一道高考題錯誤解法的反思

馮世偉

(河南省新鄉市第二中學 453000)

在講排列組合復習課時，學生A拿著資料問我下面的一道題：

題目某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)，要在如圖1所示的6個點A，B，C，A1，B1，C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有____種(用數字作答).

此題是高考理科填空題第16題 (重慶卷)，這是一道“染色”問題與立體幾何結合的綜合試題，當時就給學生如下分析：由條件知點A處有4種選擇，點B處有3種選擇，點C處有2種選擇，從而點A1處有3種選擇，點B1處與點A處的燈泡可以同色，也可以異色，故點B1處也有3種選擇，點C1處只有1種選擇，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216(種)方法.看數據與答案相符，當時還有點沾沾自喜的“成就感”.在第二天上課時我就將此題在班里講了一下.

學生B說：“老師，您的解題思路有問題”.

我當時持有懷疑的心理，為了鼓勵學生B，我還是說：“請你說說錯誤之處”.

學生B說：“在A，B，C指定了的染色方法后，A1，B1的“任意性”，可導致最終只使用了三種顏色的情況出現”.

對呀!題目要求每種顏色的燈泡都至少用一個，我向同學們說：我知道，我錯了！究竟錯在何處呢，為什么我的思路所得數據又和答案“如此完美的相符”呢？同學們發現了老師的錯誤，真是激情高漲，為了能盡快地糾正老師的錯誤，當時在班內就熱火朝天地討論開了.

題意分析這是一道“染色”問題與立體幾何結合的綜合試題，解題時抓住題意，“同一條線段兩端的燈泡不同色”，同時要注意“每種顏色都要使用”的限制.

錯解由條件知點A處有4種選擇，點B處有3種選擇，點C處有2種選擇，從而點A1有3種選擇，B1處與點A處的燈泡可以同色，也可以異色，故點B1處也有3種選擇，點C1處只有1種選擇，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216(種)方法.

錯解分析錯誤1：在指定了A，B，C的染色方法后，A1，B1的“任意性”可導致最終只使用了三種顏色的情況出現.

錯誤2：染A1固然有3種方法，但只有A1與B同色時，B1才有3種方法，否則就只有2種.

錯誤3：對于A1，B1的不同染色,C1的染法不總是唯一確定的，如，A1與B1中有一個是第四種顏色，另一個與C同色時，C1有兩種染法(與A或B同色).

幾處錯誤“交織”在一起，既有“增根”(不是重復，而是不符合題意)，又有“丟根”，而且何處“增”多少，何處“丟”多少，已難于用簡短的語言交代清楚.“難能可貴的”是，其得數與正確答案相同！這正是該錯誤的隱蔽之處.錯解之錯是思路之錯，不可容忍，答案的“一致”僅僅是題設的數據造成的巧合，在數據改變之后，以這樣的錯誤思路解題勢必鑄成大錯，這也是危害所在，解這類問題，直接“分步”的過程中，不分類討論幾乎是不可能的.

下面看一道數學聯賽題(1995年高中數學聯賽)將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色.如果只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數是多少？

方法1 以顏色為主分類討論

方法2以區域為主分步計數(可以以相鄰顏色最多的區域開始)

第一步先涂A，有5種，第二步再涂D(與A不同色)有4種，第三步涂E(與A，B不同色)有3種，此時只剩2種顏色染B，C，對角點可同色，C，A同色時，B與A(C)，E不同色有3種；C，A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種選擇的顏色，從而C，D染色有1×3+2×2，由乘法原理共有60×7=420種.

推廣1 用5種顏色將n棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色.如果只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數是an=15[3n-1+(-1)n-2]；

推廣2用m(m≥4)種顏色將n(n≥3)棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色.如果只有m種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數是an=m(m-2)[(m-2)n-1+(-1)n].

解題反思錯解給了我們反思的機會，讓我們更加深刻地認識到排列組合的本質內涵，分類計數原理(加法計數原理)和分步計數原理(乘法計數原理)是解決排列組合問題的最根本的方法.