橫看成嶺側成峰 一題多解妙無窮——一道最值問題的解法探究

劉穩殿

(陜西省白河縣高級中學 725899)

此題解法較多，作者總結了基本的五種求解方法，供讀者參考，不足之處，敬請指正.

解法1 (代入消元)回歸基礎，適用于已知二元關系，用一元表示另一元的情況.

由x+2y=4,得x=4-2y.

因為x,y為正數，且x+2y=4，所以0

解法2 (常數代換) 回歸問題本質，適用于二元均為正數且和為常數的求最值問題.

因為x,y為正數，且x+2y=4，

解法3 (利用基本不等式)直接求解，適用于兩分式相加，分子(分母)為已知常數.

因為x,y為正數，且x+2y=4，

即0

解法4 (待定系數)引入參數巧變形，將二元關系整體化.(注意x+2y=4為一個整體，可引入一個參數k，k>0)

設k>0,由x+2y=4，得k(x+2y)=4k.

解法5 (利用柯西不等式)，通過拆項重組或添項等方法構造符合柯西不等式的形式及條件.

因為x>0.y>0,x+2y=4，