高中數學解題中構造法的應用

羅洪祥

(福建省上杭縣第一中學 364200)

構造法指的是當解決某些數學問題使用常規方法和定向思維難以處理時，可根據題設條件和結論的性質、特征，從新的觀點和角度觀察、分析、理解對象，緊緊抓住反映問題條件和結論間的內在關系，運用問題的坐標、外形、數據等特征，使用已知條件為原材料，及數學關系式和理論為工具在思維中構造出滿足條件或結論的對象，將原問題變得易于解決.

一、應用構造法解決方程問題

雖然高中生從小學階段就開始接觸方程，再經過初中階段的學習，到高中以后還要繼續研究方程，其中在日常解題訓練中，方程構造法是一個極為常用的解題思路，主要采用有關方程知識來解題.在高中數學解題教學中，當題目中存在明顯結構特征或數量關系時，教師可以指引學生應用方程構造法，建立一個等式，結合各種未知數把習題中的抽象內容轉變成特殊性或實質性內容，使其能順利解答題目，培養他們的數學知識應用能力與思維水平.

例1已知方程(u-i)2-4(i-x)(x-u)=0，求證：u、i、x是一個等差數列.

反思在解決該試題時，學生只需構造出一個方程就能夠解題，不僅考察以前所學習的數學知識，還鍛煉他們的觀察能力與思維能力，使其通過找到方程等式確定解題思路，然后利用方程相關知識快速求解.

二、應用構造法解決函數問題

函數知識可謂是貫穿于整個高中數學知識的學習，而且學生在初中階段就有所接觸，在高中數學教學中也有著重要地位，不少題目中都會有所涉及函數知識，對他們的解題水平要求也較高.對此，在高中數學解題教學中，無論是幾何還是代數問題，往往會蘊含著一定的函數思想，這時教師可以引導學生應用構造法處理函數問題，關鍵是解題思想，而并非方法，使其通過對構造法的采用把復雜問題變得簡單化，鍛煉他們的解題能力，增強解題自信.

例3已知(x+2y)5+x5+2x+2y=0，求x+y的值.

解析本題主要考查函數的構造，由于在等式中存在兩種未知數，且次冪較高，學生很難直接求解，應該認真分析等式，找出具有相等關系的函數建立等式.

解把原式進行移項后得到(x+2y)5+(x+2y)=-(x5+x)，假設f(t)=t5+t，這明顯是一個奇函數，則f(x+2y)=-f(x)=f(-x)，也就表明x+2y=-x，x+y=0.

三、應用構造法解決數列問題

在高中數學教學過程中，數列也是比較重要的知識點，主要包括等差數列與等比數列的兩種，屬于高考中的熱點與重點，數列模型具有特殊的規律，其中在解題中可以更為清晰的呈現問題特點.在高中數學數列解題教學中，教師可以引領學生根據具體問題應用構造法，把遞進公式進行變形，使其結合數列的定義來判定類型，最終順利求解.同時，高中數學教師可指導學生依據相應問題構造出等差數列或者等比數列，讓他們運用數列的性質求解.

例4已知數列{an}中，a1=5，a2=2，a3=2an-1+3an-2，(n≥3)，求該數列的通項公式.

解析本題屬于高中數學數列類解題中的常見題型，給出幾個項的值及等量關系，求出數列的通項公式，假如學生采用直接求解法容易出現錯誤，教師可提醒他們使用構造法，對題目中給出的已知信息進行適當的構造與變換，使其形成清晰、準確的解題思路.

解根據an=2an-1+3an-2得出an+an-1=3(an-1+an-2)，因為a1+a2=5+2=7，{an+an-1}就形成首項是7，公比是3的等比數列，得出an+an-1=7×3n-1

①

又因為an-3an-1=-(an-3an-2)，a2-3a1=2-3×5=2-15=-13，{an-3an-1}就形成一個首項是-13，公比是-1的等比數列，則an-3an-1=(-13)(-1)n-1

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四、應用構造法解決圖形問題

針對整個數學知識體系而言，主要包括代數與幾何兩大部分，在高中數學解題教學中應用構造法時，不僅可以用來處理各種代數問題，還能夠解決幾何圖形問題.具體來說，在高中數學解題教學中，處理解析幾何或者立體幾何類的問題時，教師可以引導學生把構造法同數形結合思想有機結合在一起，按照題目中的數量關系對圖形展開構造，使其結合直觀化的圖形來分析抽象化的數學問題，由此降低解題難度，輔助他們準確、快速的求得問題答案.

解析教師可以提示學生運用構造法分析題目中的式子cosα2+cosβ2+cosγ2=1，使其同長方體對角線的形式來連接，構造出以下圖形，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，將∠α、∠β、∠γ看作是長方體對角線BD1和三條側棱的夾角，其中三條側棱AB、BC和BB1的長分別是a、b、c.當且僅當a=b=c時，不等式取等號原問題就能夠得到證明.

例6 已知x，y都是正實數，x2+y2-3=xy，求x+y的最大值.

解析學生可以利用x2+y2-3=xy的結構聯想到三角形中的余弦定理，那么能夠采用構造法來構造△ABC，繼而借助解三角形中求解周長的取值范圍來解決問題.

在高中數學解題教學實踐中，教師需意識到構造法的特殊性與作用，引領學生深入理解構造法的含義，掌握構造的目的，使其結合不同類型的題目探討構造法的具體應用技巧，知道這是一種既常用又極具創新意義的解題思路，讓他們創造性解答題目，提高解題水平.