二維連續型隨機變量的邊緣分布函數與邊緣概率密度

脫倩娟 呂紀榮

【摘要】二維連續型隨機變量（X，Y）的邊緣分布函數與邊緣概率密度，能夠全面地描述二維連續型隨機變量（X，Y）的分布規律，是概率論與數理統計的重要組成部分.若不理解相關概念和性質就盲目求解邊緣概率密度與邊緣分布函數，對于學習者而言具有一定的難度.因此，本文按照題型，從求解邊緣概率密度與邊緣分布函數兩個方面，分別歸納和總結了不同條件下的解題思路和方法.

【關鍵詞】二維連續型隨機變量;邊緣分布函數;邊緣概率密度

二維連續型隨機變量（X，Y）作為一個整體，比一維的情況更復雜一些，它不僅與兩個隨機變量有關，還依賴于它們之間的相互關系[1].求解邊緣分布函數與邊緣概率密度的題目時，總是預先給定聯合概率度f（X，Y）或者聯合分布函數F（X，Y）.其中，聯合分布函數F（X，Y）有三種不同的含義：概率中，表示聯合概率密度為f（X，Y）的二維隨機變量在區域Dxy=（-∞，x]·（-∞，y]上的概率;幾何中，表示以曲面f（X，Y）為頂，以Dxy為底的曲頂柱體的體積;物理中，表示面密度為f（X，Y）的平面薄片在區域Dxy上的質量.總之，邊緣分布函數與邊緣概率密度均是函數，它們是高等數學和概率論與數理統計之間的橋梁，可以利用積分和導數等數學工具研究二維連續型隨機變量（X，Y）的分布規律.

1 求解邊緣分布函數問題

1.1 已知聯合分布函數求邊緣分布函數

一般地，當聯合分布函數或者聯合概率密度已知求邊緣概率密度時，涉及固定二元函數中的一個變量，對另外一個變量積分.此時，視固定的變量為常量，二元函數積分為特殊的一元函數.若已知條件以分段函數的形式給定，則應先確定積分區間，再分段積分，最終給出綜合表達式.

小 結

一般地，求解二維連續型隨機變量邊緣分布函數和邊緣概率密度的相關題目時，會預先給定聯合分布函數或者聯合概率密度，涉及二元函數固定其中一個變量求另外一個變量的極限、二元函數固定其中一個變量對另外一個變量積分、二階偏導數、二重積分等相關知識，要求學習者具有扎實的高等數學基礎和計算能力.尤其是已知條件以分段函數給定時，應先畫出其相應的非零區域，這對于正確計算是非常重要的.

【參考文獻】

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（第4版）[M].北京： 高等教育出版社，2008.

[2]張國華.概率論與數理統計[M].陜西： 西安交通大學出版社，2014.

[3]同濟大學數學系.概率論與數理統計[M].北京： 人民郵電出版社，2017.