新課標(biāo)下蘇教版高中數(shù)學(xué)教材的變化
——以“不等式”一章為例

王子揚(yáng)

一、課程結(jié)構(gòu)內(nèi)容優(yōu)化，突出主線

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）將必修課程分成預(yù)備知識、函數(shù)、幾何和代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動五個(gè)主題。預(yù)備知識包括：集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系和不等關(guān)系、從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式等內(nèi)容。其中相等關(guān)系和不等關(guān)系及從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式都是不等式章節(jié)中的重要內(nèi)容。在蘇教版舊教材（2004年版，下同）中，不等式與解三角形和數(shù)列放在必修5中。解三角形屬于必修部分的函數(shù)主題，數(shù)列屬于選擇性必修部分的函數(shù)主題，三塊不同的主題放在同一本書中，顯得有些零散。新教材（2020年版，下同）對課程結(jié)構(gòu)進(jìn)行了些優(yōu)化，將預(yù)備知識放在了必修一中的前三章，分別是集合、常用邏輯用語和不等式，突出了其作為預(yù)備知識的主線地位，彰顯了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯和思想方法，同時(shí)為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了良好的基礎(chǔ)。

從內(nèi)容上來看，新教材刪除了不等關(guān)系、二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題，新增了不等式的性質(zhì)、從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式。幾乎只有基本不等式這一節(jié)是完整保留的，這一變化不可謂不大。

表1 蘇教版新舊教材“不等式”章節(jié)內(nèi)容比較表

固然對不等式的學(xué)習(xí)是建立在不等關(guān)系之上的，但是學(xué)生在初中階段已經(jīng)接觸過了不等關(guān)系，因此也就無須再單獨(dú)成章。相比之下，對不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)顯得更加重要，當(dāng)我們用不等式去刻畫生活中的一些不等關(guān)系后，需要依靠不等式的性質(zhì)來解決問題，它同時(shí)也是不等式證明的基礎(chǔ)。

新教材中刪去了有關(guān)線性規(guī)劃的內(nèi)容，筆者的理解如下：簡單的線性規(guī)劃問題其本質(zhì)是求多元函數(shù)的條件最（極）值問題，這是數(shù)學(xué)中非常重要的一類問題。競賽中我們通常通過函數(shù)的性質(zhì)，例如二次函數(shù)、三次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的凹凸性；幾個(gè)重要的不等式，例如均值不等式，柯西不等式，琴生不等式；以及一些數(shù)學(xué)解題中的常用技巧，例如調(diào)整法、凍結(jié)變量法來解決此類問題。在大學(xué)課程里，我們通常采用求偏導(dǎo)的方式來解決多元函數(shù)的極值問題。無論是競賽中的方法還是高數(shù)中的方法，都不是普通高中生能很好地理解的，再加上舊教材中通過降維的思想來解決簡單的線性規(guī)劃問題有著局限性。因此筆者認(rèn)為，刪去這塊內(nèi)容是合理的。

二、聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展

不等式是解決許多實(shí)際問題的重要工具，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體。通過兩個(gè)版本教材的比對，我們發(fā)現(xiàn)，新版教材更加重視培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

1.邏輯推理。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）》指出：邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本性質(zhì)，是人們在數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)。邏輯推理不僅僅是一種能力，更是一種素養(yǎng)。邏輯推理的三個(gè)要素是邏輯起點(diǎn)、形式推理以及結(jié)論表達(dá)。不等式的證明方法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，但其離不開不等式的基本性質(zhì)。

新增加的“不等式性質(zhì)”這一節(jié)，一開始先復(fù)習(xí)回顧了初中等式的性質(zhì)，希望學(xué)生通過類比去歸納不等式的性質(zhì)。接著基于一些基本事實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生去嚴(yán)格證明不等式的6條性質(zhì)。在證明的過程中，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)邏輯推理的因果關(guān)聯(lián)，從而提升學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)。此外在不等式的使用或者是證明過程中，我們要提醒學(xué)生注意邏輯的縝密性。例如，在使用基本不等式時(shí)，一定要注意要首先說明a，b均為正數(shù)，其次是需要去交代等號成立的條件，從而解決問題。

2.數(shù)學(xué)建模。

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。

新教材對數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的要求更高。編者以一道確定雜志價(jià)格的實(shí)際問題為背景，來讓學(xué)生從中抽象出數(shù)學(xué)模型，在了解其現(xiàn)實(shí)意義的同時(shí)，了解其與一元二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建離不開多種數(shù)學(xué)素養(yǎng)的密切配合，學(xué)生需要認(rèn)真解讀實(shí)際情景，并從中抽象出數(shù)學(xué)的模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而找到解決方案。數(shù)學(xué)建模問題不等于應(yīng)用題，學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，需要體會由實(shí)際問題出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型的方法。

三、重視學(xué)習(xí)過程，提倡自主學(xué)習(xí)

1.批注。

經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，舊版教材“不等式”章節(jié)共9條批注，其中注意事項(xiàng)3條，注釋6條；舊版教材“不等式”章節(jié)共7條批注，其中注意事項(xiàng)1條，注釋3條，思考3條。從中可以看出，新教材注重于學(xué)生的過程性發(fā)展，一改以往一味說教的方式，給學(xué)生一些提示和思考的空間，讓他們在原有的知識框架上去搭建屬于自己的不等式學(xué)習(xí)體系。例如，在“基本不等式應(yīng)用”這一節(jié)中，舊版教材的注釋“也可以轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)S＝x（2a－x）的最大值”和新教材的思考“你能用基本不等式來求x（50－x）的最大值嗎”，其本質(zhì)是想讓學(xué)生建立函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，但是用問題的形式可以讓學(xué)生自己去思考，歸納總結(jié)，更能體現(xiàn)教材引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究這一重要作用，同時(shí)可以使學(xué)生加固不等式與函數(shù)知識之間的聯(lián)系。注重?cái)?shù)學(xué)思考的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對學(xué)生的全面、持續(xù)、和諧發(fā)展有著重要的意義。

2.探索性問題。

新課標(biāo)將數(shù)學(xué)探究列入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，數(shù)學(xué)探究是運(yùn)用綜合知識解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)活動，是中學(xué)生提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。

在基本不等式章節(jié)，新版教材加入了問題探究，將基本不等式拓展到三元和四元的形式，讓學(xué)生通過自主探究，小組合作等方式判斷命題是否成立，給出證明，并作出進(jìn)一步猜想。對比舊版教材，新教材開始注重?cái)?shù)學(xué)探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

在舊教材的背景下，很多教師和學(xué)生更注重結(jié)果，而忽略了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程。教師喜歡講知識點(diǎn)、講題型的分類，學(xué)生喜歡聽不同的解題技巧，但當(dāng)問到學(xué)生方法是如何來的，為什么可以這么去想，他們往往不知所措。在舊模式下，填鴨式教學(xué)很少會給學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的時(shí)間；學(xué)生學(xué)習(xí)過于被動，主觀能動性逐漸喪失；學(xué)生也很少回去歸納總結(jié)、反思。新教材關(guān)注到了這些問題所帶來的弊端，重視學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究的能力，引領(lǐng)學(xué)生從“被動學(xué)”到“主動探究”的轉(zhuǎn)變。

3.課外閱讀材料。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要知其然知其所以然，這里的“知其然”筆者認(rèn)為不僅僅是知道一些定理公式的推導(dǎo)，更重要的是明了概念和定理的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的過程。之前，教師的關(guān)注點(diǎn)主要集中在學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握及解題能力的培養(yǎng)方面，數(shù)學(xué)課外閱讀往往被忽視。常規(guī)課強(qiáng)調(diào)的是概念和定理的了解，方法的應(yīng)用等等，其主要目的是讓學(xué)生了解足夠的數(shù)學(xué)知識，具有一定的應(yīng)用能力來面對高考。而課外閱讀材料可以讓學(xué)生對數(shù)學(xué)史有著一定的了解，尤其是課本中數(shù)學(xué)定義、定理的由來，從而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣和探索的渴望，增強(qiáng)主觀能動性。課外閱讀材料拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有助于學(xué)生對知識的認(rèn)識，提高對數(shù)學(xué)的理解，對日常學(xué)習(xí)起到強(qiáng)化作用，有助于學(xué)生提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，利于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

從蘇教版新教材“不等式”這一部分內(nèi)容的分析中，我們看出新教材有著不少的變化。因此作為高中教師，我們需認(rèn)真研讀新課標(biāo)，了解新版教材的編寫意圖，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主要目標(biāo)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容與過程。讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中發(fā)揮主觀能動性，自主探究一些生活中的實(shí)際問題，在將知識熟練運(yùn)用的同時(shí)，將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間建立一定的聯(lián)系，拓展認(rèn)知結(jié)構(gòu)。