經歷建模過程 感悟數學思想
——以人教版數學教材五年級上冊“植樹問題”教學為例

張素賢

（葫蘆島市教師進修學院附屬小學）

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識?！痹诮虒W中，只有讓學生經歷數學模型建構的過程，才能使他們進一步理解所建立的數學模型的本質，從而感悟數學思想。下面以人教版小學數學教材五年級上冊“植樹問題”教學為例，探討如何讓學生經歷建模過程，感悟數學思想。

一、創設情境，感知模型

杜威認為：“教學的藝術就在于能夠創設恰當的情境。”在數學教學中，大多數知識點都與一定的社會背景即“情境”相聯系，通過創設有效的教學情境，可以激發學生學習的動機，充分發揮動手、動腦能力，使他們去探究、思考、發現和解決問題，從而享受學習的樂趣，獲得成功的喜悅，真正成為學習的主人。

如在教學本課時，我先用課件出示“康師傅3+2餅干”的生活情境圖。

師：同學們吃過“康師傅3+2 餅干”嗎？猜猜看，為什么稱它為“3+2”呢？

生：因為它有3層餅干，兩層夾心。

師：像這種餅干與餅干之間的夾心，在數學上我們稱之為“間隔”。這種餅干有兩層夾心，我們就說它有2個間隔，間隔數為2。

師：生活中“間隔”隨處可見，請同學們伸出右手，五指張開，你看到了什么？

生：5個手指有4個空隙。

生：5個手指有4個空隙，就是4個間隔。

師：請靠窗戶這一列的第一位和第二位同學起立，這兩位同學之間產生了幾個間隔？

生：1個間隔。

師：請第三位同學也起立，這三位同學之間產生了幾個間隔？

生：三位同學之間產生了2個間隔。

師：請第四位同學也起立，這四位同學之間產生了幾個間隔呢？

生：四位同學之間產生了3個間隔。

師：這一列共有幾位同學？產生幾個間隔？

生：6位同學產生5個間隔。

師：如果我們班50 位同學都像這樣站成一列，能產生多少個間隔？

生：50位同學產生49個間隔。

師：如果我們五年級全體同學站成了這樣的一列，出現了300 個間隔，你們猜我們五年級一共有多少位同學？

生：301位同學。

師：看來間隔數和人數有點關系。今天我們就來研究和間隔數有關的數學問題——植樹問題。

在新課導入環節，以學生熟悉的“3+2”餅干作為引入來認識間隔，理解間隔的意義，并將生活中一些看似不相關的事物放在一起，意在讓學生體會：不同的事物或現象之間存在著相同的數學本質、數學模型。這樣引入親切自然，既讓學生感受到了生活中處處有數學，又為接下來的學習分散了難點。

二、探究規律，建立模型

探索發現規律是培養學生模型思想的重要途徑之一，發現一個規律就是發現一個模式，要引導學生能夠用多種方法表達“模式”的特點。課程標準中明確提出，在數學教學中應當引導學生感悟建模過程，發展模型思想。小學數學建模教學具有鮮明的階段性和初始性特征，即要從學生熟悉的生活和已有的經驗出發，引導他們經歷將實際問題逐步抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程，進而使他們對數學學科和數學學習的理解更深刻。

“植樹問題”中最重要的數學思想就是模型思想，而如何讓學生理解從實際問題中抽象出數學模型的過程是本節課的難點。課堂上，要從實際問題入手，引導學生經歷觀察、猜測、驗證、推理與交流活動，使他們在解決問題的分析、思考過程中逐步發現隱含于不同情形中的規律，經歷抽象出數學模型的過程，體驗數學思想方法在解決問題中的應用。

（一）出示問題，分析理解

課件出示例題：在全長100 米小路的一邊植樹，每隔5米栽一棵，兩端要栽，一共要栽多少棵樹？

師：從題目中你知道了什么？

生：這條路全長100米。

生：只在路的一邊植樹。

師：路的“一邊”是什么意思？如果將這把尺子看作一條路，一邊指的是什么？（學生拿著直尺，一邊演示一邊描述）

師：尺子的兩端指的是哪里？“兩端要栽”是什么意思？誰能解釋一下？

生：“兩端要栽”是指路的首尾都要栽樹。

師：“每隔5米栽一棵”是什么意思？

生：說明樹與樹之間的間隔長度相等，都是5米。

這樣，學生從觀察題意入手，通過分析，基本上理解了題意。

（二）大膽猜測，引發沖突

引導學生分析理解題意之后，還應發揮學生的主體作用，以問題引導他們大膽猜想，引發思維沖突。

師：猜一猜，一共要栽多少棵樹？試著算一算。

生：100÷5=20（棵）。

生：我覺得需要21 棵樹，列算式是100÷5+1=21（棵）。

生：我覺得需要19棵樹，列算式是100÷5-1=19（棵）。

師：這三種不同的答案中卻有一個相同的地方，那就是都有一個除法算式100÷5。想一想，100÷5表示的是什么呢？

生：100÷5 表示把 100 米長的小路，平均每 5 米分成一段，可以分成20段。

生：我猜想植樹的棵數與段數存在一定的關系。

生：我猜想植樹的棵數應該和間隔數有關系。

師：同學們真是善于思考、敢于猜想，你們打算怎樣檢驗自己的猜想？有什么好的方法能讓人非常直觀地看出你的猜想是正確的呢？

生：可以畫圖。

師：對，畫圖是解決問題的一種好方法。我們就用畫圖的方法進行驗證。

師：怎么畫？畫100米嗎？

生：這樣畫太麻煩了。

師：那有什么好辦法？

另一方面，在執行過程中要堅持以人為本，講究實事求是。管理者要對制度內容和要求了然于胸，對于組織成員要一視同仁，獎罰分明。其他組織成員要對管理制度清晰認識，遵守制度。對于違反管理制度的成員要懲處，樹立制度的權威，促使組織成員從上到下自覺維護，保證制度對管理工作的高效作用。

生：我們可以先畫一小段看看。

生：畫短點，找出規律。

師：好主意。遇到較復雜的數據，不便于研究的時候，我們可以換成較小的數據進行研究，也就是把復雜問題簡單化，這種方法在數學上叫做“化繁為簡”。我們先選取100米中的20米來研究，行嗎？

以生為本的課堂，需要讓學生經歷數學知識的發生、發展和形成過程，要以他們的學習起點為基礎展開教學。小學五年級學生的思維仍以形象思維為主，但抽象思維能力也有了初步的發展，具備了一定的分析綜合、抽象概括能力。當問題出現后，根據題中給的已知條件，他們會想到以前學過的除法，列出除法算式100÷5，然后再猜想植樹的棵數。這時，再引導學生思考：怎樣檢驗這個結果是否正確？能使他們經歷整個分析、思考的全過程。在一這個過程中初步感受到：遇到問題時，可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來驗證，從簡單的事例中發現規律，然后應用找到的規律來解決原來的問題。在這個過程中，學生感悟到了“化歸”的數學思想，理解了化歸思想是攻克復雜數學問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。

（三）借助操作，探究規律

課件出示例題：20 米長的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵,兩端要栽，一共要栽多少棵樹？

師：如果兩端要栽，請在線段圖上畫出要種的樹。想一想樹要種在線段圖上哪個位置？要種幾棵？（學生獨立思考，動手操作）

生：第一棵樹種在起點，量出5 米種第二棵，再量5 米種第三棵，再量5 米種第四棵，最后再量5 米也就是末尾處種第5棵，一共要栽5棵。

師：20米長的小路，每隔5米種一棵樹，同把這條線段平均分成了幾段？有幾個間隔？怎么列算式？

生：這條線段平均分成了4段，有4個間隔，列算式是20÷5=4。

師：20 米是路的總長，每隔5 米分成一段，就說明間隔長度是5 米?？梢苑殖? 段，就是有4 個間隔，也叫做間隔數是4，那么間隔數等于什么呢？

生：路的長度÷間隔長度=間隔數。

師：明明是有4個間隔？怎么就種5棵樹了呢？

生：兩端都要種樹,一棵樹對應一個間隔，一棵樹對應一個間隔，這樣依次對應下去，最后一棵樹沒有對應的間隔了，所以棵數比間隔數多1。

師：那怎么列算式呢？

生：20÷5+1=5（棵）。

師：也就是說，兩端都種的情況下，棵數等于間隔數加1。（板書，棵數=間隔數+1）

小學生以具體形象思維為主，他們對數學的理解是從動手操作開始的。上述教學片斷中，我指導他們通過畫線段圖初步建立植樹問題的數學模型，通過觀察兩端都栽樹的線段圖，把分割點數和栽樹的棵數一一對應起來。以“明明是有4 個間隔，怎么就種5 棵樹了呢”引發學生產生認知沖突，借助線段圖將認識聚焦到“棵數”與“間隔數”之間的一一對應關系上，引導他們發現并初步總結出栽樹的棵數與間隔數之間的關系，建立起了數學模型。

（四）舉例驗證，建立模型

學生的具體數學模型建立后，還應以此為基礎，擴展思維，引領他們抽象出適用性更廣的數學模型。

師：我們只研究了 100 米中的一段20 米，得出這樣的結論。這個結論一定是對的嗎？我們可以再舉幾個例子試一試。請選擇你比較喜歡的方法，先自己獨立思考嘗試一下，再在小組內交流，看看能發現怎樣的規律，并填好研究單。

（學生匯報規律得出：路的長度÷間隔長度=間隔數，間隔數+1=棵數）

師：同學們都明白了兩端都栽的情況下樹的棵數與間隔數之間的關系。回到例題，在全長100 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？哪些同學剛才猜對了？

師：（點幾個猜錯的同學）現在你知道自己猜錯的原因是什么了嗎？

師：你能解釋100÷5=20 是什么意思嗎？為什么還要用20+1=21（棵）？

（學生舉手回答，解釋兩個算式的含義）

師：剛開始時同學們都猜想棵數與段數或間隔數存在一定的關系，其實段數就是間隔數，兩端都栽，棵數=間隔數+1。

教育活動必須以調動學生的主動性、積極性為出發點，使他們具有充分的動力，主動學習，善于學習，逐步形成自主學習能力。自主探究、合作交流是學生學習數學的重要方式，也是學習必須具備的學習能力。在上面教學片段中，學生有時自主探索、有時合作交流，在知識探索中充分體驗了數學發現的全過程，發展了數學思維，為數學建模思想的發展提供了載體。

（五）變式應用，拓展延伸

在達成教材中要求掌握的“植樹問題”基本數學模型后，我們還可以借勢變式和應用，以達到拓展延伸的效果。

【情況一】只種一端。

師：剛才我們研究了“兩端都種”的情況，發現“兩端都種”時棵數和間隔數有著一定的關系。按照剛才的種法，在20 米長的小路上種樹，假如路的盡頭是一幢房子該怎么辦？

生：只能種一端。

師：這時候，棵數與間隔數還會是這個規律嗎？它跟“兩端都種”又有什么不同？在你畫的20 厘米小路的最右端安上一個房子，看看你有什么發現？

生：少了一棵，只要種4 棵。20÷5=4（棵），要種4 棵。

師：在這種情況下，棵數與間隔數有什么關系？

學生借助線段圖，用一一對應的方法一邊演示，一邊說明理由：假如路的一端有房子，這時候間隔數是4，棵數也是4，棵數等于間隔數。

【情況二】兩端都不種。

師：你覺得種樹還有可能發生哪種情況？

生：路的兩端都有房子。

師：猜想一下，這種情況又會是什么結果？棵數與間隔數有什么關系？

學生先猜想結果，再借助線段圖，用一一對應的方法一邊演示，一邊說明理由：如果路的兩端都有房子，那兩端都不能種。這時候，間隔數還是4，但棵數是3，棵數比間隔數少1。

師：剛才我們探究植樹問題時遇到了三種不同的情況：“兩端都種”“ 只種一端”和“兩端都不種”。我們知道在不同的情況下，間隔數與棵數之間存在不一樣的關系。

師：這就是我們今天研究的不同情況的植樹問題。（板書課題，植樹問題）

上述教學片段中，通過引導學生參與觀察、猜測、驗證、推理等活動，使他們經歷了將實際問題抽象出數學模型并進行解釋與應用的過程。將“兩端都種”作為植樹問題的基本模型，歸納出棵數與間隔數之間的關系，理解植樹問題的本質，滲透幾何直觀、一一對應、化歸、數學建模等數學思想方法。最后，在“兩端都種”模型的基礎上，再引出兩個特殊情況（只種一端、兩端都不種），分別用一一對應的方法得出結果，激發了學生對數學的好奇心和求知欲，激發了他們對數學的學習興趣。

三、應用模型，解決問題

建立數學模型的目的是要應用模型解決實際問題，學生建立了數學模型并不表示問題得到解決，還要用所建立的數學模型來解答生活中的實際問題，把建立的模型拓展應用到生活中，讓學生能體會到數學模型的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處。這樣，才能使學生加深對模型的體會、促進對模型的領悟，體驗到實際應用帶來的快樂。

（一）回歸生活，尋找模型

將掌握的知識應用到生活中去，是課程標準中的一個重要理念，在習得了數學模型后，還需要回歸生活，讓學生尋找模型。

師：其實植樹問題并不只是與植樹相關，生活中有很多問題可以看作植樹問題來解決。

課件出示圖片案例：

師：同學們能舉幾個這樣的例子嗎？

生：排隊，每隔1米站一名同學。

生：擺桌子，每隔一段距離，擺放一張桌子。

生：公交車，每隔一段距離，設一個公交站臺。

生：架設電線桿。

通過聯系生活中的實例，學生尋找到了新的模型，對“植樹問題”的理解更為深刻。

（二）聯系實際，判別模型

課件出示：下面每一題相當于植樹問題中哪一種情況？

1.廣場上的鐘聲（ ）

2.音樂中的“五線譜”（ ）

3.成語“一刀兩段”（ ）

A.兩端都種 B.只種一端 C.兩端不種

通過聯系實際，學生不僅學會了應用數學模型，還學會了判別遇到的問題是否為“植樹問題”。

（三）練習應用，鞏固模型

1.在一條全長2km 的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50m 安一盞。一共要安裝多少盞路燈？

2.馬拉松比賽全程約42km。平均每3km 設置一處飲水服務點（起點不設，終點設）。全程一共有多少處這樣的服務點？

數學課堂教學中的建模過程，就是教師啟發學生從一種生活中的數學現象出發，聯想到具有相同特點的其它規律，在形成大量的表象基礎上，引導他們去掉生活的“外衣”，保留數學的本質，從而抽象出數學模型。上述教學片斷中，我通過舉例“生活中還有什么事情可以看作植樹問題”，帶領學生一起尋找類似植樹問題的實例，并借助類比聯想讓學生自主建構模型，形成植樹問題的模型結構圖，加深了對植樹問題的認識和理解。同時，使得相關問題都可以歸結到這個結構圖中，充分發揮了模型思想在解決問題中的作用，讓學生感受到了數學在日常生活中的廣泛應用，體會到了數學價值。