一題多變 探析帶電粒子在周期性變化的電場中的運(yùn)動(dòng)

李紅紅

(河北省邯鄲市第四中學(xué) 056107)

在高考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)帶電粒子在周期性變化的電場中運(yùn)動(dòng)的問題，它是高考試題中電磁學(xué)問題的基礎(chǔ)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的必備知識(shí).此類問題中“周期性變化的電場”又往往是由通過施加在兩個(gè)平行金屬板之間的周期性變化的電壓來實(shí)現(xiàn)的；而“周期性變化的電壓”一般呈現(xiàn)“方波形”的特點(diǎn)，這樣的電場就可以是周期性變化的勻強(qiáng)電場，而帶電粒子也就是在這樣的周期性變化的勻強(qiáng)電場中運(yùn)動(dòng)，從而使粒子的運(yùn)動(dòng)變?yōu)閷W(xué)生們熟悉的勻變速運(yùn)動(dòng)；但由于電場的周期性變化，使得帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律變得隱蔽和復(fù)雜，考生在分析過程中稍有不慎，就會(huì)出錯(cuò).下面我們以一個(gè)例題及其變式為例，來賞析帶電粒子在周期性變化的電場中的運(yùn)動(dòng)情況并找到解決這類問題的方法.

例題如圖1所示，在間距足夠大的平行金屬板A、B之間有一電子，在A、B之間加上如圖2所示規(guī)律變化的電壓，在t=0時(shí)刻電子靜止且A板電勢(shì)比B板電勢(shì)高，則( ).

A．電子在A、B兩板間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)

B．在足夠長的時(shí)間內(nèi)，電子一定會(huì)碰上A板

解析方法一：直接分析法；

t=0時(shí)，A板電勢(shì)比B板電勢(shì)高，則電場方向豎直向下，電子受向上的電場力，向上加速，t=T/2時(shí)，場強(qiáng)改變方向，電子受向下的電場力，則電子向上減速，直到t=T時(shí)刻速度減小到0，之后重復(fù)上述向上加速再向上減速的運(yùn)動(dòng)，故電子一直向上運(yùn)動(dòng)，在足夠長的時(shí)間內(nèi)，電子一定會(huì)碰上A板；故選項(xiàng)B正確.因電子做單方向直線運(yùn)動(dòng)，因此T/2時(shí)刻電子的位移不是最大，所以選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.

方法二：速度圖像分析法；

將電子在周期性變化的電場中的速度時(shí)間圖像畫出來，如圖3所示，可知電子做單方向的直線運(yùn)動(dòng)；而不是往復(fù)運(yùn)動(dòng)，所以選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確.

點(diǎn)評(píng)此題中電子從t=0時(shí)刻開始就在周期性變化的電場中由靜止開始運(yùn)動(dòng)，由判斷得出，電子向著A板做單方向的直線運(yùn)動(dòng)，即：在一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻減速直線運(yùn)動(dòng).

變式一：若將上述例題中的圖2變?yōu)槿鐖D4所示規(guī)律變化的電壓，而其他條件不變，則電子又將如何運(yùn)動(dòng)呢?

解析我們可以直接采用速度時(shí)間圖像法來分析電子的運(yùn)動(dòng)情況，速度時(shí)間圖像如圖5所示，由圖中可直接判斷出：0-T/4時(shí)間內(nèi)，電子向A板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，T/4-T/2時(shí)間內(nèi)，電子向A板做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，T/2-3T/4時(shí)間內(nèi)，電子向B板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，3T/4-T時(shí)間內(nèi)，電子向B板做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由圖像面積表示位移可知：T時(shí)刻電子回到原出發(fā)點(diǎn)；此后電子重復(fù)第一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況；所以電子在這樣的周期性變化的電場中的運(yùn)動(dòng)是來回往復(fù)運(yùn)動(dòng).

變式二:繼續(xù)改變電壓的變化規(guī)律如圖6所示，其他條件不變，則電子又將如何運(yùn)動(dòng)呢?

解析仍直接采用速度時(shí)間圖像法來分析電子的運(yùn)動(dòng)情況，如圖7所示，由圖中可直接判斷出：0-T/8時(shí)間內(nèi)，電子向A板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，T/8-T/4時(shí)間內(nèi)，電子向A板做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，T/4-T/2時(shí)間內(nèi)，電子反方向向B板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，T/2-3T/4時(shí)間內(nèi)，電子向B板做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由圖像面積表示位移可知：T/4-3T/4時(shí)間內(nèi)電子向B板運(yùn)動(dòng)的位移為0-T/4時(shí)間內(nèi)向A板運(yùn)動(dòng)位移的4倍，這說明電子已經(jīng)超過原出發(fā)點(diǎn)繼續(xù)向B板運(yùn)動(dòng)了一段位移；3T/4-T這段時(shí)間內(nèi)，電子又向A板運(yùn)動(dòng)；由面積可知：在一個(gè)完整的周期內(nèi)，電子的總位移是向B板運(yùn)動(dòng)的；所以電子在這樣的周期性變化的電場中的運(yùn)動(dòng)是總位移向B板的來回往復(fù)運(yùn)動(dòng).如果運(yùn)動(dòng)時(shí)間足夠長，電子一定會(huì)碰上B板.

變式三：若電子不再是由靜止開始運(yùn)動(dòng)，而是有一個(gè)初速度且初速度方向與電場線垂直，如圖8所示，電壓的變化規(guī)律如圖9所示，則電子又將如何運(yùn)動(dòng)呢?

解析由題意可知，電子在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而在豎直方向上電子所做的運(yùn)動(dòng)與例題中電子所做的運(yùn)動(dòng)相同，即豎直方向上電子向A板做單方向上的直線運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)就是電子在周期性變化的電場中的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，即曲線運(yùn)動(dòng)，直到離開電場做勻速直線運(yùn)動(dòng)為止.

總結(jié)通過上面例題及其變式的分析可發(fā)現(xiàn)，探究帶電粒子在周期性變化的電場中的運(yùn)動(dòng)情況，可借助速度時(shí)間圖像來幫助學(xué)生迅速獲得關(guān)鍵信息，不但可較直觀地了解帶電粒子運(yùn)動(dòng)情況，也可較全面地進(jìn)行分析和求解.同時(shí)，通過這幾種情況的分析，旨在幫助學(xué)生尋得解決這類問題的解題方法——即轉(zhuǎn)換圖像法、運(yùn)動(dòng)的合成法.

牛刀小試：如圖10甲所示，兩個(gè)平行金屬板P、Q正對(duì)豎直放置，兩板間加上如圖10乙所示的交變電壓.t=0時(shí)，Q板比P板電勢(shì)高U0，在兩板的正中央M點(diǎn)有一電子在電場力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)(電子所受重力可忽略不計(jì)).已知電子在0～4t0時(shí)間內(nèi)未與兩板相碰.則電子速度方向向左且速度大小逐漸增大的時(shí)間是( ).

A．0

C．2t0

答案：1.C