“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)誤區(qū)研究

沈紅霞

[摘 要]“三角形的三邊關(guān)系”是一個看似容易卻較難教學(xué)的小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典內(nèi)容。在教學(xué)時，很多教師不經(jīng)意中就會踏入這樣或那樣的誤區(qū)，比較常見的有：混淆上下位概念、導(dǎo)入設(shè)計簡單、邏輯關(guān)系不清、低估學(xué)生邏輯思維能力等。只有在真正了解學(xué)情、精心研究教材的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的知識探究過程，才能有效避免各種誤區(qū)的出現(xiàn)并促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞]三角形;三邊關(guān)系;教學(xué)誤區(qū)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0039-03

在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域，“三角形的三邊關(guān)系”是一個傳統(tǒng)的經(jīng)典課題，有著豐富的內(nèi)涵和研究價值，一直吸引著廣大教師和學(xué)者不斷地進(jìn)行研究。各級各類小學(xué)數(shù)學(xué)教育期刊上刊登了很多關(guān)于此課題的教學(xué)實錄與評析、教學(xué)設(shè)計、教學(xué)思考等文章。近來，筆者查閱了若干這方面的文獻(xiàn)，對該課題比以往有了更深刻的認(rèn)識，尤其在如何教學(xué)方面更是獲益匪淺，但也發(fā)現(xiàn)了一些在教學(xué)中普遍存在的問題。筆者將這些普遍存在的問題進(jìn)行了歸類，梳理出了四個常見的教學(xué)誤區(qū)，并嘗試給出相應(yīng)的糾偏方法。

誤區(qū)一、混淆上下位概念： 稱一般線段為邊

先有三條邊，還是先有三角形？請看蘇教版教材中的敘述：三條線段首尾相接圍成的封閉圖形叫作三角形。三角形有三條邊、三個角。顯然是先有三角形的概念，才有三角形邊的概念。相對于邊而言，線段是一個上位概念，在圍三角形之前或圍不成三角形的情況下，不能稱線段為邊。然而，在本課題的教學(xué)中，很多教師不太注意這一點，請看下面兩個片段。

【片段1】師：難道有了三條邊，還不一定能圍成三角形？

【片段2】師：兩邊之和小于或者等于第三邊，不能圍成三角形。猜想一下，什么情況下能圍成三角形？

生：兩邊之和大于第三邊。

在片段1中，教師將圍三角形之前的三條線段說成三條邊。片段2中，教師將圍不成三角形的三條線段稱為邊。只有當(dāng)一個上位概念滿足一定條件時才能“升級”為下位概念，線段和邊就是兩個具有“上下級”關(guān)系的概念。因此，隨意將線段稱為邊，不僅不嚴(yán)密，而且是錯誤的。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，也有一對類似的易混淆概念——數(shù)和數(shù)字，很多教師會將“數(shù)”（實際上是數(shù)據(jù)）隨意說成“數(shù)字”。由于這些錯誤不影響新課內(nèi)容的學(xué)習(xí)，不僅學(xué)生暫時不能發(fā)現(xiàn)，很多教師也毫未留意，因而具有較強(qiáng)的隱蔽性，從而導(dǎo)致其在數(shù)學(xué)課堂上的高發(fā)性。但是，教師在課堂上的一言一行都會受到學(xué)生的關(guān)注，其語言表達(dá)也會在潛移默化中影響學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與認(rèn)識;再加上數(shù)學(xué)本身是一門極其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，而且李邦河院士說過：“數(shù)學(xué)本質(zhì)上是玩概念的。”因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)盡量注意教學(xué)語言的精準(zhǔn)表達(dá)，避免出現(xiàn)類似混淆概念的低級錯誤。

誤區(qū)二、導(dǎo)入設(shè)計簡單： 忽視學(xué)生長（正）方形性質(zhì)研究經(jīng)驗

“好的開始是成功的一半”，一節(jié)課能否成功，導(dǎo)入環(huán)節(jié)起著舉足輕重的作用。但遺憾的是，在本課題的實際教學(xué)中，沒有明顯導(dǎo)入的情況比較普遍（直接從圍三角形開始新課）;即便有導(dǎo)入，也非常簡單，比如只是復(fù)習(xí)一下三角形的概念（或創(chuàng)設(shè)“兩點之間線段最短”的生活情境），之后便立即進(jìn)入圍三角形的新知探索環(huán)節(jié)。

【片段3】師：我們已經(jīng)學(xué)過了三角形的知識，誰能說說什么是三角形？是不是任意的三條線段都能圍成三角形？這里有三根小棒，誰能用它們圍一個三角形？

【片段4】師：這是小明家到學(xué)校的路線圖（略），他可以怎樣走？如果是你，你會走哪一條？為什么？

師：在數(shù)學(xué)上，我們可以將小明家和學(xué)校看成兩個點，在這兩點之間的所有連線中，線段最短。把郵局也看成一個點，這 3 個點連在一起就形成我們學(xué)過的三角形。

師：同學(xué)們，老師給大家準(zhǔn)備了兩條線段，你能圍成一個三角形嗎？

學(xué)生要能正確地畫和圍三角形，首先就需要掌握三角形的概念。線段公理是學(xué)生熟悉的生活常識，且與“三角形兩邊之和大于第三邊”是等價命題。因此，三角形的概念與線段公理都與本課題直接相關(guān)，同時也都屬于學(xué)生的已有認(rèn)知。上述兩個片段作為導(dǎo)入的一部分是可以的，但是，之后立即就開始圍三角形，還是過快，學(xué)生可能會有這樣的疑惑：探究三角形的三邊關(guān)系，為什么不直接研究三角形的邊，而要自己圍三角形呢？顯然，這里的導(dǎo)入與新課之間是“脫節(jié)”的：既沒有出示課題，也沒有提出任何引發(fā)學(xué)生思考的問題。比如，今天這節(jié)課要研究什么？怎么研究？以前研究過類似的問題嗎？……學(xué)生自己沒有時間思考、提問，教師也沒有提出這些問題，學(xué)生就在完全被動的情況下帶著疑惑開始了看似積極、熱鬧的操作探究。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。而上述的學(xué)習(xí)顯然是呆板的、被動的和千篇一律的，與新課程所倡導(dǎo)的理念完全相悖。

為了讓圍三角形順利且自然地“出場”，導(dǎo)入環(huán)節(jié)顯然不能如此簡單，那么，在學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗中，還有什么是直接與本課題相關(guān)的？看似沒有了，因為本課題是學(xué)生遇到的三角形的第一個性質(zhì)。但是，三角形并不是學(xué)生接觸的第一種平面圖形。在三年級時，學(xué)生曾研究過長（正）方形邊的性質(zhì)，已經(jīng)積累了一定的研究平面圖形性質(zhì)的活動經(jīng)驗和方法，這是學(xué)生探究新知最重要的經(jīng)驗。因此，在復(fù)習(xí)三角形的概念之后，教師不妨出示問題1：三角形的三條邊具有怎樣的關(guān)系？請思考探究方法（預(yù)設(shè)學(xué)生會類比遷移，運用研究長方形時的“量一量”“折一折”“比一比”等方法;若學(xué)生想不到，教師應(yīng)通過啟發(fā)喚醒他們的已有經(jīng)驗）;當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用以前的老方法不能解決新問題（問題1）時，教師再一步步引導(dǎo)學(xué)生思考解決問題1的新方法，即轉(zhuǎn)換角度——先研究問題2：怎樣的三條線段能圍成三角形？接下來借助小棒圍三角形，便是水到渠成了。

弗賴登塔爾說：“要有耐心，這是教師的最大美德。”因此，教師不要在學(xué)生毫不知情的情況下，就急于讓學(xué)生動手操作——被動執(zhí)行教師的指令，而應(yīng)在充分挖掘?qū)W生已有認(rèn)知經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，精心設(shè)計一個適切的導(dǎo)入，引導(dǎo)他們成為思考者、探索者和發(fā)現(xiàn)者，從而完全進(jìn)入到學(xué)習(xí)活動中來。

誤區(qū)三、邏輯關(guān)系不清： 將三角形的判定當(dāng)作性質(zhì)

命題1：三角形任意兩邊之和大于第三邊（問題1的結(jié)論）。命題2：三條線段中若任意兩條線段長度之和大于第三條，則能圍成三角形（問題2的結(jié)論）。在邏輯上，命題1與命題2互為逆命題。此處，這兩個互逆命題都是真命題，通常稱命題1為三角形的性質(zhì)（或特征），命題2為三角形的判定（或圍成三角形的條件），顯然二者不是一回事。但是，在實際教學(xué)中，很多教師并不加以區(qū)分。

【片段5】師：大家經(jīng)過思考與交流得到能圍成三角形的條件，下面請根據(jù)條件用一句簡短的話來說明三角形的三邊關(guān)系。

生：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

【片段6】師：圍成之后想一想，為什么就圍成了呢？

生1：兩邊之和大于第三邊。

師：三角形的三邊之間有怎樣的關(guān)系？

生（眾）：任意兩邊之和大于第三邊。

師：任意兩邊之和大于第三邊。怎么知道的呢？

生2：我通過擺知道了。

在以上兩個片段中，教師將在圍三角形中發(fā)現(xiàn)的命題2直接當(dāng)作命題1，從而得出“三角形的三邊關(guān)系”。初中平面幾何里的“平行線的判定、性質(zhì)”“三角形全等的判定、性質(zhì)”……從判定和性質(zhì)兩個相反的角度研究數(shù)學(xué)對象，在數(shù)學(xué)學(xué)科中是廣泛存在的，顯然不能在初次接觸時就將它們混為一談，否則將會給學(xué)生以后的學(xué)習(xí)埋下隱患。另外，原命題為真，其逆命題不一定為真。比如，五年級探究“2的倍數(shù)特征”時，若學(xué)生發(fā)現(xiàn)“個位上是4的數(shù)是2的倍數(shù)”后，就立即得出“2的倍數(shù)，個位上是4”，那就是錯誤的。

因此，不管是從數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)密性的角度，還是從學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的角度考慮，在探究本課題——初次接觸判定和性質(zhì)時，就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個完整的邏輯清晰的探究過程：第一步，研究問題1，根據(jù)以往經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)不能解決（因為學(xué)生在以往的認(rèn)知中，沒有將一個圖形兩邊之和作為一個整體與其他邊比較的經(jīng)驗，所以也就不會主動想到將三角形的兩邊之和與第三邊比較）;第二步，轉(zhuǎn)換角度，反過來想，研究問題2，先發(fā)現(xiàn)圍不成的原因——兩根較短小棒長度之和小于或等于最長小棒（至此，兩根小棒長度之和作為一個整體“浮出水面”），再考查能圍成三角形的條件，得到命題2;第三步，判斷命題1是否正確，即是否只要是三角形，都有任意兩邊長度之和大于第三邊？任意畫一個三角形，通過量一量、算一算來驗證（《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求初中階段進(jìn)行嚴(yán)格證明）。

與直接圍三角形相比，經(jīng)歷上述過程肯定要花費更多的時間和精力，有些學(xué)生會覺得比較困難。但是，“磨刀不誤砍柴工”，在這一過程中學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人（知道自己每一步在做什么，也知道為什么要這么做，以及遇到新問題是如何思考的），既體驗了數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯性，提高了邏輯思維能力，也掌握了一般性的解決問題的思維方法，同時還為以后的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

誤區(qū)四、低估學(xué)生邏輯思維能力： 過分依賴實物操作

給定三根小棒，將較短的兩根小棒長度之和與第三根小棒比較大小，一共有三種情況：小于、等于、大于。在探究問題2時，通過動手操作，學(xué)生首先會發(fā)現(xiàn)“小于”了就不能圍成三角形，且能達(dá)成共識;但是，由于材料有一定的寬度，對“等于”的情況，學(xué)生意見不統(tǒng)一，有些學(xué)生認(rèn)為能圍成，有些卻認(rèn)為不能，很多教師認(rèn)為這是教學(xué)中的一個難點。為了避免材料的寬度影響學(xué)生的判斷，教師想了很多的方法。

某教師在教學(xué)反思中寫道：那么到底借助什么樣的材料來探究三角形三邊關(guān)系比較合適呢？可謂“仁者見仁，智者見智”，我驚嘆于某老師的粗紙條，能夠讓學(xué)生放棄寬度來借助紙條的邊線討論關(guān)系，從而逼近數(shù)學(xué)本質(zhì);我也佩服于某老師想到用折疊磁片的方式來研究三角形的三邊關(guān)系，從而也不考慮寬度。我也花費了一番心思尋找合適的材料，最終選定把線段畫在透明塑料片上來研究。

從以上教學(xué)反思中可以看出，教師在尋找材料上花費了很多心思。但是，“等于”這種情況，一定要通過實物操作來研究嗎？根據(jù)皮亞杰的觀點，這個階段的學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)具有了抽象概念，能憑借具體形象的支持進(jìn)行邏輯推理。因此，教師可以在研究“大于”“小于”的時候，利用實物操作，并做足文章，然后通過邏輯推理（在頭腦中借助表象，對線段進(jìn)行操作）來研究“等于”的情況。具體過程如下：第一步，給出“大于”的三根小棒，請學(xué)生嘗試圍三角形，讓學(xué)生明白怎樣能圍成并概括出圍法;第二步，給出“小于”的三根小棒（比如2、5、8厘米），先請學(xué)生用剛才的方法圍，待學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)2厘米和5厘米小棒都落在了8厘米小棒上（另兩端已無法再靠近），仍不能連接在一起后，啟發(fā)學(xué)生分別用文字語言和數(shù)學(xué)式子表述圍不成的原因（2+5<8）;第三步，要求學(xué)生閉上眼睛，在頭腦中像放電影一樣，回想剛才兩次圍的過程，以留下直觀的操作和思維表象，并建立兩種圍的模型，為后面的表象操作和邏輯推理提供形象的支持;第四步，不借助實物操作，先請學(xué)生判斷2、5、9厘米的三條線段是否能圍成三角形，并說一說是怎么想的，再請學(xué)生思考“若想要圍成三角形，可以怎么改變它們的長度”;第五步，選擇一種改法，比如將2厘米增加到4厘米，判斷4、5、9厘米（“等于”）的三條線段是否能圍成三角形，為什么？學(xué)生能借助前面的模型及表象，根據(jù)三條線段的長度進(jìn)行邏輯推理，因為4+5=9，所以4厘米和5厘米連成一條線段后與9厘米線段完全重合，因此不能圍成三角形。

以上過程，按照實物操作、表象操作、邏輯推理的順序，從具體到抽象，進(jìn)一步提高了學(xué)生的邏輯思維能力。“動手操作”是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式，但不應(yīng)過度依賴實物操作，更不能讓實物操作使學(xué)生陷入“視覺的假象”之中。“數(shù)學(xué)是思維的體操。”鄭毓信先生認(rèn)為，“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維”是“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的一個重要內(nèi)涵。因此，努力使學(xué)生“在思維中學(xué)會思維”是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本價值所在。

“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，這一結(jié)論看似簡單，但要使學(xué)生在主動探究的基礎(chǔ)上了解研究方法的來龍去脈，并經(jīng)歷邏輯清晰的完整探究過程，并不簡單。在以上四個誤區(qū)中，出現(xiàn)頻率最高、存在問題最大的是誤區(qū)三，它的存在不是教材的問題，而是教師的理解出現(xiàn)了偏差。以蘇教版教材為例，圍三角形后，先探尋圍不成的原因（“小于”），然后尋找圍成三角形的條件（命題2），再研究“三角形任意兩邊長度的和一定大于第三邊嗎？”，最后判斷“等于”的情況是否能圍成三角形。總的來說，邏輯清晰——先判定、再性質(zhì)、最后性質(zhì)的應(yīng)用（如果將“等于”的情況提前，放在“小于”后面，會比較符合人的思維習(xí)慣，也會更有邏輯性）。因此，廣大教師應(yīng)該在立足于學(xué)生的已有經(jīng)驗、遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，精心研讀教材，然后創(chuàng)造性地用教材教。正如著名小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師吳正憲所說：“作為數(shù)學(xué)教師，有兩件事很重要，一是理解兒童，二是理解數(shù)學(xué)。只有在理解兒童、理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，才能更好地理解兒童數(shù)學(xué)教育”，也才能避免出現(xiàn)各種各樣的教學(xué)誤區(qū)，從而促進(jìn)學(xué)生真正實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

【本文獲2020年江蘇高校“青藍(lán)工程”項目資助。本文系2020年度職業(yè)院校教育類教指委中小學(xué)教育立項課題“‘雙考視域下職前教師專業(yè)實踐素養(yǎng)發(fā)展研究——以小學(xué)數(shù)學(xué)方向為例”（課題編號：2020JZWZXXKT31）研究成果。】

（責(zé)編 黃春香）