“數”呈現規律 “形”助推意會

朱曙光 鮑善軍

[摘 要]通過“猜想—計算—歸納—驗證—拓展”的探究過程，呈現長方形的面積和邊長之間的關系和變化規律，使學生領悟到數形結合的魅力以及能夠用數形結合解決問題。

[關鍵詞]長方形面積;練習;數形結合

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0064-02

【教學內容】人教版教材五年級上冊“長方形面積的練習”拓展課

【教學目標】

1.通過推理、驗證等活動，發現長方形面積的變化規律，并利用長方形面積的變化規律解決實際問題。

2.經歷“猜想—計算—歸納—驗證—拓展”的探究過程，理解長方形面積和邊長之間的關系和變化規律，進而推導出其他平面圖形的面積變化規律，滲透數形結合、歸納推理等數學思想方法。

【教學實踐】

一、觀察圖形，體會圖形的“變與不變”

師：這是用一張長3 dm、寬2 dm的長方形紙片裁剪而成的“囍”字，按照不同形式將它放大，得到了不同的“囍”字，要把其中一張貼在墻上，你會選哪一張？

生1：我選圖形①，因為“囍”字圖片的形狀和原來相同。

師：解決問題不僅需要觀察，更要用數據來證明，可以說說你的理由嗎？

生1：6÷3=2，4÷2=2，圖形①是原圖的長和寬同時放大到原來的2倍，所以它的形狀與原圖一樣，只是改變了大小。

師：長方形的長和寬擴大相同的倍數，形狀不變，反之，形狀改變。

師：長方形的邊長發生了變化，它的什么也會發生變化？（面積）那么面積的變化與邊長的變化又有怎樣的關系？

【設計意圖：從形狀的變化引出面積的變化，引發學生對長方形面積變化的規律進行猜想后再驗證，能激發學生的探索欲望，為學生的后續學習做好準備。】

二、計算驗證，發現圖形的變化規律

師：讓我們將目光聚焦到表格中的數據，你有什么發現？

生1：長方形面積擴大的倍數是長和寬擴大倍數的乘積。

師：是不是所有的長方形面積都有這樣的變化規律呢？請舉個例子，再通過畫一畫、算一算的方式來驗證。

師：如果長擴大到原來的10倍，寬擴大到原來的20倍，面積擴大到原來的……（200倍），如果長擴大到原來的50倍，寬擴大到原來的40倍，面積擴大到原來的……（2000倍）。能用一句話概括嗎？

生2：如果長擴大到原來的m倍，寬擴大到原來的n倍，那么長方形面積就擴大到原來的mn倍。

【設計意圖：對比最初的猜想和計算數據，學生能初步感知長方形面積的變化;自主枚舉驗證則讓學生進一步明確結論的真實性，從而根據規律推測長方形面積的更多變化情況，概括出“面倍=長倍×寬倍”的數學模型。】

三、數形結合，探索圖形的變化原理

師：對于長和寬同時放大到原來2倍的長方形，你能找到它和放大前的長方形之間的面積關系嗎？

生1：將它們疊放在一起，通過對比、分割可以發現大長方形里有4個小長方形。因此大長方形面積是小長方形面積的4倍。? ? [ ][ ][ ] [疊放]

師：圖形中的“2”在哪里？

生2：每排有2個長方形，有這樣的2排。

師：這兩個圖形中，哪個才是長、寬分別擴大到原來的2倍和3倍后的圖形呢？

生3：②號圖形，因為長擴大到原來的2倍，寬擴大到原來的3倍。

生4：①號圖形有“3條長、2條寬”，所以它是由原圖長擴大到原來的3倍，寬擴大到原來的2倍變化而來。

師：雖然它們的面積都是原來的6倍，但是表示的意義是不一樣的。

師：如果將原圖的長擴大到原來的4倍、6倍，寬擴大到原來的2倍、5倍，你還能拼出來嗎？如果長擴大到原來的m倍，寬擴大到原來的n倍呢？

生5：那每排就有m個這樣的小長方形，有這樣的n排，所以大長方形面積是小長方形的mn倍。

生6：如果長擴大到原來的m倍，寬擴大到原來的n倍，那么長方形面積就擴大到原來的mn倍。

師：通過圖形，我們對長方形面積的變化規律有了更深入的了解。我們也可以用代數式來表示圖形的變化。

【設計意圖：通過拼擺圖形詮釋面積變化原理，學生體會到畫圖解決問題的便捷性，有助于發展幾何直觀意識和能力。教師特意將圖形的變化用代數式來表示，以形助數，以數御形，形與數相輔相成，體現了數學的簡潔性和有效性，培養了學生的符號意識。】

四、解決問題，完善圖形的變化認知

出示：一個長4 cm、寬3 cm的長方形，如果將它放大，同時又不改變它的形狀，它的面積可能是（? ? ）。

生1：長和寬同時擴大到原來的3倍，面積是12×3?;還可能是12×4?，長和寬同時擴大到原來的4倍。

師：寫得完嗎？（寫不完）能用一個算式表示嗎？

生2：12×m?。

師：如果將長和寬同時擴大到原來的m倍，面積則擴大到原來的m?倍。

【設計意圖：課始由長方形的形狀變化導入，課末將長方形的形狀變化與面積變化相結合進行拓展，帶給學生既有連貫性，又有挑戰性和趣味性的體驗。】

五、回顧所學，建立圖形的整體結構

師：本節課我們一起研究了什么？我們是怎么研究的？如果順著這個思路，你還想研究什么？

生：平行四邊形、三角形、梯形的面積變化。

師：這些平面圖形也有同樣的面積變化規律嗎？讓我們一起來看一看吧！

【設計意圖：回顧研究過程，不僅鞏固了本課的學習內容，還提煉出了從特殊到一般的學習方法。同時，利用微視頻實現圖形的動態轉化，溝通了長方形與其他平面圖形之間的聯系，構建了平面圖形的整體知識結構。】

【教后反思】

問題的解決不是重點，重要的是學生經歷解決問題的全過程，從而促進高階思維的發展。

1.追根溯源，深入概念本質

“長倍×寬倍=面倍”的模型不能僅依靠數據來概括，還需要反復的舉例論證。在學生從三組數據中概括長方形面積的變化規律后，只有讓學生知道繼續舉例驗證，經歷大量的實例考驗，才能確定此結論的真實性，這體現了嚴謹的數學學習態度。正如蘇格拉底所說，教師好似“助產師”，在教學行進過程中應不斷助推學生的學習走向深處。

2.數形結合，透視變化原理

用圖形的動態演繹將長方形邊長和面積的數據直觀、形象地顯現出來，幫助學生在腦海中烙下圖形變化的表象，有效促進學生對長方形面積變化最本質的理解，彰顯數形結合的魅力。形使數更直觀，也使解題更有效，在不斷拼圖、畫圖分析的過程中，學生的關鍵能力得到發展，經驗的積累也更加到位。

3.遷移類推，關聯知識結構

小學階段的平面圖形都能通過分割、平移實現互相轉化，也就是說，這些圖形之間存在密切的聯系。數學是一門研究關系的學科，所以教師應抓住教育契機，幫助學生搭建溝通平面圖形的橋梁，構建知識體系。教師在課末用微課的形式，根據平面圖形間的聯系，將長方形面積的變化規律遷移到其他平面圖形中，真正達到“學一題、透一點、通一類、會一片”的效果。

（責編 金 鈴）