對一類橢圓定值問題的探究

蔣 振

(廣東省惠州仲愷中學 516229)

一、問題引入

題目(2020年南昌市NCS20200607項目第一次模擬考試理科第20題)己知圓F1：(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3)，圓F2：(x-1)2+y2=(4-r)2.

(1)證明圓F1與圓F2有公共點，并求公共點的軌跡E的方程；

(2)已知點Q(m,0)(m<0)，過點F2斜率為k(k≠0)的直線與(1)中軌跡E相交于M,N兩點，記直線QM的斜率為k1，直線QN的斜率為k2，是否存在實數m使得k(k1+k2)為定值？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由.

(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.

因為m<0，所以當3m2-12=0時，即m=-2時，k(k1+k2)=-1.

二、問題探究

(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0.

①

三、問題推廣