高中數學三角函數最值問題分析

楊克林

(福建省漳浦第一中學 363200)

三角函數習題類型靈活多變，解題的思路也有所不同.其中運用三角函數性質、運用輔助角、運用均值不等式以及換元法是解題中較為常用的方法.教師授課中為使學生掌握不同方法的具體應用，使其更好地把握解題中的相關細節，應注重為學生做好解題示范.

一、運用三角函數性質求最值

運用三角函數性質求最值的思路為：其一，靈活運用相關的誘導公式等將函數表達式整理成y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形式；其二，根據已知條件找到ωx+φ的取值范圍；其三，聯想所學的三角函數單調性知識，在給定的定義域中求出最值.

題目給出的函數f(x)的表達式較為復雜，解答該題時的第一印象便是先使用誘導公式、兩角和差公式、降冪公式、輔助角公式等將函數f(x)的表達式化簡成類似“y=Asin(ωx+φ)+h”的形式.而后根據給出的定義域區間，采用整體思想結合三角函數圖象，分析其在對應區間上的單調性，求出函數最小值即可.

=sin2x+cos2x+1

二、運用輔助角求最值

運用輔助角求最值應牢記輔助角構造公式，尤其應明確引入的角度與條件之間的內在關聯，通過運用已知條件求解出未知參數，而后運用三角函數的邊界性確定最終結果.

題目中函數f(x)的表達式并不復雜.根據經驗，需要引入輔助角θ進行化簡，化陌生為熟悉.同時，結合已知條件中函數對稱軸以及三角函數圖象特點，確定對稱軸的表達式，而后將已知條件代入，計算出ω的值.最后利用輔助角之間的關系，求出a的值，問題便可迎刃而解.

三、運用均值不等式求最值

均值不等式常用于求解三角函數最值.為保證解題結果的正確性，運用均值不等式時應注意把握參數的取值范圍，牢記均值不等式成立的條件，尤其針對無法使用均值不等式的習題， 應注重結合已知條件對相關的角度進行拆分，湊成能夠運用均值不等式的形式.當然等號成立的條件應保證參數能夠取到.

習題題干簡潔，認真分析已知條件以及要求解的問題，可知需要對角進行合理的拆分，以便更好地借助兩角和與差的三角函數知識進行化簡.同時，積極聯系所學，巧妙地運用兩個角度的值配湊出對應的均值不等式，求出cosβ的最小值，尤其要注重分析均值不等式等號成立的條件，保證推理的嚴謹性.

所以sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα

整理,得sin(α+β)cosα=5cos(α+β)sinα.

四、運用換元法求最值

運用換元法求解三角函數最值具有一定的技巧，求解時需要先對已知條件進行轉化，而后進行合理地換元.當然換元前后參數的取值范圍不能發生變化.而后聯系所學的函數知識求出最值.

例4已知A,B,C為銳角ΔABC的三個內角，且滿足tanB+tanC=2tanBtanC，則tanAtanBtanC的最小值為( ).

A.2 B.4 C.6 D.8

又因為tanB+tanC=2tanBtanC，

令t=tanBtanC，因為A,B,C均為銳角，因此tanA>0，tanB>0，tanC>0.

所以1-tanBtanC<0，則t>1.

故tanAtanBtanC≥8，其最小值為8，此時t=2，故選D.

三角函數最值問題在高考中的出現頻率較高，考查的知識點較多，解題思路靈活多變.解題時只有找到正確的思路，才能高效地加以解答，因此教師授課中為提高學生解答三角函數最值問題的能力，應結合自身教學經驗，為學生講解經典習題，并與學生一起分析解題思路，展示具體的解題過程，在學生頭腦中留下深刻印象.同時課堂上注重預留一定的空白，鼓勵學生做好聽課總結，對相關題型分門別類，認真分析相關的解題思路，在平時的訓練中加以靈活運用，實現解題能力更好的提升.