多視角探究一道八省聯考壓軸題

趙愛華 李昌成

(1.新疆烏魯木齊市教育研究中心 830002；2.新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

一、題目呈現

題目(2021年普通高等學校招生全國八省演練聯考，T22)已知函數f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

(2)若g(x)≥2+ax，求a.

二、總體認識

1.略.2.本題較為新穎，通過基本初等函數之指數函數與正余弦函數和帶參一次函數命制成壓軸題，考查導數的重要知識，單調性、極值、最值、切線方程等.合理應用等價轉化、分類討論、數形結合等數學思想解題非常關鍵.學生只有在基礎扎實，技能嫻熟的能力條件下，方可正確解答.本題還有一個創新點，定義域為全體實數，失去邊界效應.本類試題在以往的高考中，定義域多為(-∞,m]或[m,+∞)或(-∞,m)或(m,+∞)型.

三、解法探究

1.從極值入手

分析1 將g(x)≥2+ax變形成g(x)-2-ax≥0，此題可以看作是一個利用函數極值與最值關系求值的問題.通過等價轉化，問題可以解決.

解法1 由g(x)=ex+sinx+cosx，g(x)≥2+ax,得

ex+sinx+cosx-2-ax≥0.

令φ(x)=ex+sinx+cosx-2-ax，

原問題等價轉化為φ(x)≥0=φ(0)恒成立.

則φ′(x)=ex+cosx-sinx-a.

因為定義域為R，又φ(x)≥0=φ(0)，因此最小值φ(0)一定是極小值，所以0必須是φ(x)的極值點.

于是φ′(0)=0，解得a=2.

事實上，當a=2時，φ(x)≥0恒成立，下面證明之.

當a=2時，φ(x)=ex+sinx+cosx-2-2x，

φ′(x)=ex+cosx-sinx-2,

φ′′(x)=ex-sinx-cosx.

結合函數y=ex的性質，知

所以當a=2時，φ(x)≥0恒成立.

評析顯然此解法較為繁瑣，尤其是充分性的證明，我們非常有必要再探索新途徑，尋找新解法.

2.利用排除法

分析2φ(x)=ex+sinx+cosx-2-ax在0處導函數值φ′(0)只有三種可能性，φ′(0)>0，φ′(0)<0，φ′(0)=0，通過計算論證排除兩種，第三種必然成立.

解法2 結合解法1,知φ′(x)=ex+cosx-sinx-a.

若φ′(0)>0，即2-a>0，解得a<2，則?x0<0，使得φ′(x0)=0，于是x∈(x0,0)時，φ′(x)>0.

那么φ(x)在(x0,0)上單調遞增，所以φ(x0)<φ(0)=0，此與已知矛盾；

同理，若φ′(0)<0，即2-a<0，解得a>2，則?x1>0，使得φ′(x1)=0，于是x∈(0,x1)時，φ′(x)<0.

那么φ(x)在(0，x1)上單調遞減，所以φ(x0)>φ(0)=0，此也與已知矛盾.

所以φ′(0)=0，即2-a=0,解得a=2.

3.借助導數定義求解

分析3 按x=0，x>0，x<0分類討論問題，先求a的幾種范圍，再求交集得解.

解法3 由g(x)=ex+sinx+cosx及g(x)≥2+ax,得

ex+sinx+cosx-2≥ax.

(*)

(1)當x=0時，(*)中等號成立，a∈R.

(2)當x>0時，(*)變形為

(3)當x<0時，(*)變形為

綜上，a=2.

4.數形結合，挖掘本質

分析4g(x)≥2+ax恒成立，其本質是左邊的曲線始終不在右邊的直線之下，而a恰好是右邊直線的斜率，因此我們需要尋找臨界位置——切線.

解法4 因為g(0)=e0+sin0+cos0=2，所以曲線y=g(x)和直線y=2+ax都經過定點(0,2).結合函數圖象，只有當直線y=2+ax在(0,2)處與y=φ(x)相切才滿足題意.否則，若直線與曲線相交，則不滿足題意.

由導數的幾何意義，得g′(0)=a.

由g(x)=ex+sinx+cosx，得g′(x)=ex+cosx-sinx.

所以a=e0+cos0-sin0=2.

評析本解法實質是借用了y=φ(x)在0附近的凹凸性，記g(x)=ex+sinx+cosx的最大負零點為t，當x∈(t,+∞)時，y=φ(x)是凹函數，y=2+ax與g(x)=ex+sinx+cosx才滿足題意.這對中學生而言有一定的難度.

四、題型溯源

題1(2017年全國高考數學Ⅱ卷理科第21題第(1)問)已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0，求a.

注由于x>0，f(x)≥0，即ax2-ax-xlnx≥0，進而a(x-1)≥xlnx.這就是本題的同類題型了，y=xlnx的單調性較為清晰.同時，本題的端點值0具有提示作用，降低了難度.

題2(2017年全國高考數學Ⅱ卷文科第21題第(2)問) 設函數f(x)=(1-x2)ex.當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

注因為f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函數，故條件“x≥0時，f(x)≤ax+1”等價于“射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于曲線f(x)=(1-x2)ex在點x=0處的切線位置或其上方”.關鍵在于臨界位置——切線，這是本質所在.

數形結合是突破這類題的關鍵，尤其是曲線與直線相切的恰當使用.試題兼顧了基礎性、綜合性、創新性和綜合性.題目從“知識立意、能力立意”向“價值引領、素養導向”轉換，體現了高考的引導作用、選拔功能.刷題決不能突破這個層次的題目，我們的教學務必在能力和素養上下功夫.