借助“主題-單元”理念教學(xué)新教材
——以“立體幾何初步”為例

丁左軍 董裕華

“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成不是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn)。教師應(yīng)理解不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的具體要求，不僅關(guān)注每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)，明晰這些目標(biāo)對(duì)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻(xiàn)。”［1］高中數(shù)學(xué)教學(xué)要有整體觀、大局觀和系統(tǒng)化觀念，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

“主題-單元”教學(xué)是在整體思維指導(dǎo)下，在整體把握教材的基礎(chǔ)上，用全局的眼光、系統(tǒng)的方法，將教材中具有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)進(jìn)行整合、重組并形成相對(duì)完整、動(dòng)態(tài)的教學(xué)。“主題-單元”教學(xué)幫助學(xué)生從更大的視角認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維方法，通過變換知識(shí)載體，從橫向和縱向打通知識(shí)間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的內(nèi)涵式理解和建構(gòu)。對(duì)“立體幾何初步”一章而言，我們可以從四個(gè)維度進(jìn)行“主題-單元”設(shè)計(jì)和教學(xué)。

一、在操作實(shí)驗(yàn)中發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

空間想象素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)不斷改進(jìn)和完善的動(dòng)態(tài)發(fā)展過程，需要有規(guī)劃、有步驟、有策略，循序漸進(jìn)，可持續(xù)進(jìn)行。

1.對(duì)“基本立體圖形”主題單元的教學(xué)。

在本單元中，學(xué)生初步接觸空間幾何圖形，因而可以通過從形到思來發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。可以讓學(xué)生經(jīng)歷如下實(shí)驗(yàn)操作體驗(yàn)。

（1）從生活情景中認(rèn)識(shí)空間圖形，獲得整體立體圖形的感知，形成初步印象；

（2）對(duì)照實(shí)物圖，利用工具“再現(xiàn)”空間圖形的生成過程，幫助學(xué)生完成對(duì)空間圖形的“再認(rèn)識(shí)”；

（3）通過觀察3D動(dòng)畫到平面圖形的變化，理解立體圖與直觀圖的區(qū)別，初步認(rèn)識(shí)和了解空間圖形的直觀圖，能臨摹直觀圖；

（4）脫離教具和樣例，作出較復(fù)雜的空間圖形的直觀圖。

2.對(duì)“空間圖形中的點(diǎn)、線、面關(guān)系”主題單元的教學(xué)。

該主題單元中，新人教A版以平行、垂直為單元構(gòu)建主線，新蘇教版則以直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直為單元構(gòu)建主線。這一主題單元關(guān)涉空間想象能力發(fā)展的第二個(gè)階段，認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面關(guān)系可以從兩個(gè)方面入手。

（1）立足整體觀，理解判定定理和性質(zhì)定理，拓寬空間想象的范疇。比如利用直線與平面平行的判定定理判定直線與平面平行，需要尋找直線與直線平行，其實(shí)就是假定已經(jīng)獲得平行結(jié)論的情形下，利用性質(zhì)定理尋求過已知直線的平面和已知平面的交線同已知直線平行，平面與平面垂直的判定定理的處理也與此相類似。

（2）立足大局觀，變換圖形觀察的角度，不就事論事，就題論題，就圖論圖。對(duì)圖形放置的位置做進(jìn)一步變換，如旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、顛倒，讓學(xué)生觀察和分析空間圖形中位置關(guān)系的變與不變，加深對(duì)點(diǎn)、線、面關(guān)系的理解。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生自己作圖分析，圖形的擺放位置也讓他們自主選擇。

精準(zhǔn)確定空間圖形中的直線，平面間的角度、距離關(guān)系，是空間想象能力發(fā)展的重要目標(biāo)。準(zhǔn)確定量分析角度、距離關(guān)系，在很多時(shí)候需要運(yùn)用間接策略，從宏觀上把握?qǐng)D形的特征，多角度分析，尋找突破口。

二、在概念理解中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

立體幾何初步中的數(shù)學(xué)知識(shí)概念包括基本事實(shí)、推論、定義、判定定理和性質(zhì)等形式。從不同的維度認(rèn)識(shí)理解這些知識(shí)概念，有助于學(xué)生建立知識(shí)間的有意義聯(lián)系，認(rèn)清概念本質(zhì)。

1.邏輯關(guān)系維度。

（1）充分必要條件角度。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)概念時(shí)，借助邏輯命題，向?qū)W生闡明定義是充要條件，基本事實(shí)、推論及判定定理是充分條件，性質(zhì)定理是必要條件。

（2）全稱命題和存在性命題角度。對(duì)于直線與平面的平行、垂直的位置關(guān)系，定義、性質(zhì)定理都是大前提下的全稱命題，由定義到判定定理本質(zhì)上是全稱命題到存在性命題的演化。

2.空間與平面轉(zhuǎn)換維度。

空間與平面轉(zhuǎn)換的跳躍度大，有用線線垂直判定線面垂直的升維推理（由直線到平面）；有將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面角的降維定義（由空間到平面）；也有由“垂直于同一平面的兩直線平行”聯(lián)想到“平行于同一平面的兩直線關(guān)系如何”的同維轉(zhuǎn)化。立體幾何中，判定定理一般是由線線關(guān)系到線面關(guān)系，再到面面關(guān)系的升維推導(dǎo)，而性質(zhì)定理一般是逆向降維結(jié)論。

3.語言、圖形、符號(hào)轉(zhuǎn)換維度。

立體幾何概念的表述一般有圖形表示、文字語言表述和數(shù)學(xué)符號(hào)演示推理三種形式。概念學(xué)習(xí)中的“再認(rèn)識(shí)”經(jīng)歷由圖形感觀，到文字描述，再到符號(hào)推理的過程，學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)換中感受“概念”由具體到形象，再到數(shù)學(xué)抽象，思維不斷遞升。

三、在分析解決問題中發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

1.發(fā)展學(xué)生邏輯推理的層次性、多維性。

立體幾何的推理論證問題，不僅有利于立體圖形認(rèn)識(shí)和理解的螺旋式上升，讓學(xué)生不斷明晰、辨清空間圖形的位置關(guān)系，也有利于邏輯思維素養(yǎng)的不斷發(fā)展。

例1：如圖1，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD//MA，E，G，F(xiàn)分別為MB，PB，PC的中點(diǎn)，且AD＝PD＝2MA。求證：平面EFG⊥平面PDC。

（圖1）

剛接觸問題時(shí)，學(xué)生感覺很難尋找到轉(zhuǎn)化途徑，如果跳出平面EFG和平面PDC的束縛，那么借助于BC⊥平面PDC，再由平行關(guān)系轉(zhuǎn)換即可得到FG⊥平面PDC。一旦視角放大到整個(gè)空間圖形，還可以選擇由CD⊥平面PMAD過渡到CD⊥平面EFG，其本質(zhì)在于將平面EFG延展以后，就是平行于平面PMAD的截面，上面兩種思路均基于此。

2.提升學(xué)生邏輯推理的嚴(yán)密性。

例1的幾種思路，既涉及課本的定義、基本事實(shí)和定理，也涉及課本以外的、“顯然”的結(jié)論，在論證過程中合理運(yùn)用這些結(jié)論就需要思維的嚴(yán)密性，不能想當(dāng)然。平行線、平行平面轉(zhuǎn)化證明垂直只能作為解決問題的思路，而不能作為理論依據(jù)。直棱柱如何運(yùn)用，也是如此。與新蘇教版相比，新人教A版中“空間等角定理”沒有出現(xiàn)“異面直線的判定定理”，只定義了“空間兩條直線所成角”，在論證過程中就要特別注意。

四、在實(shí)際生活中感悟生活中的數(shù)學(xué)

1.生活中的數(shù)學(xué)無處不在。

我們周圍蘊(yùn)藏了太多的立體圖形，可以隨時(shí)從生活中汲取場(chǎng)景發(fā)展空間想象素養(yǎng)。例如：為創(chuàng)建全國文明城市，考慮到環(huán)保和美觀的要求，某地為城區(qū)街道統(tǒng)一換置了新型垃圾桶（如圖2）。

（圖2）

由此“逆向”還原為數(shù)學(xué)問題：已知該垃圾桶由上、下兩部分組成（上部為多面體，下部為長方體，高度比為1∶2），垃圾桶最上面是正方形，與之相鄰的四個(gè)面都是全等三角形。垃圾投入口是邊長為a的正六邊形，該垃圾桶下部長方體的容積為______，該垃圾桶的頂部面積（最上面正方形及與之相鄰的四個(gè)三角形的面積之和）為_____。

2.學(xué)而有用，學(xué)而有值。

生活中的立體圖形無處不在，要讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決生活中的情境問題，感受到學(xué)而有用，學(xué)而有為，學(xué)而有成，保持可持續(xù)學(xué)習(xí)動(dòng)力。筆者曾在課上討論過這樣一個(gè)問題：某工廠有一批邊長為6m的正方形薄鋁板角料，為節(jié)約成本，準(zhǔn)備將其做成無蓋的容器。請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)：怎樣裁剪，才能使容器容積最大？

學(xué)生各顯其能，通過操作試驗(yàn)，設(shè)計(jì)了圓柱、圓錐、長方體、三棱錐等多種方案（見圖3）。

（圖3）

通過親身體驗(yàn)，讓學(xué)生從多個(gè)層面進(jìn)行思考，充分發(fā)揮了自己的想象力，設(shè)計(jì)了多種空間圖形，既開闊了視野，又發(fā)散了思維。

“主題-單元”教學(xué)倡導(dǎo)從全局入手，細(xì)處著眼，由面踩點(diǎn)，又由點(diǎn)到面，用全局觀念，系統(tǒng)思維解決局部知識(shí)，整體考慮，形成知識(shí)鏈、問題串，在知識(shí)的關(guān)聯(lián)處傾注更多的注意力，有助于學(xué)生更快、更好地發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵與本質(zhì)。