合理運(yùn)用運(yùn)算法則提升數(shù)學(xué)思維能力

陳巧鈴

(福建省福安市第二中學(xué) 355001)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)最基本、最主要的研究對(duì)象，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法.在處理大數(shù)據(jù)和理論研究中，數(shù)學(xué)運(yùn)算都發(fā)揮重要的作用.而數(shù)學(xué)運(yùn)算法則是為了達(dá)到一個(gè)問(wèn)題的解決需明確定義的規(guī)則或過(guò)程.數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)要求學(xué)生能夠在問(wèn)題情境中，在合理運(yùn)用運(yùn)算法則基礎(chǔ)上，尋求問(wèn)題的解決方案，探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而促使學(xué)生思維能力的提高與發(fā)展.本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)合理運(yùn)用運(yùn)算法則提升數(shù)學(xué)思維能力作一探討.

一、合理運(yùn)用運(yùn)算法則，提升合情推理能力

數(shù)學(xué)證明是借助已確實(shí)其真實(shí)性的數(shù)學(xué)命題(公理、定理、公式等)來(lái)確定另一個(gè)命題的真實(shí)性的思維形式.借助客觀存在的數(shù)學(xué)運(yùn)算法則，也可以幫助我們探索定理的證明.如二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過(guò)程，可以利用多項(xiàng)式乘法法則得到(a+b)n的展開(kāi)式：

當(dāng)n=2時(shí)，(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2；

當(dāng)n=3時(shí)，(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a×a+a×b+b×a+b×b)(a+b)=a×a×a+a×b×a+b×a×a+b×b×a+a×a×b+a×b×b+b×a×b+b×b×b=a3+a2b+ba2+b2a+a2b+ab2+b2a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.

根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則，每個(gè)(a+b)在相乘時(shí)有兩種選擇，選a或b，而且每個(gè)(a+b)中的a或b都選定后，才能得到展開(kāi)式中的每一項(xiàng)，根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理，在合并同類項(xiàng)之前，展開(kāi)式有2×2×2=23項(xiàng)，而且每一項(xiàng)都是a3-k×bk(k=0,1,2,3)的形式.

根據(jù)多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則，探索二項(xiàng)式定理的構(gòu)造性證明，體會(huì)運(yùn)算法則的作用，感知運(yùn)算是一種嚴(yán)格的推理過(guò)程，通過(guò)合情推理完成定理的結(jié)構(gòu)性證明，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.繼續(xù)推波助瀾，促進(jìn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的深刻領(lǐng)會(huì)，可安排練習(xí)求(x2+x-1)5的展開(kāi)式中含x4的系數(shù).

解法2(x2+x-1)5=(x2+x-1)(x2+x-1)(x2+x-1)(x2+x-1)(x2+x-1).根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，展開(kāi)式中含x4中分成有以下四種情況：

所以(x2+x-1)5展開(kāi)式中含x4的系數(shù)為-15.

這是對(duì)多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則有了更深層的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用.在明確運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)不同運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，充分優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，提升運(yùn)算核心素養(yǎng).

二、合理運(yùn)用運(yùn)算法則，提升程序化思維能力

我們知道,數(shù)學(xué)運(yùn)算是建立在一定的問(wèn)題情境中，首要任務(wù)是結(jié)合問(wèn)題情境抽象出運(yùn)算對(duì)象，再對(duì)運(yùn)算對(duì)象進(jìn)行深入分析，在靈活使用運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，選擇合適的運(yùn)算思路，設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.比如:由于“新冠肺炎”疫情的影響，某醫(yī)院要從8名傳染科醫(yī)生中選派4名同時(shí)去4個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)支援(每個(gè)地方一個(gè)醫(yī)生)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或者都不去，則不同選派方案有多少種？

在深刻理解法則的基礎(chǔ)上，按照一定的程序執(zhí)行，通過(guò)方法對(duì)比，逐漸形成某一類問(wèn)題的程序化思路，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

三、合理運(yùn)用運(yùn)算法則，提升創(chuàng)造思維能力

創(chuàng)造性思維是具有開(kāi)創(chuàng)意義的思維活動(dòng)，其本質(zhì)是發(fā)散性思維，它一般表現(xiàn)在思路的選擇上或者在思考的技巧上；在思維的結(jié)論上有新的見(jiàn)解、新的發(fā)現(xiàn)、新的突破，具有開(kāi)拓性，這種思維能力是推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要能力.思維活動(dòng)的開(kāi)展需要建立在某個(gè)載體上進(jìn)行，運(yùn)算法則對(duì)于學(xué)生而言是最好的選擇，學(xué)生通過(guò)原有的知識(shí)儲(chǔ)備同化到已知的法則中，就有新的發(fā)現(xiàn).比如：由向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算法則衍生出來(lái)的平行向量基本定理：“如果向量a與向量b滿足b=λa(λ為實(shí)數(shù))，那么向量a，b一定是平行向量；如果非零向量a與向量b平行，則一定存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λa”，這個(gè)法則是判斷兩個(gè)向量共線或證明三點(diǎn)共線的依據(jù).學(xué)習(xí)定理后可以讓學(xué)生探究以下結(jié)論：

為增進(jìn)學(xué)習(xí)效果與結(jié)論應(yīng)用，可安排如下問(wèn)題強(qiáng)化訓(xùn)練：

①

②

正是由于運(yùn)算法則的合理性、科學(xué)性，將定理的條件變形、轉(zhuǎn)化、推演得到新的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展.

運(yùn)算法則是運(yùn)算的依據(jù)，運(yùn)算法則是推理的基礎(chǔ)，是運(yùn)算結(jié)果具有唯一性的保障.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，注重運(yùn)算法則的理解、掌握與應(yīng)用，有利于學(xué)生思維能力的提高，有利于學(xué)生養(yǎng)成積極思考問(wèn)題的習(xí)慣，有利于發(fā)現(xiàn)客觀事物的基本規(guī)律，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與核心素養(yǎng)的提高與發(fā)展.