數學“圖形與幾何”領域，“三角形的三邊關系”是一個傳統的經典課題，有著豐富的內涵和研究價值，一直吸引著廣大教師和學者不斷地進行研究。各級各類小學數學教育期刊上刊登了很多關于此課題的教學實錄與評析、教學設計、教學思考等文章。近來，筆者查閱了若干這方面的文獻，對該課題比以往有了更深刻的認識，尤其在如何教學方面更是獲益匪淺，但也發現了一些在教學中普遍存在的問題。筆者將這些普遍存在的問題進行了歸類，梳理出了四個常見的教學誤區，并嘗試給出相應的糾偏方法。

誤區一、混淆上下位概念： 稱一般線段為邊

先有三條邊，還是先有三角形？請看蘇教版教材中的敘述：三條線段首尾相接圍成的封閉圖形叫作三角形。三角形有三條邊、三個角。顯然是先有三角形的概念，才有三角形邊的概念。相對于邊而言，線段是一個上位概念，在圍三角形之前或圍不成三角形的情況下，不能稱線段為邊。然而，在本課題的教學中，很多教師不太注意這一點，請看下面兩個片段。

【片段1】師：難道有了三條邊，還不一定能圍成三角形？

【片段2】師：兩邊之和小于或者等于第三邊，不能圍成三角形。猜想一下，什么情況下能圍成三角形？

生：兩邊之和大于第三邊。

在片段1中，教師將圍三角形之前的三條線段說成三條邊。片段2中，教師將圍不成三角形的三條線段稱為邊。只有當一個上位概念滿足一定條件時才能“升級”為下位概念，線段和邊就是兩個具有“上下級”關系的概念。因此，隨意將線段稱為邊，不僅不嚴密，而且是錯誤的。在“數與代數”領域，也有一對類似的易混淆概念——數和數字，很多教師會將“數”（實際上是數據）隨意說成“數字”。由于這些錯誤不影響新課內容的學習，不僅學生暫時不能發現，很多教師也毫未留意，因而具有較強的隱蔽性，從而導致其在數學課堂上的高發性。但是，教師在課堂上的一言一行都會受到學生的關注，其語言表達也會在潛移默化中影響學生對數學本質的理解與認識;再加上數學本身是一門極其嚴謹的學科，而且李邦河院士說過：“數學本質上是玩概念的。”因此，在數學教學中，教師應盡量注意教學語言的精準表達，避免出現類似混淆概念的低級錯誤。

誤區二、導入設計簡單： 忽視學生長（正）方形性質研究經驗

“好的開始是成功的一半”，一節課能否成功，導入環節起著舉足輕重的作用。但遺憾的是，在本課題的實際教學中，沒有明顯導入的情況比較普遍（直接從圍三角形開始新課）;即便有導入，也非常簡單，比如只是復習一下三角形的概念（或創設“兩點之間線段最短”的生活情境），之后便立即進入圍三角形的新知探索環節。

【片段3】師：我們已經學過了三角形的知識，誰能說說什么是三角形？是不是任意的三條線段都能圍成三角形？這里有三根小棒，誰能用它們圍一個三角形？

【片段4】師：這是小明家到學校的路線圖（略），他可以怎樣走？如果是你，你會走哪一條？為什么？

師：在數學上，我們可以將小明家和學校看成兩個點，在這兩點之間的所有連線中，線段最短。把郵局也看成一個點，這 3 個點連在一起就形成我們學過的三角形。

師：同學們，老師給大家準備了兩條線段，你能圍成一個三角形嗎？

學生要能正確地畫和圍三角形，首先就需要掌握三角形的概念。線段公理是學生熟悉的生活常識，且與“三角形兩邊之和大于第三邊”是等價命題。因此，三角形的概念與線段公理都與本課題直接相關，同時也都屬于學生的已有認知。上述兩個片段作為導入的一部分是可以的，但是，之后立即就開始圍三角形，還是過快，學生可能會有這樣的疑惑：探究三角形的三邊關系，為什么不直接研究三角形的邊，而要自己圍三角形呢？顯然，這里的導入與新課之間是“脫節”的：既沒有出示課題，也沒有提出任何引發學生思考的問題。比如，今天這節課要研究什么？怎么研究？以前研究過類似的問題嗎？……學生自己沒有時間思考、提問，教師也沒有提出這些問題，學生就在完全被動的情況下帶著疑惑開始了看似積極、熱鬧的操作探究。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出，學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。而上述的學習顯然是呆板的、被動的和千篇一律的，與新課程所倡導的理念完全相悖。

為了讓圍三角形順利且自然地“出場”，導入環節顯然不能如此簡單，那么，在學生已有認知經驗中，還有什么是直接與本課題相關的？看似沒有了，因為本課題是學生遇到的三角形的第一個性質。但是，三角形并不是學生接觸的第一種平面圖形。在三年級時，學生曾研究過長（正）方形邊的性質，已經積累了一定的研究平面圖形性質的活動經驗和方法，這是學生探究新知最重要的經驗。因此，在復習三角形的概念之后，教師不妨出示問題1：三角形的三條邊具有怎樣的關系？請思考探究方法（預設學生會類比遷移，運用研究長方形時的“量一量”“折一折”“比一比”等方法;若學生想不到，教師應通過啟發喚醒他們的已有經驗）;當學生發現用以前的老方法不能解決新問題（問題1）時，教師再一步步引導學生思考解決問題1的新方法，即轉換角度——先研究問題2：怎樣的三條線段能圍成三角形？接下來借助小棒圍三角形，便是水到渠成了。

弗賴登塔爾說：“要有耐心，這是教師的最大美德。”因此，教師不要在學生毫不知情的情況下，就急于讓學生動手操作——被動執行教師的指令，而應在充分挖掘學生已有認知經驗的基礎上，精心設計一個適切的導入，引導他們成為思考者、探索者和發現者，從而完全進入到學習活動中來。

誤區三、邏輯關系不清： 將三角形的判定當作性質

命題1：三角形任意兩邊之和大于第三邊（問題1的結論）。命題2：三條線段中若任意兩條線段長度之和大于第三條，則能圍成三角形（問題2的結論）。在邏輯上，命題1與命題2互為逆命題。此處，這兩個互逆命題都是真命題，通常稱命題1為三角形的性質（或特征），命題2為三角形的判定（或圍成三角形的條件），顯然二者不是一回事。但是，在實際教學中，很多教師并不加以區分。

【片段5】師：大家經過思考與交流得到能圍成三角形的條件，下面請根據條件用一句簡短的話來說明三角形的三邊關系。

生：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

【片段6】師：圍成之后想一想，為什么就圍成了呢？

生1：兩邊之和大于第三邊。

師：三角形的三邊之間有怎樣的關系？

生（眾）：任意兩邊之和大于第三邊。

師：任意兩邊之和大于第三邊。怎么知道的呢？

生2：我通過擺知道了。

在以上兩個片段中，教師將在圍三角形中發現的命題2直接當作命題1，從而得出“三角形的三邊關系”。初中平面幾何里的“平行線的判定、性質”“三角形全等的判定、性質”……從判定和性質兩個相反的角度研究數學對象，在數學學科中是廣泛存在的，顯然不能在初次接觸時就將它們混為一談，否則將會給學生以后的學習埋下隱患。另外，原命題為真，其逆命題不一定為真。比如，五年級探究“2的倍數特征”時，若學生發現“個位上是4的數是2的倍數”后，就立即得出“2的倍數，個位上是4”，那就是錯誤的。

因此，不管是從數學邏輯嚴密性的角度，還是從學生可持續發展的角度考慮，在探究本課題——初次接觸判定和性質時，就應該引導學生經歷一個完整的邏輯清晰的探究過程：第一步，研究問題1，根據以往經驗，發現不能解決（因為學生在以往的認知中，沒有將一個圖形兩邊之和作為一個整體與其他邊比較的經驗，所以也就不會主動想到將三角形的兩邊之和與第三邊比較）;第二步，轉換角度，反過來想，研究問題2，先發現圍不成的原因——兩根較短小棒長度之和小于或等于最長小棒（至此，兩根小棒長度之和作為一個整體“浮出水面”），再考查能圍成三角形的條件，得到命題2;第三步，判斷命題1是否正確，即是否只要是三角形，都有任意兩邊長度之和大于第三邊？任意畫一個三角形，通過量一量、算一算來驗證（《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求初中階段進行嚴格證明）。

與直接圍三角形相比，經歷上述過程肯定要花費更多的時間和精力，有些學生會覺得比較困難。但是，“磨刀不誤砍柴工”，在這一過程中學生真正成為學習的主人（知道自己每一步在做什么，也知道為什么要這么做，以及遇到新問題是如何思考的），既體驗了數學嚴密的邏輯性，提高了邏輯思維能力，也掌握了一般性的解決問題的思維方法，同時還為以后的學習打下了良好的基礎。

誤區四、低估學生邏輯思維能力： 過分依賴實物操作

給定三根小棒，將較短的兩根小棒長度之和與第三根小棒比較大小，一共有三種情況：小于、等于、大于。在探究問題2時，通過動手操作，學生首先會發現“小于”了就不能圍成三角形，且能達成共識;但是，由于材料有一定的寬度，對“等于”的情況，學生意見不統一，有些學生認為能圍成，有些卻認為不能，很多教師認為這是教學中的一個難點。為了避免材料的寬度影響學生的判斷，教師想了很多的方法。

某教師在教學反思中寫道：那么到底借助什么樣的材料來探究三角形三邊關系比較合適呢？可謂“仁者見仁，智者見智”，我驚嘆于某老師的粗紙條，能夠讓學生放棄寬度來借助紙條的邊線討論關系，從而逼近數學本質;我也佩服于某老師想到用折疊磁片的方式來研究三角形的三邊關系，從而也不考慮寬度。我也花費了一番心思尋找合適的材料，最終選定把線段畫在透明塑料片上來研究。

從以上教學反思中可以看出，教師在尋找材料上花費了很多心思。但是，“等于”這種情況，一定要通過實物操作來研究嗎？根據皮亞杰的觀點，這個階段的學生的認知結構中已經具有了抽象概念，能憑借具體形象的支持進行邏輯推理。因此，教師可以在研究“大于”“小于”的時候，利用實物操作，并做足文章，然后通過邏輯推理（在頭腦中借助表象，對線段進行操作）來研究“等于”的情況。具體過程如下：第一步，給出“大于”的三根小棒，請學生嘗試圍三角形，讓學生明白怎樣能圍成并概括出圍法;第二步，給出“小于”的三根小棒（比如2、5、8厘米），先請學生用剛才的方法圍，待學生發現當2厘米和5厘米小棒都落在了8厘米小棒上（另兩端已無法再靠近），仍不能連接在一起后，啟發學生分別用文字語言和數學式子表述圍不成的原因（2+5<8）;第三步，要求學生閉上眼睛，在頭腦中像放電影一樣，回想剛才兩次圍的過程，以留下直觀的操作和思維表象，并建立兩種圍的模型，為后面的表象操作和邏輯推理提供形象的支持;第四步，不借助實物操作，先請學生判斷2、5、9厘米的三條線段是否能圍成三角形，并說一說是怎么想的，再請學生思考“若想要圍成三角形，可以怎么改變它們的長度”;第五步，選擇一種改法，比如將2厘米增加到4厘米，判斷4、5、9厘米（“等于”）的三條線段是否能圍成三角形，為什么？學生能借助前面的模型及表象，根據三條線段的長度進行邏輯推理，因為4+5=9，所以4厘米和5厘米連成一條線段后與9厘米線段完全重合，因此不能圍成三角形。

以上過程，按照實物操作、表象操作、邏輯推理的順序，從具體到抽象，進一步提高了學生的邏輯思維能力。“動手操作”是學生學習數學的一種重要方式，但不應過度依賴實物操作，更不能讓實物操作使學生陷入“視覺的假象”之中。“數學是思維的體操。”鄭毓信先生認為，“通過數學學會思維”是“數學深度教學”的一個重要內涵。因此，努力使學生“在思維中學會思維”是數學教學的根本價值所在。

“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，這一結論看似簡單，但要使學生在主動探究的基礎上了解研究方法的來龍去脈，并經歷邏輯清晰的完整探究過程，并不簡單。在以上四個誤區中，出現頻率最高、存在問題最大的是誤區三，它的存在不是教材的問題，而是教師的理解出現了偏差。以蘇教版教材為例，圍三角形后，先探尋圍不成的原因（“小于”），然后尋找圍成三角形的條件（命題2），再研究“三角形任意兩邊長度的和一定大于第三邊嗎？”，最后判斷“等于”的情況是否能圍成三角形。總的來說，邏輯清晰——先判定、再性質、最后性質的應用（如果將“等于”的情況提前，放在“小于”后面，會比較符合人的思維習慣，也會更有邏輯性）。因此，廣大教師應該在立足于學生的已有經驗、遵循學生認知規律的基礎上，精心研讀教材，然后創造性地用教材教。正如著名小學數學特級教師吳正憲所說：“作為數學教師，有兩件事很重要，一是理解兒童，二是理解數學。只有在理解兒童、理解數學的基礎上，才能更好地理解兒童數學教育”，也才能避免出現各種各樣的教學誤區，從而促進學生真正實現深度學習。

【本文獲2020年江蘇高校“青藍工程”項目資助。本文系2020年度職業院校教育類教指委中小學教育立項課題“‘雙考視域下職前教師專業實踐素養發展研究——以小學數學方向為例”（課題編號：2020JZWZXXKT31）研究成果。】

（責編 黃春香）