立足活動經驗 走向思維發展
——以人教版數學教材五年級上冊“平行四邊形的面積”教學為例

卓琳芬

（福建省羅源縣教師進修學校附屬小學）

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》提出了“數學基本活動經驗”的核心概念，其指的是學生直接或間接參與數學學習活動過程中所獲得的感性認識、理性認識、情緒體驗的總和。學生思維發展是數學基本活動經驗和數學核心素養的共同聚焦，在小學數學教學中應幫助學生在“做”和“思考”中積淀數學基本活動經驗，不斷發展學生的思維能力。

一、喚醒已知經驗，讓思維發展有根可尋

數學教學活動的設計要以學生原有的基本活動經驗為基礎，了解他們參與數學學習的“前經驗”，激活他們原有基本活動經驗并尋找新舊知識的聯結點，讓新經驗在“前有孕伏”中得到積累。

在“平行四邊形面積”的教學中，學生已經有了計量長方形面積時計數面積數的“前經驗”。因此，在教學中，我們可以抓住這一思考原點，從引導學生數方格開始。我出示了方格紙上兩行三列的一個長方形，（如圖1）讓學生回顧學習“長方形的面積”時是如何計量及推導長方形面積計算公式的。

圖1

從計數面積單位到發現規律并得出運算公式，使學生回憶起了面積計算的本質是對二維面積的度量，是幾個單位面積的累加，成功喚醒了他們“將未知轉化成已知”的原有幾何操作經驗。平行四邊形面積的推導緣于如何將一個平行四邊形轉化成一個長方形，這個方法對于學生而言是很難憑空想象而產生的。我做這樣一個活動，先是充分調動了學生的原有基本活動經驗，然后進行了整合、轉化，并由此產生新的經驗，豐富了學生的基本活動經驗系統，進而轉變成了他們下一個基本活動經驗的“前經驗”。

二、逐層建構經驗，讓思維源泉聚合內生

教師設計一系列具有內在聯系的數學活動，逐層建構基本的數學活動經驗，從本質上就是讓學生獲得學科發展的思維源泉。從數方格紙出發，可以引導學生在推導平行四邊形面積公式的過程中，經歷計數面積數所涉及到四個層次的活動。

【層次一】一格一格地數，不滿一格的按半格計算。

數方格是一種最基本的面積測量方法，學生在學習長方形和正方形的面積時就遇到過，但像平行四邊形這樣兩邊不成直角的圖形該怎樣數？教材中有一個規定：“不滿一格的都按半格計算”。仔細深究不難發現，教材中圍成平行四邊形的線段的端點都在方格線的交點上，每個不完整的方格都被線段切割成了兩部分，在這種特定情況下，不滿一格都按半格計算才適用。實際上，還有每個不完整的方格都被線段切割成三部分甚至更多更復雜的情況，這時不滿一格按半格計算就不能夠準確計量平行四邊形的面積，具有局限性（如圖2～3）。

圖2

圖3

【層次二】一格一格地移，找到對應的格子湊成了整數格計數。

不足一個單位的面積究竟要如何數？按照學生的思維模式，他們大多數人會上下移動，把不足一個單位的面積拼湊完整。（如圖4、圖5、圖6）我通過有效設問：“為什么要移動？不移能數嗎？”“兩位同學的移法、數法一樣嗎？你有什么發現？”讓學生通過觀察發現：平行四邊形尖角的地方在方格紙上不是完整的小正方形，移動以后通過割補就能得到完整的面積單位。先數原本就完整的方格，再數通過割補以后形成的完整方格，或是待割補后都拼成完整方格，再行計數。這樣，就能讓學生初步感受到，雖然在移動割補以后圖形的形狀發生改變，但是面積不變。

圖4

圖5

圖6

【層次三】一整塊地移，用每行幾格×幾行計數。

學生經歷了上一個活動，積累了割補的幾何操作經驗，呈現了更多元化的割補方式。（如圖7）我展示了前兩個學生的作品，追問：“有沒有更簡便快捷的方法？”引導他們仔細觀察這些作品，思考有沒有更好的割補方法。學生發現，可以從不足一個面積單位的割補到整塊割補，形成完整的長方形。這樣，就順利地從不完整的平面圖形過渡到完整的平面圖形。

圖7

【層次四】用割補的方法，尋找平行四邊形的底、高與長方形長、寬的對應關系。

我繼續提問：“整塊割補的效率更高，能給我們帶來什么啟示呢？”“剛才是怎么剪下去的？剪在哪里？又是怎么拼的？”學生大多已學會過平行四邊形其中一個頂點作高，沿著這條高剪，將三角形和梯形拼接成一個長方形。我更進一步地追問：“轉化后的圖形，什么變了，什么不變？”學生通過觀察得出：轉化后圖形的形狀發生改變，但面積是不變的；轉化后長方形的長就是原來平行四邊形的底，長方形的寬就是原來平行四邊形的高。（如圖8）

圖8

學生經歷了兩輪計數面積數的操作經驗，抓住“每行幾個，有幾行”這樣的數學幾何模型，在頭腦中開始逐步勾連起平行四邊形和長方形的關系。根據長方形面積計算公式，推導得出平行四邊形面積的計算公式S平行四邊形=底×高。

三、調試遷移經驗，讓思維本原持續涵育

學生參與數學活動，逐步積累數學基本活動經驗，不斷調試遷移，融合應用，漸至明朗，最后盤旋上升。數學基本活動經驗的這種特質，通過調試遷移，能讓思維本原持續涵育。

在“平行四邊形面積”的教學中，我引導學生通過觀察、對比來發現平行四邊形面積數與長方形邊的長度數之間的對應關系，以突破教學的難點。進而，通過追問：為什么不是用“平行四邊形的底乘鄰邊”來計算平行四邊形的面積？引導學生理解：底邊一定時，是行數決定了平行四邊形面積的大小。突出了高的作用。通過問題：為什么要沿高剪開，再進行拼接？只能沿一條高剪開嗎？驅動學生通過回顧思考，明白了只要沿著平行四邊形的任意一條高剪下來，把長方形的直角“變”出來，就可以把一個平行四邊形轉變成一個長方形。（如圖9）

圖9

在思辨的過程中，學生借助想象、辨析、小結，使操作、語言與思維有機結合，積累了面積公式的推導經驗。這樣的轉化過程，學生把已知經驗調試遷移，一層一層地對對應關系深入理解，對割補法深度認識，直指知識的本質，為思維的縱深發展打開了空間。

在平行四邊形、三角形和梯形面積的教學中，轉化的經驗是一脈相承的。在探究三角形、梯形的面積計算公式的推導過程中，學生所理解的面積公式背后的支撐點，就蘊藏在前面所學知識的基本活動經驗之中。在三角形、梯形面積教學中，當學生看到我給出的方格紙時，自然地調試出了經驗中所蘊含的數學模型，支撐了對知識點的理解。隨著探究活動的層層深入，圖形之間轉化前后的邏輯關聯、圖形面積計算公式的推導也水到渠成。

四、整合梳理經驗，讓思維內涵富有張力

教師設計的學習活動，必須著力于學生富有層次的“深度學”，為其今后獨立面對其它同類學習內容留下認知經驗和思考方法。數學基本活動經驗的內涵建構，應該是通過整合建立一定的數學思維模式，讓學生“會想問題”“會做事情”。

圖形面積計數知識間的聯系是十分緊密的。在學習了平行四邊形、三角形及梯形的面積以后，通過整合梳理積累的數學基本活動經驗，打通知識塊的整體脈絡，能讓學生的思維內涵合理外延，走向更深更遠的地方。

我出示如圖10 中的一組思考題，并提出問題：請你仔細觀察這組平行線內的梯形，有什么發現？如果繼續往后想，你會想到什么圖形？往前想呢？

圖10

追問：用梯形的面積計算公式能否算出其它三個圖形的面積？

通過多媒體動態演示，這組平行線內，高一定，當梯形的上底和下底之和不變時，面積是守恒的。這種守恒，隨著梯形上下底的不斷變化，演變成其它圖形時依然存在。當上述這組平行線內的梯形上底為0時，梯形轉變為三角形，S三角形=（0+下底）×高÷2=底三角形×高÷2；當梯形的上底和下底相等時，調整梯形兩腰的角度，梯形轉變為平行四邊形或長方形，S平行四邊形=（上底+下底）×高÷2=底×2×高÷2=底×高，同理可得S長方形=長×寬。從數學基本活動經驗出發，滲透極限思想，能將長方形、平行四邊形、三角形和梯形面積計算公式勾連整合，如此一來，便巧妙地打通了計算長方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積之間的聯系，勾連了算法，能讓學生體悟到更富張力的數學基本活動經驗。

數學基本活動經驗是學生經歷了數學活動后形成的過程化知識，其核心是如何思考的經驗。教師要立足數學基本活動經驗，把數學之根深植于數學基本活動之中，把握好知識塊脈絡的整體呈現，讓數學學習從知識走向知識樹，從知識樹走向思維發展。