數(shù)形結(jié)合：換和上方式學(xué)乘法

任教鋒

【摘要】小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課的選材問題，不僅關(guān)系到學(xué)生思維與能力的培養(yǎng)，也關(guān)系到學(xué)生對課內(nèi)知識的理解和掌握。教師可以以人教版教材中“你知道嗎”等內(nèi)容為素材，在對其進行補充、完善與整合的基礎(chǔ)上，開發(fā)數(shù)學(xué)拓展課，讓拓展課成為促進學(xué)生發(fā)展的重要途徑。

【關(guān)鍵詞】格子乘法;數(shù)學(xué)史;教學(xué)實踐

小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課的選材問題，不僅關(guān)系到學(xué)生思維與能力的培養(yǎng)，也關(guān)系到學(xué)生對課內(nèi)知識的理解和掌握。如何選擇數(shù)學(xué)拓展課的學(xué)習(xí)素材，是體現(xiàn)教師課程設(shè)計能力的關(guān)鍵要素之一。教師可以將人教版教材中“你知道嗎？”這個欄目中的內(nèi)容作為素材，在對其進行補充、完善與整合的基礎(chǔ)上，開發(fā)數(shù)學(xué)拓展課。三年級拓展課《格子乘法》就是由此而來的。

【課前思考】

（一）關(guān)于學(xué)習(xí)時間的思考

人教版教材把“格子乘法”作為一種“新”方法，放在四年級上冊“你知道嗎？”這個欄目中，以課外知識補充的形式讓學(xué)生了解。但基于這一內(nèi)容開發(fā)的拓展課，更適合在三年級下學(xué)期進行教學(xué)。首先，從人教版教材的編排體系來看，學(xué)生在三年級下學(xué)期學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法，具備學(xué)習(xí)這個內(nèi)容的知識基礎(chǔ)。其次，將“格子乘法”的學(xué)習(xí)順序前置，不僅能豐富兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)提供新的思路。

（二）關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的思考

“格子乘法”是人類文明的重要遺產(chǎn)，可以豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的了解。同時，作為解決乘法計算問題的一種方法，其背后有乘法的意義、運算定律等算理的支撐，與常規(guī)列豎式計算方法在形式上有所不同，更有利于促進學(xué)生對算理的理解。本課的教學(xué)目標(biāo)如下：

1.理解“格子乘法”的算理和算法，建立“格子乘法”模型，并能用這種方法進行兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算。

2.了解乘法發(fā)展史，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)的魅力。

【教學(xué)過程】

（一）復(fù)習(xí)回顧，引入新知

1.復(fù)習(xí)回顧

教師出示47x58，并引導(dǎo)：我們已經(jīng)學(xué)過兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法，請你計算“47×58”這道題目，說一說你是怎么做的。

生：47×58就是求58個47是多少，可以先算出50個47，再算出8個47，最后把它們的積相加，算式是47×58=47×50+47×8=2350+376=2726。

生：列豎式計算，先用58個位上的8去乘47，積的末尾和個位對齊，再用58的十位上的5去乘47，積的末尾和十位對齊，再把兩次乘得的積相加。

（生說過程，師出示豎式圖，如圖1）

2.引入“格子乘法”

師：老師這里有一種方法，也計算出了47×58的積（見圖2），你能看懂這是什么意思嗎？

引導(dǎo)學(xué)生交流體會，在學(xué)生了解了用“格子乘法”解決問題的過程以后，請學(xué)生繼續(xù)思考，列豎式與“格子乘法”之間有什么相同和不同之處。

生：計算方法不一樣、形式不一樣、樣子不一樣、寫法不一樣，計算結(jié)果一樣……

師：是不是所有的乘法都能這樣來算呢？我們需要來驗證一下。

（設(shè)計意圖：學(xué)生在學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法之后，往往對筆算乘法形成了思維定式。“格子乘法”這種學(xué)生眼中的“新”方法，會有效地激發(fā)起他們的好奇心和求知欲。學(xué)生自然地聯(lián)想到，是不是所有的乘法都能這樣來算呢？從而推動課堂教學(xué)。）

（二）閱讀嘗試，獲取新知

1.借助學(xué)習(xí)材料自學(xué)

師：到底是不是所有的乘法都可以這樣計算呢？老師這里有一份關(guān)于“格子乘法”的學(xué)習(xí)材料（見下文），請你按要求完成任務(wù)。（1）讀一讀：材料中的方法是怎么樣的？（2）試一試：用兩種方法（豎式計算和材料中的方法）計算一題。（3）說一說：你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)習(xí)材料

我們?nèi)绻嬎?7×58，根據(jù)“格子乘法”可以這樣算。

第一步：畫一個兩行兩列的格子，然后畫出每個格子中的對角線。把第一個乘數(shù)47按從左往右的順序?qū)懺诟褡拥纳厦妫侔训诙€乘數(shù)58按從上到下的順序?qū)懺诟褡拥挠疫叀?/p>

第二步：先算7乘5等于35，分別寫上3和5，接著算4乘5等于20，分別寫上2和0，再算7乘8等于56，分別寫上5和6，最后算4乘8等于32，分別寫上3和2。

第三步：把每條斜線中的數(shù)字相加，寫在下面，如果滿十了，就要向上一條斜線進1。

所以47乘58等于2726。

2.模仿驗證

學(xué)生依據(jù)學(xué)習(xí)材料，模仿編題計算并驗證，完成之后集中匯報。

生：我的算式是46X23，用列豎式的方法計算得出1058，用“格子乘法”算出來的也是1058。

生：我舉的例子是27X16，用兩種方法算出來的積是一樣的。

……

師：那我們能下結(jié)論了嗎？（生眾：可以）

師（小結(jié)）：材料中的這種方法可以計算出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的積。

（設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)活動是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)經(jīng)驗的有效途徑之一。教學(xué)時教師首先給出學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)閱讀來了解“格子乘法”的計算步驟和方法，再引導(dǎo)學(xué)生進行舉例驗證，感受格子乘法計算結(jié)果的正確性。）

（三）理解算理，嘗試拓展

1.微課介紹算理

師：請你結(jié)合題目，想一想這種計算方法的道理在哪里。讓我們通過一個微課再來認(rèn)識一下這種方法吧。（播放微課介紹算理，具體見圖3）

師：你能給這種方法取個名字嗎？

生：斜線乘法、格子乘法、方格乘法……

2.嘗試拓展

師：剛才我們計算的都是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，那么，三位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘三位數(shù)也能用這種方法算出積嗎？請同學(xué)們自己寫一道三位數(shù)乘兩位數(shù)或三位數(shù)乘三位數(shù)的題目，用這種方法試一試。

（生嘗試獨立完成）

（設(shè)計意圖：計算教學(xué)必須重視先讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，再通過算法間的對比和溝通，加深對算理的理解。當(dāng)然，學(xué)生需要掌握算法，但更需要經(jīng)歷建構(gòu)算法的過程，從而實現(xiàn)算理與算法的內(nèi)在統(tǒng)一。）

（四）數(shù)學(xué)文化，感受體會

師：其實，乘法計算的方法還有很多，同學(xué)們熟悉的用豎式計算的方法，是經(jīng)過人們長期實踐、驗證，最終在諸多方法中被“選擇”出來的一種被大家廣泛認(rèn)可的方法。

介紹：古埃及有倍乘法，中國古代有籌算乘法，古印度、意大利有豎式乘法、格子乘法，現(xiàn)在的豎式乘法（算法見圖4，介紹過程略）

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你是否也能創(chuàng)造出一種與眾不同的計算方法呢？

（設(shè)計意圖：整堂課結(jié)束之前，安排了了解數(shù)學(xué)乘法演變過程的內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲入課堂、融入教學(xué)。學(xué)生不僅了解了知識結(jié)論，還了解了知識的形成過程，領(lǐng)悟了問題的本質(zhì)。）

【教學(xué)反思】

（一）基于認(rèn)知基礎(chǔ)，建立數(shù)學(xué)猜想

學(xué)生學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法之后，已經(jīng)初步理解算理，掌握了基本算法，在之后的計算中往往都采用既定的程序性算法去計算，很少去思考還有沒有其他的方法。“格子乘法”可以拓展學(xué)生的思路，讓學(xué)生體會到計算可以有不同的方法。當(dāng)然，介紹方法時不要直接告訴學(xué)生這種方法一定能計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，而是引導(dǎo)學(xué)生先提出質(zhì)疑“是不是所有的乘法都能這樣來算呢”，再讓學(xué)生經(jīng)歷提出數(shù)學(xué)猜想、進行數(shù)學(xué)思考的過程，符合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的規(guī)律。

（二）組織數(shù)學(xué)活動，驗證數(shù)學(xué)猜想

一個數(shù)學(xué)規(guī)律或者一種計算方法是否成立，需要經(jīng)得起實踐檢驗，教學(xué)中有必要安排數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過驗證，說明之前的判斷與猜想是否正確。本節(jié)課教師先給出學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)閱讀的方式了解“格子乘法”的計算方法，再讓學(xué)生選擇不同的算式舉例驗證。這是讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一股，說明規(guī)律一般性和適用性的過程。

（三）多種方法溝通，理解算法算理

判斷“格子乘法”是否可行，不僅要看其與豎式計算結(jié)果是否一致，還要理解其中的道理。比如，計算47×58，無論是豎式計算，還是格子計算，都用到了四句口訣：7乘5，實際上就是7乘50;4乘5，實際上就是40乘50;7乘8，其實是47個位上的7乘58個位上的8;4乘8，其實是40乘8。最后，如果再依據(jù)斜線的方向，將同一斜線上的所有數(shù)相加，從本質(zhì)來講，就是相同數(shù)位相加，滿十進一。由此不難理解，“格子乘法”其實就是豎式的另外一種表征形式。引導(dǎo)學(xué)生體會到這一點，并對兩者進行結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，是本節(jié)課教學(xué)中教師重點解決的問題之一。

（四）了解乘法演變，感受數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化的基本內(nèi)容是數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法等等。數(shù)學(xué)文化的根本特征是它表現(xiàn)了一種探索精神。在課尾，教師呈現(xiàn)歷史上多種不同的乘法計算方法，將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)之中，讓學(xué)生了解知識的形成過程，加深對所學(xué)知識的理解。

人教版教材中的“你知道嗎？”欄目中所蘊含的知識內(nèi)容，為教師課程創(chuàng)新提供了豐富的內(nèi)容素材。在拓展課開發(fā)過程中，教師要注重內(nèi)容的篩選，將符合學(xué)生認(rèn)知水平、能滿足學(xué)生學(xué)習(xí)心理需求的內(nèi)容，進行完善與重組，讓拓展課真正成為促進學(xué)生發(fā)展的重要途徑。