賞析幾道“Dandelin雙球”模型的圓錐曲線問題

陳凌燕 蔡海濤

(1.福建省廈門市海滄中學 361022;2.福建省莆田第二中學 351131)

蔡海濤(1975-)，男，福建省莆田人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

數學家Germinal Dandelin證明“平面截圓錐得到的截口曲線是圓錐曲線”的方法非常巧妙，在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，通過純幾何的方法證明截口曲線是圓錐曲線，該模型稱為“Dandelin雙球”模型.本文賞析幾道“Dandelin雙球”模型的圓錐曲線問題，期與同行交流.

例1仿照“Dandelin雙球”模型，人們借助圓柱內的兩個內切球完美地證明了平面截圓柱的截面為橢圓面．如圖1，底面半徑為1的圓柱內兩個內切球球心距離為4，現用與兩球都相切的平面截圓柱所得到的截面邊緣線是一橢圓，則該橢圓的離心率為( ).

部析結合已知條件，畫出軸截面圖，如圖2，易知圓柱的底面直徑為橢圓的短軸長，即2b=2.

為什么“與兩球都相切的平面截圓柱所得到的截面邊緣線是一橢圓？”

證明如圖3，設平面與球O1，球O2分別相切于A,B兩點，設邊緣線上點P，過點P作與圓柱母線平行的直線切球O1，球O2于M,N兩點，則由切線長相等，有PA=PM，PB=PN，所以PA+PB=PM+PN=MN=O1O2.所以點P的軌跡是橢圓，A，B是其兩焦點.

例2 如圖4，兩個底面半徑為3，高為4的圓錐內分別有1個半徑為1的小球與圓錐側面相切，平面π與兩個小球都相切，且截圓錐所得的邊緣線為雙曲線，則該雙曲線的離心率為____.

剖析設兩個小球與平面π分別切于點F1,F2，與圓錐兩部分分別截得圓S1,S2，任取邊緣線上一點P，連接OP分別交圓S1,S2于點Q1,Q2，則|PF1-PF2|=|PQ1-PQ2|=|Q1Q2|，所以點P軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線.

例3 將籃球放在地面上，被陽光斜照留下的影子的邊線是橢圓，如圖6.如果將光源換成點光源，則影子的邊線可能是( ).

A.橢圓 B.雙曲線的一支 C. 拋物線 D. 圓

剖析陽光斜照籃球留下的影子的邊線可以看作是平面被圓柱截得的邊緣線，所以是橢圓.陽光換成點光源，可以看作是平面被圓錐截得的邊緣線，則橢圓，雙曲線的一支，拋物線，圓都有可能.當點位于球正上方，可以看作是與圓錐旋轉軸垂直的平面截圓錐，所得邊緣線為圓.當點位于與平面距離等于球直徑的位置時，可以看作是與圓錐母線平行的平面截圓錐，所得邊緣線為拋物線，如圖7所示.

推廣與圓錐母線平行的平面截圓錐所得的截口曲線是拋物線.

設圓錐母線與圓錐旋轉軸所成角為θ，如圖8，設小球O與圓錐相切的⊙O1所在平面為α，與圓錐母線平行的平面β與平面α相交于直線l，平面β與小球O相切點F，設點P為截口曲線上任一點，連接PS交⊙O1于點B，設點P在平面α的投影為P0，連接BP，過點P0作P0A⊥l交l于點A，連接PA，由三垂線定理，知PA⊥l，所以∠PAP0為二面角α-l-β的平面角，所以∠P0PA=θ.又∠BPP0=∠SPP0=θ，所以Rt△BPP0≌Rt△APP0，所以PB=PA.又由切線長相等，知PF=PB，所以PF=PA，所以點P的軌跡是拋物線，焦點是F，準線是l.

剖析如圖10，設球O1,O2與圓錐SO相切于圓S1,S2，與平面α相切于點F1,F2，任取截口曲線上一點P，直線SP與圓S1,S2相交于點A,B，由切線長相等，知PF1=PA，PF2=PB，所以PF1+PF2=PA+PB=AB，所以點P的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓.設橢圓長軸長為2a，焦距為2c.

根據橢圓的第二定義：到定點的距離與到定直線的距離之比為小于1的常數.定直線就是橢圓的準線，即小球與圓錐相切的圓所在平面與橢圓所在平面的交線就是橢圓的準線.

由上例分析，“Dandelin雙球”模型的圓錐曲線問題只需借助模型分析，掌握“平面截圓錐得到的截口曲線是圓錐曲線”的幾種模型，問題的解決就不難了.