中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的策略

范連眾

（大連市甘井子區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》中關(guān)于“直觀想象”有這樣的描述與要求：“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。主要包括借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》中，“直觀想象”是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的的六個(gè)維度之一。

“直觀想象”是數(shù)學(xué)思維的基本形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的形象化特征，它不僅存在于幾何學(xué)習(xí)之中，而是存在于普遍性的數(shù)學(xué)思維中。“直觀想象”是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和建構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)，有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析與邏輯推理的思路；是抽象數(shù)學(xué)結(jié)論和進(jìn)行邏輯推理的思維加工機(jī)制，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成都有影響。從當(dāng)前對(duì)核心素養(yǎng)的研究現(xiàn)狀看，仍存在著理論分析研究多，典型案例分析和課堂行動(dòng)研究少；共性研究多，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的“個(gè)性研究”少；針對(duì)小學(xué)研究多，面向中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究少的問(wèn)題。從另一方面看，直觀想象與邏輯推理存在比較高的相關(guān)性，顯著影響學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。下面就結(jié)合中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段的教學(xué)，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)初中學(xué)生的直觀想象能力。

一、厘清課程標(biāo)準(zhǔn)表述的變化，明確直觀想象的由來(lái)

依據(jù)古德萊德對(duì)課程的分類,課程可以分為理想的課程、文件（正式）的課程、理解的課程、實(shí)施的課程和經(jīng)驗(yàn)的課程五個(gè)層次。正確理解直觀想象在國(guó)家文件課程中的內(nèi)涵，是做好課程實(shí)施的前提。新中國(guó)成立七十年以來(lái)，共進(jìn)行過(guò)八次課程改革，頒布實(shí)施了十幾個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱），這里選取了十次比較典型的課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱），對(duì)直觀想象的提出過(guò)程進(jìn)行厘清。（如表1，表2）

表1 上世紀(jì)我國(guó)教學(xué)大綱對(duì)幾何教學(xué)能力的目標(biāo)要求

表2 本世紀(jì)我國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)幾何教學(xué)能力的目標(biāo)要求

通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，隨著國(guó)家對(duì)教育目標(biāo)定位的變化，幾何教育的主要目標(biāo)之一從培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，變化到培養(yǎng)學(xué)生空間觀念和幾何直觀，最后變化到培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)教育目標(biāo)從知識(shí)傳授，到發(fā)展智能，到大眾數(shù)學(xué)，到最后培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的變化軌跡。空間想象能力側(cè)重于直接感知事物，建立二維平面以及三維空間內(nèi)對(duì)圖形性質(zhì)的理解，指向能力層面的要求。空間觀念是在新世紀(jì)課程改革后提出的，不僅僅是一種觀念，也反映出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的變化。幾版課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱）對(duì)空間觀念的界定雖然在不斷變化，但都是在建立空間想象的基礎(chǔ)上，更注重在分析和抽象層次上的表現(xiàn)，要求學(xué)生根據(jù)圖形的特征在邏輯上對(duì)圖形關(guān)系進(jìn)行分析和操作，利用直觀進(jìn)行思考。幾何直觀是一種思維形式，是指通過(guò)圖形、圖形之間的關(guān)系、圖形的運(yùn)動(dòng)變化等直接理解問(wèn)題的本質(zhì)、得到解決問(wèn)題的思路、形成推斷問(wèn)題的結(jié)論。直觀想象是在空間觀念和幾何直觀的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)，主要包括空間想象、直觀洞察、數(shù)形結(jié)合，是利用空間形式理解和思考問(wèn)題的思維方式，是適應(yīng)未來(lái)社會(huì)應(yīng)必備的一種關(guān)鍵能力。

二、追溯直觀與想象的根源，把握直觀想象的精髓

“空間想象能力”“空間觀念”“直觀”“想象”在心理學(xué)界并不是地位并列的概念。能力是心理學(xué)中的名詞，是指一種心理特征，是順利實(shí)現(xiàn)某種活動(dòng)的心理?xiàng)l件。能力既是掌握知識(shí)與技能的基礎(chǔ)，又是掌握知識(shí)與技能的結(jié)果。空間想象能力是人們對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析、認(rèn)知的抽象思維能力。在數(shù)學(xué)、地理等學(xué)科體現(xiàn)得比較明顯。

對(duì)“觀念”的概念解釋，在辭海中有“思想，有時(shí)亦指表象或客觀事物在人腦中留下的概括的形象”的釋義。“空間觀念”與心理學(xué)中“空間知覺(jué)”的概念比較接近，空間知覺(jué)、時(shí)間知覺(jué)和運(yùn)動(dòng)知覺(jué)都是知覺(jué)，空間知覺(jué)是指大腦對(duì)物體的空間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，包括形狀知覺(jué)、大小知覺(jué)、深度與距離知覺(jué)、方位知覺(jué)與空間定向等。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治認(rèn)為：“直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)。”東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為：“直觀借助基因和大腦而存在，是先天存在，又借助后天經(jīng)驗(yàn)表達(dá)出來(lái)。幾何直觀就是利用圖形、圖形的關(guān)系、圖形的變化和運(yùn)動(dòng)的軌跡等思維經(jīng)驗(yàn)直接認(rèn)識(shí)問(wèn)題，理解問(wèn)題的本質(zhì)，找到解決問(wèn)題的思路，推斷出問(wèn)題的結(jié)論。”在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，幾何直觀具體表現(xiàn)為實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀、替代物直觀等四種形式。

思維是人腦對(duì)輸入的刺激進(jìn)行更深次的加工，是人類認(rèn)識(shí)的高級(jí)活動(dòng)。思維可以從不同的角度進(jìn)行分類，其中一類可以分為直觀動(dòng)作思維、形象思維和邏輯思維。直觀動(dòng)作思維面臨的思維任務(wù)具有直觀的形式；形象思維則指人們利用大腦中的具體形象（表象）來(lái)解決問(wèn)題；邏輯思維則需要運(yùn)用概念、理論知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。思維也可以分為直覺(jué)思維、靈感與邏輯思維，直覺(jué)是一種沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)密推理與論證而徑直地猜度問(wèn)題關(guān)鍵的思維，常表現(xiàn)為一種大膽的猜想、預(yù)測(cè)。而靈感則是一種頓悟性的思維。直覺(jué)和靈感都具有非分析性、非規(guī)則性、非程式化的特點(diǎn)。顯然，“直觀”與“思維”密不可分。直觀是直觀動(dòng)作思維、形象思維的典型特征，也對(duì)直覺(jué)思維、靈感的形成有重要的促進(jìn)作用。

“想象”是另一種高級(jí)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，是在感知的基礎(chǔ)上，對(duì)頭腦中已有的表象進(jìn)行加工改造，創(chuàng)造新形象的心理過(guò)程。由于想象主要處理圖形信息，而不是詞或符號(hào)，因此與“直觀”密不可分。日常生活中，當(dāng)人們?cè)诿鎸?duì)問(wèn)題情境、需要尚未得到滿足時(shí)，頭腦中常常會(huì)出現(xiàn)需要得到滿足、問(wèn)題得到解決的情境，這種情境是對(duì)現(xiàn)實(shí)的一種超前反應(yīng)，是對(duì)未來(lái)的一種預(yù)見(jiàn)。若問(wèn)題的原始材料是已知的，解決問(wèn)題的方向是明確的，那么解決問(wèn)題的進(jìn)程則主要服從于思維規(guī)律；反之，如果問(wèn)題情境具有很大的不確定性，情境提供的信息不充分時(shí)，解決問(wèn)題的進(jìn)程將主要依賴于想象。想象可以跳過(guò)某些思維階段，具有黏合、夸張、典型化、聯(lián)想等幾種形式。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，本身具有鮮明的特性，如抽象、結(jié)構(gòu)、模式、數(shù)據(jù)、直覺(jué)。而數(shù)學(xué)直覺(jué)的本質(zhì)是某種美的意識(shí)或美感，其實(shí)是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象間存在著的某種隱微的和諧性與秩序的直覺(jué)認(rèn)識(shí)。人的直覺(jué)更多的是來(lái)源于視覺(jué)，直觀為直覺(jué)的產(chǎn)生起到了關(guān)鍵的、不可替代的作用。在數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中，數(shù)學(xué)家的靈感往往發(fā)端于直觀。很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決，其結(jié)果都是先“看”出來(lái)的，而不是先“證”出來(lái)的。所謂的“看”是一種直接判斷，這種判斷是建立在長(zhǎng)期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上。而數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)之一就是幫助學(xué)生積累這方面的經(jīng)驗(yàn)，包括感性經(jīng)驗(yàn)和邏輯經(jīng)驗(yàn)。

通過(guò)以上的分析可以看到，數(shù)學(xué)與直觀、想象有著密切的聯(lián)系，數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀性和想象的心理過(guò)程對(duì)啟發(fā)人的思維，特別是對(duì)形象思維的發(fā)展有著重要的作用。“那種創(chuàng)造發(fā)明的要素，那種起指導(dǎo)和推動(dòng)作用的直觀要素，雖然常常不能用簡(jiǎn)單的哲學(xué)公式來(lái)表述，但是它們卻是任何數(shù)學(xué)成就的核心，即使在最抽象的領(lǐng)域里也是如此”。反之，在“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論、方法或數(shù)學(xué)定理時(shí)，只有做到了直觀上懂才算‘真懂’，所謂‘真懂’的意思是指對(duì)數(shù)學(xué)的理論、方法或定理能洞察其直觀背景，并且看清楚它是如何從具體特例過(guò)渡到一般（抽象）形式的”。通過(guò)數(shù)學(xué)教育，可以培養(yǎng)學(xué)生的直觀和想象，從而具備適應(yīng)未來(lái)社會(huì)所必備的關(guān)鍵能力，直觀想象可以看成是運(yùn)用形象思維來(lái)理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的一種素養(yǎng)。具體而言，就是指借助具有邏輯支撐的直覺(jué)，在頭腦里對(duì)已儲(chǔ)存的各種數(shù)學(xué)表象（圖形、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)、圖像、圖表以及公式、法則、基本結(jié)論等）進(jìn)行類比、聯(lián)想等加工改造，在感知數(shù)量關(guān)系和空間形式的形態(tài)與變化中，獲得事物的新形象、新觀念或得出創(chuàng)新性的新結(jié)論。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題、探索解決問(wèn)題思路的重要手段，是建構(gòu)數(shù)學(xué)抽象和進(jìn)行邏輯推理的思維基礎(chǔ)。

很多教師在中考復(fù)習(xí)階段，仍存在著“僅從字面意義上理解直觀想象的現(xiàn)象，使直觀想象逐漸被窄化為一種識(shí)圖策略”的問(wèn)題，并且由于考試評(píng)價(jià)的局限而沒(méi)有引起師生足夠的重視。也有很多教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的認(rèn)識(shí)還是停留在傳統(tǒng)的“三大能力”的層面。教學(xué)中更多的都是側(cè)重于解題訓(xùn)練，單純的機(jī)械模仿、低效復(fù)習(xí)充斥著課堂，教學(xué)也離開了數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ)。抓不住直觀想象這一核心，課堂就猶如失去了“靈魂”。

三、用好教科書中的基本習(xí)題，建立豐富的數(shù)學(xué)表象

想象是對(duì)表象的加工創(chuàng)造，直觀想象離不開豐富的“數(shù)學(xué)表象”。練習(xí)題是教科書的重要組成部分，是使學(xué)生理解概念、鞏固知識(shí)、學(xué)會(huì)應(yīng)用的必備構(gòu)件。數(shù)學(xué)教科書中的練習(xí)題設(shè)計(jì)注重循序漸進(jìn)和情境運(yùn)用，教師應(yīng)該充分重視。在要求學(xué)生正確解答的同時(shí)，應(yīng)深入挖掘基本習(xí)題的聯(lián)系和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)特征，豐富直觀想象所必需的數(shù)學(xué)表象。

如在復(fù)習(xí)“軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)”時(shí)，應(yīng)以閱讀理解的方式將基本圖形進(jìn)行組合，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱圖形的共性和對(duì)稱軸的作用，并通過(guò)直觀想象發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的路徑，做到復(fù)習(xí)時(shí)“不炒冷飯”，不斷提升直觀想象素養(yǎng)。

第一步，情境回憶。

等腰（邊）三角形是常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形。利用圖形的對(duì)稱性，我們可以發(fā)現(xiàn)很多結(jié)論，也可以得到解決問(wèn)題的思路。

如圖 1，在△ABC中，AB＝AC，D、E分別在AC、AB上，且AD=AE，容易發(fā)現(xiàn)△ABD和△ACE關(guān)于△ABC的對(duì)稱軸對(duì)稱，并且容易證得BD=CE。

圖1

如圖 2，在△ABC中，AB=AC，D、E是邊BC上的點(diǎn)，且AD=AE，也容易發(fā)現(xiàn)△ABD和△ACE關(guān)于△ABC的對(duì)稱軸對(duì)稱，進(jìn)而容易證得BD=CE。

圖2

第二步，問(wèn)題探究。

如圖 3，△ABC中，點(diǎn)D、F在邊AB上，點(diǎn)E在BC上，BD=BE，∠ADC=α，∠BEF=180°-2α，延長(zhǎng)CA、EF交于點(diǎn)G，且GA=GF，求證AD=EF。

圖3

第三步，提升拓展。

如圖 4，等邊△ABC中，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，E為BD上一點(diǎn)，AE=AD，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于F，∠ECF=60°，若BE=a，DF=b，求DE的長(zhǎng)（用含a，b的式子表示）。

圖4

閱讀材料將兩個(gè)典型圖通過(guò)強(qiáng)調(diào)對(duì)稱軸的作用而巧妙地聯(lián)系起來(lái)，并分別為后兩個(gè)問(wèn)題的解決提供了圖形想象的基礎(chǔ)和思考方向，學(xué)生如果發(fā)現(xiàn)圖3 與圖1 存在著密切的聯(lián)系，將條件“BD=BE”與問(wèn)題1 中的“AD=AE”進(jìn)行比較，就可以構(gòu)造等腰三角形，即要么在BC上取點(diǎn)H，使BH=BF，容易證得EF=DH；要么在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)H，使BH=BC，容易證得EH=DC，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的路徑。而問(wèn)題4 的圖形又與問(wèn)題2 的圖形聯(lián)系緊密，構(gòu)造與△ABE對(duì)稱的三角形成為解題的關(guān)鍵。可見(jiàn)，學(xué)生在復(fù)雜的圖形中能否發(fā)現(xiàn)基本圖形的“影子”，成為能否解題的關(guān)鍵。上面的復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)，既加強(qiáng)了對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)，又發(fā)展了直觀想象素養(yǎng)。正可謂抓住了培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)這一靈魂，才抓住了中考復(fù)習(xí)的關(guān)鍵。

四、合理設(shè)計(jì)問(wèn)題變式，錘煉直觀想象的基本路徑

變式教學(xué)是我國(guó)“雙基”教學(xué)的基本特征，其基本方法是用不同形式的直觀材料或事例說(shuō)明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征。幾何圖形變式在發(fā)展學(xué)生“雙基”方面的作用十分明顯。直觀的經(jīng)驗(yàn)需要大量的實(shí)踐，想象需要類比、聯(lián)想和猜測(cè)，合理的問(wèn)題變式不應(yīng)僅僅局限在發(fā)展學(xué)生“雙基”的層面，還應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生反思如何形成直觀，如何合理想象。

中考復(fù)習(xí)是在學(xué)生完成了九年義務(wù)教育的課程學(xué)習(xí)之后進(jìn)行的，是在對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理的基礎(chǔ)之上，使相關(guān)知識(shí)能融會(huì)貫通，并能解決問(wèn)題，因此在選擇復(fù)習(xí)內(nèi)容時(shí)就要注意相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與綜合性，并通過(guò)科學(xué)的圖形變式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比、聯(lián)想和猜想。例如，在復(fù)習(xí)等腰三角形和全等三角形時(shí)，可以先讓學(xué)生掌握人教版教材八年級(jí)上冊(cè)中66頁(yè)的第14題，再進(jìn)行系列的圖形變化。

已知：在圖 5 中，△ABC是等邊三角形，D是AC邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=CD。

圖5

求證：DB=DE。

此題的圖形由一個(gè)等邊三角形和一個(gè)等腰三角形構(gòu)成，要證明△DBE是等腰三角形，需要學(xué)生靈活運(yùn)用等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定，因此方法也比較多。

在學(xué)生積累了基本習(xí)題的解題經(jīng)驗(yàn)之后，可以先改變已知條件中“CE=CD”為“CE=AD”，看看結(jié)論是否成立。再改變點(diǎn)D的位置，讓學(xué)生獲得猜想后再尋找解題的方法。得到的變式如下：

已知△ABC是等邊三角形，E是AC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF。

1.如圖 6，若E是AC邊的中點(diǎn)，猜想BE與EF的數(shù)量關(guān)系為________。

圖6

2.如圖7，若E是線段AC上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，上述線段BE、EF的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明。

圖7

3.如圖8，若E是線段AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，上述線段BE、EF的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明。

圖8

第2問(wèn)中點(diǎn)E的位置由線段的中點(diǎn)改變?yōu)锳C上任一點(diǎn)，圖形中沒(méi)有兩個(gè)三角形直接全等，學(xué)生自然會(huì)產(chǎn)生這樣的猜想，即構(gòu)造全等三角形來(lái)解決問(wèn)題。利用已知條件，當(dāng)然就有了構(gòu)造與△ECF全等或與△ABE全等兩種解決問(wèn)題的思路，然后再進(jìn)行推理證明。而問(wèn)題（3）中點(diǎn)E的位置由“線段上的點(diǎn)”變成了AC延長(zhǎng)線的點(diǎn)，直觀上可以看出結(jié)論并沒(méi)有發(fā)生變化。學(xué)生既可以類比問(wèn)題（2），也可以直接通過(guò)構(gòu)造法做出輔助線求解。

再如人教版教材八年級(jí)上冊(cè)56頁(yè)第9題和八年級(jí)下冊(cè)62頁(yè)第15題如下：

如圖9，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE垂足分別為D，E，AD=2.5，DE=1.7，求BE的長(zhǎng)。

圖9

如圖 10，四邊形ABCD是正方形，G是BC上的任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，且交AG于點(diǎn)F，求證：AF-BF=EF。

圖10

教材中兩道題的背景和題型雖然不同，但本質(zhì)都是利用等腰直角三角形和正方形等基本圖形的性質(zhì)，利用直角三角形全等的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題，對(duì)發(fā)展學(xué)生的“雙基”十分有益。在學(xué)生掌握了基本問(wèn)題的解法之后，可以改變圖形的位置，通過(guò)直線AD繞等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到以下兩個(gè)變式練習(xí)。

變式1：如圖11，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD，CD⊥AD，垂足分別為E，D，探究BE、CD、AD的數(shù)量關(guān)系并證明。在圖12中，條件不變，結(jié)論發(fā)生改變嗎？

圖11

圖12

變式2：如圖13，已知正方形ABCD，直線GH過(guò)點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A、C、D分別作AE⊥GH于點(diǎn)E，CF⊥GH于點(diǎn)F，DQ⊥GH于點(diǎn)Q，試判斷線段AE、DQ、CF三者之間關(guān)系。

圖13

將靜態(tài)的幾何圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái)，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換方式，可以得到系列的全等圖形，挖掘其中的不變規(guī)律，可以發(fā)展學(xué)生的直觀想象和學(xué)習(xí)興趣，加深對(duì)圖形的深刻認(rèn)識(shí)。而對(duì)圖形的變式不止是橫向的水平變式，還應(yīng)進(jìn)一步進(jìn)行深度挖掘，并通過(guò)從特殊到一般等數(shù)學(xué)思考過(guò)程，進(jìn)一步提升學(xué)生的想象能力和思維能力。在學(xué)生對(duì)上題有了系列認(rèn)識(shí)之后，還可以為他們提供如下的變式練習(xí)。

變式3 ：如圖14，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是線段AB上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），作射線DE，分別過(guò)點(diǎn)A，B，C作DE的垂線，垂足分別為F，G，H，求AF+BG+CH的最值。

圖14

變式4：如圖15，已知平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°，E是線段AB上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），作射線DE，分別過(guò)點(diǎn)A，B，C作DE的垂線，垂足分別為F，G，H，求AF+BG+CH的最大值。

圖15

學(xué)生有了變式1、變式2的解題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)正方形和全等三角形有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，也能得到三條線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系，但并不一定能引起對(duì)圖中所蘊(yùn)藏的相似三角形的關(guān)注。變式4是求三條線段和的最值，發(fā)現(xiàn)圖中的四個(gè)直角三角形都是相似的，就可以找到解決問(wèn)題的方法。同時(shí)，通過(guò)對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的研究，想象特殊位置的情況，也可以得到解決問(wèn)題的方程。而變式5則將正方形改為平行四邊形，體現(xiàn)了在從特殊到一般的變化過(guò)程中，蘊(yùn)含著不變的規(guī)律。