幾何直觀與解析幾何

王永軍

【摘要】在普通高中數學學科核心素養中，直觀想象具有相對獨立性，又與其他素養（數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析）相互交融形成一個有機的整體.學生在解析幾何（圓錐曲線）中運用直觀想象素養中的幾何直觀，常常會給學習與解題帶來意外的輕松與簡單.

【關鍵詞】高考數學;直觀想象;圓錐曲線

一、幾何直觀與解析幾何

（一）幾何直觀

幾何直觀是借用幾何圖形想象感知事物的形態與變化，利用已知圖形理解、變換、解決數學問題.借用平面、空間形式認識事物的位置關系、形態變化，來尋求運動規律;利用圖形描述數學問題、分析數學問題;建立數與形的關系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路與方法.

幾何直觀想象是發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的重要手段，是進行數學推理、探索和形成解題思路、構建抽象結構的重要思維基礎.

（二）解析幾何（圓錐曲線）

高中數學解析幾何的核心部分是圓錐曲線，顧名思義，這里的曲線都可以用平面去截取圓錐而得到.其中直線、圓、拋物線學生在初中階段已學習，雙曲線也有接觸，完全沒有接觸的圓錐曲線是橢圓，其實橢圓就是“壓扁”的圓.高中數學進一步提煉、提升這些圓錐曲線的內涵，特別注重形與數的融合，更加突出“以數解形”，解析幾何的基本思想、基本方法得以充分展現.

要求學生熟悉與掌握直線、圓、拋物線、雙曲線、橢圓中基本量的含義、一般求解思路、圖形特征等，深刻理解形與數的完美變換、完美融合.

二、高考試題分析

可以看到，這種解法運算量變小了許多，而且問題的幾何結構更加清晰易懂，真正把高考數學試卷中的“壓軸大題”變成了容易得分的“小題”，輕松而愉悅.這樣的解題思路與解題過程的書寫，是我們永遠追求的、想要的.

三、教學備考建議

（一）著力培養幾何直觀素養

教師要努力創設幾何直觀、利用幾何直觀的情境，注意到解析幾何（圓錐曲線）特有的問題類型，注重知識點之間的聯系，既要發揮通解通法的“萬能”作用，又善于挖掘問題中的“技巧”，形成完備的知識網絡.

（二）重視數學思想方法歸納

幾何直觀的培養與形成不是一蹴而就的，其具有階段性、連續性、整合性等特點.教師要注重課本例題、習題中的典型幾何特征、基本量運算，這些例題都具有強烈的示范性.

教師要打破課本教材對解析幾何的條塊分割，注重對解析幾何知識的整體考量，對各知識點要進行“深加工”和細致梳理，形成系統化、條理化的內容，立足基本概念、基本方法，充分利用幾何的“形”與代數的“數”，形數互化，實現代數問題用幾何來解決，幾何問題以“數”助“形”的目標.