逆向思維在初中數學解題中的應用探討

王會兵

摘 要：數學是初中教育體系的重要組成部分，是培養學生思維能力的重要學科。初中是學生中小學時代數學學習承上啟下的階段，也是學生思維能力發展的關鍵階段。在這一階段的數學教學中，教師不僅要教給學生理論知識，學習方法，更要注重學生思維能力培養，這是數學新課標基本要求，也是數學核心素養對廣大數學教師提出的根本任務。文章結合自身教學經驗，以初中數學教學為例，分析逆向思維及其在初中數學教學中的價值，研究初中數學解題策略，探討逆向思維在初中數學解題中的具體應用，借此培養學生逆向思維，促進學生數學思維發展，提高學生數學學習效率。

關鍵詞：初中數學;逆向思維;解題;教學

一、 引言

逆向思維是一種反向思維，是數學思維中一個非常重要的原則，是創造性思維的基本組成部分，培養學生創造性思維就需要學生先具備良好的逆向思想。真所謂“此路不通彼路通，條條大道通羅馬”。數學學習過程中有時候往往需要“反其道而思之”，尤其是在解決數學問題過程中，按照常規思維思考，常常走進思維“死胡同”，久而不能得其法，此時若能夠換一個角度思考，從問題的逆向出發，也許很多看似復雜的問題也就迎刃而解了。因此，在初中數學教學中，教師非常關注學生逆向思維發展，也常常引導學生應用逆向思維解題，以促進學生思維能力發展。

二、 逆向思維在初中數學教學中的作用分析

（一）逆向思維有利于促進學生思維發展

新時代數學教學不再是以知識傳授為主的活動，而是既注重知識教學，也重視學生技能和思維能力發展的多功能教學活動。尤其是數學這門課程，關乎學生邏輯思維、創新思維、發散思維等多種思維發展。在初中數學教學中多引導學生應用逆向思維，能夠激活學生邏輯思維能力，讓學生思維更加靈活和開放，避免學生形成思維定式。所以，單從學生思維發展需要的角度而言，逆向思維是學生綜合性思維形成的基礎部分。在初中數學教學中培養學生逆向思維或者引導學生應用逆向思維，都是有利于促進學生思維發展的。

（二）有利于提高學生解題效率

數學思維也可以說是數學方法，其是為學習數學知識、解決數學問題以及生活實際問題而服務的。不斷強調逆向思維，習慣性引導學生從正向、逆向兩個維度思考同一問題，分析同一現象，解讀同一事物本質，能夠提高學生思維深度，讓學生更全面地剖析問題，從而快速找到問題的突破口。不難發現，初中數學較小學數學難度大幅度提升，教材中也涉及了許多復雜的例題，如果僅按照常規解題思路思考，既浪費時間，還影響解題效率。相反，應用逆向思維則能避免這些問題，學生能夠快速找到問題突破口，找到解題方法和技巧，從而提高解題效率。

三、 逆向思維及其在初中數學解題中的具體應用

誠然，逆向思維在初中數學教學中有著非常重要的現實意義，無論對學生的思維發展還是解題效率，都有積極作用。那么，到底如何才算得上逆向思維呢？在初中數學解題中我們又會具體應用到哪些逆向思維呢？筆者結合自身教學經驗，總結了以下幾方面內容。

（一）逆向思維一：順推不行則逆推

逆向推導是逆向思維的直接體現，也是教師在初中數學教學和解題中非常常用的一種技巧。如果教師將一般探究問題的方法和思路稱為順向推理，那么與常規解題思路相反的思路就是逆向推理方法。在初中數學教學中，其實逆向推理和順向推理是沒有絕對而言的，也是沒有絕對界限的，需要結合具體情境具體分析。初中數學中涉及的逆向推理主要包含了數學公式、數學定義、數學法則、數學定理等內容的逆向應用。

1. 數學公式的逆向推理

乘法公式的逆向應用是因式分解，如（x+y）2=x2+2xy+y2;以x，y的基本對稱式，表示x，y的平方和、立方和（差）：x2+y2=（x+y）2-2xy，x3+y3=（x+y）3-3xy（x+y）。“互為相反數相加得零”這一法則的逆向應用：0=a+（-a）。在因式分解中折項、添項以及配方都常用這一逆向推導方法。當然，數學公式的逆向應用中我們必須要注意公式成立的前提，有些數學公式一逆推了，前提條件可能就失效了，這一點需要教師在引導學生應用逆向思維是注意。

2. 數學定義的逆向推理

數學定義可以反面敘述，既可以做定義，也可以做性質，這本身就是逆向思維的體現。例如方程解的定義：若m是方程ax2+bx+c=0的解，則am2+bm+c=0;將定義反過來也可以表示為：如果an2+bn+c=0，則n是方程ax2+bx+c=0的解，這就是定義和性質互反的推理體現。

3. 數學定理中的逆向推理

數學定理與數學公式不同，數學公式可以直接應用，但數學定理還需要先判斷。比如一個定理的題設和結論不止一項是交換題設和結論，即形成一個逆命題，但逆命題有很多個，有真的，有假的。通常情況下，一個命題的題設和結論都是唯一對象的定理，它有逆定理、分段式的定理，也有逆定理。

應用逆向推理方法解決數學問題時，通常就涉及上述反推法。通常情況下，筆者不主張學生拿到一道題即采用逆向推理法，而是在順向推理有困難的時候才用逆向推理，兩種思路靈活運用，才能提高解題效率。

例題1：|a|<|b|<1，求證：|a+b|<|1+ab|。

顯然，正向思考，此題直接證明是有困難的，無論從左到右來證明，還是從右到左證明，難度都比較大。此時就可以啟發學生應用逆向思維思考，采用逆推法，從結論倒推出應該有的不等式。由|a+b|<|1+ab|兩邊同時平方，然后分解因式，推導出不等式。

例題2：計算：3×5×17×257×……×（22n+1）。

本題直接計算有困難，可由通式22n+1，確定n的自然數值還原數3，5，17，257，…再逆用平方差公式a+b=a2-b2a-b，快速計算出答案。