解題中的“比”

【摘? ?要】解題是數(shù)學(xué)教與學(xué)的重要內(nèi)容和活動(dòng)。解題教學(xué)中經(jīng)常采用的思路是從未知找已知、從已知算未知，這樣的思路將“算”視為解題的核心活動(dòng)。事實(shí)上，解題過(guò)程是復(fù)雜的思維過(guò)程，如果將“關(guān)系”的眼光融入解題教學(xué)，可以生成更多并且更加簡(jiǎn)捷的解題方法。同時(shí)，可以讓學(xué)生經(jīng)歷看、想和做的過(guò)程。

【關(guān)鍵詞】關(guān)系;解題;比;比例;正比例;反比例

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的“比（Ratio）”至少有兩種意義，一種是“計(jì)算”的理解，把比視為除的運(yùn)算;另一種是“關(guān)系”的理解，把比視為數(shù)或量之間的關(guān)系。[1]解題過(guò)程中，兩種理解會(huì)導(dǎo)致不同的解題思路和方法。

一、“解題”的理解

“解題”是數(shù)學(xué)教學(xué)中最為普遍的教學(xué)和學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中最為常見(jiàn)的活動(dòng)。解題活動(dòng)體現(xiàn)于課堂教學(xué)、家庭作業(yè)以及各種考試中，解題的成敗往往成為評(píng)判數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的依據(jù)。

解題教學(xué)中一般會(huì)將問(wèn)題中的元素分為“已知（Given）”和“未知（Unknown）”，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析與理解，普遍采用的模式是“從未知找已知”，這樣的過(guò)程也稱為“分析法”。比如一個(gè)行程問(wèn)題所要求的未知量是速度，由于“速度等于路程除以時(shí)間”，因此就需要在已知條件中尋找路程和時(shí)間，如圖1所示。

該方法遵循的邏輯是“如果已知路程和時(shí)間，那么就可以求出速度”。解題則是反過(guò)來(lái)計(jì)算的過(guò)程，也就是“從已知算未知”的過(guò)程。如果在問(wèn)題表述中尋找到對(duì)應(yīng)的已知，則將已知數(shù)據(jù)代入相應(yīng)公式進(jìn)行計(jì)算得到未知。行程問(wèn)題中，如果未知是速度，已知條件中已經(jīng)明確給出相應(yīng)的路程和時(shí)間，這時(shí)就可以套用公式“路程[÷]時(shí)間”計(jì)算出答案（見(jiàn)圖2）。

這種對(duì)解題的理解，是將“公式”視為解題的工具，將“計(jì)算”視為解題的方法，將計(jì)算結(jié)果的“正確”視為解題質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)。用這種“計(jì)算的眼光”解題，一旦“從未知找已知”失敗，那么“從已知算未知”就會(huì)出現(xiàn)困難，甚至無(wú)法實(shí)施。下面運(yùn)用一個(gè)實(shí)例加以說(shuō)明。

二、計(jì)算的眼光

馬克斯·韋特海默（Max Wertheimer，1880 —1943）是德國(guó)著名心理學(xué)家，格式塔心理學(xué)的創(chuàng)始人之一，生前與著名物理學(xué)家愛(ài)因斯坦為好友。他在與愛(ài)因斯坦的通信中，曾經(jīng)提出過(guò)一個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題：一輛老舊汽車(chē)，行駛2英里路程，前半程1英里是上坡，后半程1英里是下坡。如果前半程1英里上坡速度不超過(guò)每小時(shí)15英里，那么后半程1英里下坡行駛多快，才能使得全程平均速度達(dá)到每小時(shí)30英里？[2]

愛(ài)因斯坦在回信中沒(méi)有給出問(wèn)題的解決過(guò)程，只是給出結(jié)論，并且稱這個(gè)問(wèn)題確實(shí)迷惑了自己，戲稱“我們是多么愚蠢”。為了行文方便，下面的討論把問(wèn)題敘述為問(wèn)題1的形式。

問(wèn)題1：某人駕車(chē)從甲地到乙地辦事，計(jì)劃用平均每小時(shí)60千米的速度，可以按時(shí)到達(dá)。行駛到全程距離的一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)前半程平均速度只有每小時(shí)30千米。為了按照原計(jì)劃時(shí)間到達(dá)乙地辦事，后半程需要加速行駛。那么后半程速度增加到每小時(shí)多少千米，才能按照原計(jì)劃時(shí)間到達(dá)？

如果把速度理解為路程與時(shí)間相除的運(yùn)算結(jié)果（商），那么用計(jì)算的眼光看，求速度就需要先知道后半程的行駛路程和所用時(shí)間。而這兩個(gè)量在問(wèn)題表述中都沒(méi)有出現(xiàn)，因此出現(xiàn)了條件不足的情況，也就是“從未知找已知”出現(xiàn)困難。此時(shí)可以采用的策略是通過(guò)“設(shè)數(shù)”補(bǔ)足條件，比如假設(shè)全程距離為“240千米”，這樣就把問(wèn)題1改變?yōu)閱?wèn)題2。

問(wèn)題2：某人駕車(chē)從甲地到乙地辦事，全程距離為240千米。計(jì)劃用平均每小時(shí)60千米的速度，可以按時(shí)到達(dá)。行駛到全程距離的一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)前半程平均速度只有每小時(shí)30千米。為了按照原計(jì)劃時(shí)間到達(dá)乙地辦事，后半程需要加速行駛。那么后半程速度增加到每小時(shí)多少千米，才能按照原計(jì)劃時(shí)間到達(dá)？

這樣就可以直接套用公式“路程[÷]時(shí)間”，從已知算未知。

第一步：從甲地到乙地原計(jì)劃所用時(shí)間

240[÷]60=4（小時(shí)）

第二步：行駛到半程實(shí)際所用時(shí)間

（240[÷]2）[÷]30=4（小時(shí)）

第三步：后半程實(shí)際剩余時(shí)間

4-4=0（小時(shí)）

由于原計(jì)劃中的全程時(shí)間在前半程已經(jīng)用盡，因此后半程無(wú)論怎樣加速，都無(wú)法按時(shí)趕到目的地。這個(gè)解題過(guò)程是將著眼點(diǎn)放在計(jì)算上，其特點(diǎn)是參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)必須齊全，有了足夠的數(shù)據(jù)，按照一定的程序逐步操作并完成。

類似于此，如果有了分?jǐn)?shù)計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，還可以將全程距離設(shè)為“1”，那么到達(dá)半程行駛距離就是[12]。因此行駛?cè)逃?jì)劃所用時(shí)間為：[1÷60=160]，行駛到半程實(shí)際所用時(shí)間為：[12][÷]30=[160]。由于行駛到半程所用時(shí)間與計(jì)劃行駛?cè)虝r(shí)間相同，因此后半程無(wú)論如何提速也無(wú)法按時(shí)到達(dá)。

以上做法遵循的思維方式是利用公式進(jìn)行運(yùn)算，是一種程序化的操作過(guò)程。行程問(wèn)題中三個(gè)基本量分別為路程、時(shí)間和速度，其關(guān)系表現(xiàn)為如下的公式：

這些公式均顯示出行程問(wèn)題三量之間的關(guān)系，這樣的關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)“知二求一”的需要，即：

“知二求一”是一種“如果—那么”的因果推理，也就是“如果知二，那么求一”，其中“知二”是條件，“求一”是結(jié)果，具體可以表述為：

值得注意的是，“知二”是導(dǎo)致“求一”可能發(fā)生的條件，也叫作充分條件，但未必是必不可少的必要條件，“如果已知路程和時(shí)間，那么可以求出速度”，并不意味著“如果不知路程和時(shí)間，那么不能求出速度”?！爸笠弧敝械摹爸笔恰扒笠弧钡臈l件，但未必是唯一必要的條件。

導(dǎo)致某事發(fā)生的條件，其“充分性（Sufficient）”指的是“有之則必然，無(wú)之仍可然”，“必要性（Necessary）”指的是“有之未必然，無(wú)之必不然”?！爸本哂小扒笠弧钡某浞中裕痪哂斜匾浴Ｒ虼饲笏俣?，除了已知路程和時(shí)間，還可能存在其他方法。

三、關(guān)系的眼光

對(duì)于行程問(wèn)題中的路程、時(shí)間和速度，僅視為是知二求一的運(yùn)算關(guān)系是不夠的，三者實(shí)質(zhì)是依賴與制約的協(xié)變關(guān)系（Covariation）。當(dāng)其中一個(gè)量確定不變時(shí)，另外兩個(gè)量之間分別表現(xiàn)為正比例或反比例關(guān)系。所謂正比例關(guān)系，指的是兩個(gè)變量存在“此升彼漲”或“此降彼落”的關(guān)系，一個(gè)量增加或減少，另外一個(gè)量也隨之增加或減少，而且增加或減少的倍數(shù)相同;所謂反比例關(guān)系，則是指兩個(gè)變量存在“此起彼落”或“此落彼起”的關(guān)系，一個(gè)量增加或減少，另一個(gè)量隨之減少或增加，增加或減少的倍數(shù)相同。

用關(guān)系的眼光看，前面的問(wèn)題1不需要“從未知找已知”的分析過(guò)程，也不需要“從已知算未知”的計(jì)算過(guò)程，而是要著眼于事件的變化過(guò)程，從整體把握量的變化與協(xié)變規(guī)律。

前半程的計(jì)劃速度是每小時(shí)60千米，實(shí)際速度是每小時(shí)30千米。這句話描述的是前半程速度從計(jì)劃到實(shí)際的變化，從計(jì)劃速度改變?yōu)閷?shí)際速度，兩個(gè)速度的關(guān)系可以用同類量之間的比，描述為實(shí)際速度與計(jì)劃速度的比“30∶60”。

這個(gè)比意味著前半程速度降低為計(jì)劃速度的一半（[12]），對(duì)于前半程這個(gè)確定的距離來(lái)說(shuō)，運(yùn)用速度與時(shí)間的反比例關(guān)系，實(shí)際所用時(shí)間就要加倍，即成為計(jì)劃時(shí)間的2倍，也就是前半程實(shí)際所用時(shí)間已經(jīng)是計(jì)劃所用時(shí)間的2倍了，意味著行駛?cè)痰囊话胨脮r(shí)間，已經(jīng)是計(jì)劃到達(dá)目的地的時(shí)間了，因此后半程無(wú)論如何加速，也不可能按時(shí)到達(dá)了。

這樣的思維過(guò)程不同于前面計(jì)算的眼光，是從實(shí)際速度與計(jì)劃速度之間的關(guān)系（比），利用速度與時(shí)間的反比例關(guān)系，想到實(shí)際時(shí)間與計(jì)劃時(shí)間的關(guān)系（比），進(jìn)而通過(guò)這個(gè)時(shí)間的關(guān)系得到問(wèn)題的結(jié)論。像這樣從比與比的關(guān)系獲得判斷的思維過(guò)程，也叫“比例推理（Proportional Reasoning）”。

從前面的分析過(guò)程和結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)，前半程速度降低為計(jì)劃速度的一半或[12]，是無(wú)法按時(shí)到達(dá)的臨界點(diǎn)，前半程實(shí)際速度小于或等于每小時(shí)30千米，都無(wú)法按時(shí)到達(dá)。如果前半程實(shí)際速度大于每小時(shí)30千米，那么應(yīng)當(dāng)通過(guò)后半程的加速，可以實(shí)現(xiàn)按時(shí)到達(dá)。比如將前面問(wèn)題1中前半程速度“30千米/小時(shí)”改變?yōu)椤?0千米/小時(shí)”，得到問(wèn)題3。

問(wèn)題3：某人駕車(chē)從甲地到乙地辦事，計(jì)劃用平均每小時(shí)60千米的速度，可以按時(shí)到達(dá)。行駛到全程距離的一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)前半程平均速度只有每小時(shí)40千米。為了按照原計(jì)劃時(shí)間到達(dá)乙地辦事，后半程需要加速行駛。那么后半程速度增加到每小時(shí)多少千米，才能按照原計(jì)劃時(shí)間到達(dá)？

同樣運(yùn)用從比到比的關(guān)系眼光，此時(shí)前半程速度為每小時(shí)40千米，前半程實(shí)際速度與計(jì)劃速度的比為“40∶60”，也可以用分?jǐn)?shù)表示為比值[23]，那么前半程所用時(shí)間與計(jì)劃時(shí)間的比為“3∶2”，也就是前半程實(shí)際所用時(shí)間是計(jì)劃時(shí)間的[32]。全程確定不變的時(shí)間是2，那么后半程還有2-[32]=[12]的時(shí)間，因此后半程可用時(shí)間減少為計(jì)劃的一半。為了按時(shí)到達(dá)，速度就需要提高為計(jì)劃速度的2倍，也就是將計(jì)劃速度的每小時(shí)60千米加倍，變?yōu)槊啃r(shí)120千米。

這樣的解題過(guò)程并沒(méi)有使用路程、時(shí)間和速度三量之間“知二求一”的運(yùn)算，其中的“[4060=23]”是前半程實(shí)際速度與計(jì)劃速度之間的關(guān)系;“[2-32=12]”是把全程時(shí)間視為2，進(jìn)而求出后半程剩余時(shí)間為計(jì)劃時(shí)間的一半;“[60×2=120]”是對(duì)后半程計(jì)劃速度加倍。

整個(gè)解題的思維過(guò)程依據(jù)的是在全程和半程距離確定不變的前提下，運(yùn)用“速度與時(shí)間成反比例”的關(guān)系，從前半程實(shí)際速度與計(jì)劃速度之間的比，推理出前半程時(shí)間與計(jì)劃時(shí)間之間的比;進(jìn)而得到后半程計(jì)劃時(shí)間與實(shí)際時(shí)間的比，最后推理出后半程實(shí)際速度與計(jì)劃速度的比。

因此可以說(shuō)，整個(gè)解題的思維是從關(guān)系到關(guān)系的推理過(guò)程，而不是“知二求一”的計(jì)算過(guò)程。事實(shí)上，解題過(guò)程蘊(yùn)含著復(fù)雜的思維活動(dòng)。這樣的思維活動(dòng)不可能用“從未知找已知”和“從已知算未知”概括。從教學(xué)的角度看，對(duì)關(guān)系的認(rèn)知重在比較的思維活動(dòng)，偏向于質(zhì)性的推理，而運(yùn)算側(cè)重于程序化的操作，更強(qiáng)調(diào)規(guī)則的執(zhí)行。

數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目的是數(shù)學(xué)教育，教育的目的是人的發(fā)展。綜上可以看出，作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的“比”，不同于像“分?jǐn)?shù)”或“三角形”這樣的概念，代表某類對(duì)象的名稱?！氨取钡膶?shí)質(zhì)是人對(duì)數(shù)或量及其關(guān)系的看法、想法和做法，因此數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生親身經(jīng)歷這種看、想和做的過(guò)程。

參考文獻(xiàn)：

[1]郜舒竹. 釋“比”[J]. 教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（6）：1-5.

[2]LUCHINS A S， LUCHINS E H. The einstein-wertheimer correspondence on geometric proofs and mathematical puzzles[J]. Mathematical Intelligencer， 1990，12（2）：40-41.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）