微分幾何的教學設計與實踐
——以《可展曲面》為例

李 娜， 劉白羽， 張林桐

(北京科技大學 數理學院，北京100083)

1 引 言

微分幾何是伴隨著微積分的創立而發展起來的數學分支，是數學類本科生的一門重要專業課.微分幾何是以微積分作為主要工具研究平面和空間中的曲線和曲面的幾何性質[1]，從廣義相對論的數學理論，到數學大師陳省身給出的高斯-博內定理的內蘊證明；從建筑中的優美曲線與曲面，到工業加工和地圖繪制，無不體現著微分幾何的重要作用.

加強微分幾何的教學設計可以幫助學生體會“數”與“形”的巧妙結合，促進學生在“數”——邏輯思維能力與“形”——直覺思維能力的全面發展[2].為了提高微分幾何課程的教學效果，對課程的教學內容和教學設計開展了研究與實踐，下面以《可展曲面》為例展開介紹.

2 可展曲面的教學設計

2.1 內容引入——溫故知新

由于可展曲面是一類特殊的直紋面，所以課程從復習直紋面開始引入.

溫故——通過動畫演示引導學生觀察柱面、錐面與平面的關系(如圖1所示)，啟發學生觀察這兩種直紋面的特點，它們都可以沿著柱面或錐面的一條直母線將它剪開，攤平展開成平面.

圖1 柱面和錐面的展開演示

知新——這類可以攤平展開為平面的曲面就是可展曲面.

引導學生通過觀察柱面、錐面和平面之間存在的關系，復習等距變換的定義和充要條件，啟發學生利用等距變換給出可展曲面的定義.

溫故——如果兩個曲面之間的變換滿足局部上保持曲面上對應曲線的長度不變，則稱為(局部)等距變換.變換T是等距變換的充分必要條件是曲面的第一基本量對應相等.

知新——可以與平面建立局部等距變換的曲面稱為可展曲面.

2.2 內容展開——形而上學

華羅庚先生曾經說過：“數無形時不直觀，形無數時難入微”.這里“數”就是指推理證明，而“形”就是幾何直觀.在微分幾何的教學過程中，不僅要培養學生的邏輯思維能力，同時也要充分利用數學軟件，通過直觀演示做到“數形結合”[3].

在教學設計中，本著“以學生為中心”的指導思想，結合學生的專業知識基礎，采用從直觀演示到理論推理、從具體問題到一般方法、層層推進的思路.在實際教學中，柱面、錐面可展性證明是相對簡單，學生容易理解.而對于第三類可展曲面，即切線曲面，其可展性的證明方法是教學難點.為了讓學生掌握切線曲面的可展性證明我們用圓柱螺線的切線曲面為例，首先通過紙張制作的教具(如圖2)讓學生觀察到圓柱螺線的切線曲面可以通過空間中的連續彎曲形變攤平成平面，啟發學生發現切線曲面的可展性，并且從直觀上理解感受什么是曲面的可展性.

圖2 切線曲面的可展性教具

再借助數學軟件編程制作的動畫(見https:∥pan.cstcloud.cn/s/x4EpPI1hTTM )向學生呈現圓柱螺線的切線曲面攤平成平面的完整過程，引導學生通過觀察找到在形變過程前后曲面上保持不變的量，這些量將在后續的數學證明中起到關鍵作用[4].再讓學生根據已給出的可展曲面的定義，進一步發現問題：如何利用微分幾何的知識從理論上證明圓柱螺線的切線曲面是可展曲面？帶動學生主動思考，讓學生發現只要在切線曲面與平面之間找到一個等距變換，就可以得出證明的結論.在掌握了圓柱螺線的切線曲面的證明方法之后，對于一般曲線的切線曲面可展性證明，學生可以利用類似的方法自己給出.

定理1圓柱螺線的切線曲面是可展曲面.

證(i) 寫出圓柱螺線切線曲面(如圖3所示)的參數方程及第一基本量.

圖3 圓柱螺線的切線曲面

設圓柱螺線的參數方程為a(t)=(cost,sint,t),t∈[0,2π]，圓柱螺線上一點Q的坐標為a(t)，過Q點的切線上一點P的坐標為r(t,v).

于是可寫出圓柱螺線切線曲面的參數方程為

r(t,v)=a(t)+va′(t)=(cost-vsint,sint+vcost,t+v),

t∈[0,2π],v∈[0,+∞).

計算其第一基本量為

E=rt·rt=2+v2，F=rt·rv=2，G=rv·rv=2.

(ii) 建立圓柱螺線切線曲面與平面之間的等距變換.

注意到，圓柱螺線攤平后對應平面上的藍色圓弧，保持弧長不變(如圖4所示)，同時通過動畫可以看出藍色曲線的切線在攤平的過程中仍保持是藍色曲線的切線，再回顧曲線曲率的幾何意義為切線對于曲線弧長參數的轉動速度，因此變換前后藍色曲線的曲率也保持不變.

圖4 圓柱螺線的切線曲面與平面之間的變換

根據圓柱螺線的參數方程a(t)=(cost,sint,t)可以計算出它的曲率為k=0.5.因此，圖4右圖中圓的半徑就是曲率的倒數等于2.

再利用變換前后對應弧長相等，即|QP|=|Q′P′|，計算出變換后的P′點的坐標為

于是建立

這時平面的第一基本量恰好和圓柱螺線切線曲面的第一基本量對應相等.因此由等距變換的充要條件可得變換T是等距變換，這也就從理論上證明了圓柱螺線的切線曲面是可展曲面.

2.3 內容推進——數形結合

從前面的內容講授可以看出，一個曲面是否是可展曲面可以通過尋找與平面之間的等距變換來判斷，但是這樣的判斷過程理論性太強，抽象而不夠直觀.另一方面，將教學內容重新組織，在介紹完可展曲面的定義和例子之后，直接講授可展曲面充要條件.為此，借助數學軟件編程制作的動畫演示，啟發學生觀察可展曲面的特點，從直觀上給出直紋面是可展曲面條件(如圖5所示)，再從理論上給出證明.

觀察直紋面上沿著同一條直母線上的點的切平面變化情況(圖5中的紅色線段表示該點處切平面的法向量, 自制動畫演示視頻見https:∥pan.cstcloud.cn/s/x4EpPI1hTTM)，可以發現，柱面、錐面和切線曲面在同一條直母線上的切平面是相同的，這三種曲面都是可展曲面.而單葉雙曲面、雙曲拋物面和正螺面上沿一條直母線的切平面是不同的.再次提出問題：這三種曲面是否都不是可展曲面呢，為此給出下面的定理.

圖5 可展曲面沿直母線的切平面變化

定理2直紋面r(u,v)=a(u)+vb(u)沿同一條直母線切平面相同的充分必要條件是高斯曲率K=0.

證任取一條直母線(如圖6所示)上的兩點P1∶r(u,v1)，P2∶r(u,v2)，其中v1≠v2.計算可得直紋面的法向量為n(u,v)=ru×rv=(a′(u)+vb′(u))×b(u)，而一條直母線的切平面相同的充分必要條件是n(u,v1)∥n(u,v2)，即要滿足：

圖6 直紋面

因為v1≠v2，b(u)是方向向量，于是上式等價于混合積(a′(u),b′(u),b(u))=0.

由已學過的高斯絕妙定理可知可展曲面的高斯曲率必然等于零.另一方面，可以證明沿同一條直母線切平面相同的直紋面(即高斯曲率K=0)只有柱面、錐面、切線曲面以及它們三者的拼合，因此也一定是可展曲面.由此得到直紋面是可展曲面的充要條件為高斯曲率K=0.

2.4 拓展應用——學以致用

微分幾何中的知識無論在生活中，還是在其他學科的理論研究中都發揮著重要的作用，為此我們給出了兩個有關可展曲面的實際應用.通過介紹可展曲面在建筑和工業中的應用，讓學生學會發現和欣賞數學的美，同時培養學生的創新意識與實踐能力，真正做到“學以致用”.

(i) 可展曲面在建筑上的應用.可展曲面是一種可以在不被撕裂變形的情況下展開成平面的特殊曲面，因此在建筑業中有著其獨特的優勢.如巴黎盧浮宮博物館的大金字塔中造型別致的樓梯，樓梯下側的曲面就是一種可展曲面——圓柱螺線的切線曲面.

(ii) 可展曲面在工業上的應用.如圖7所示的Oloid曲面是由德國發明家保羅·沙茨在1929年發現的，它可以由兩個相互垂直并且過對方圓心的圓來生成(生成過程動畫見https:∥pan.cstcloud.cn/s/x4EpPI1hTTM)，也是一種可展曲面.它有著奇特的幾何性質，沒有角，并且可以在平面上連續滾動，滾動過程中曲面上的每一個點都會與平面接觸，同時重心也在左右扭動.工業上正是利用它的這些特點，設計出適合水族館中使用的攪拌器.這種攪拌器不但可以攪動大量水體提高水中的含氧量，又由于曲面本身沒有角，所以相對更加平緩，對水族館中的生物來說也更加安全.

圖7 Oloid曲面

3 結 論

本節的教學重點是可展曲面的定義和可展曲面的判別.課程設計中注重數學邏輯的嚴謹性，注重增強學生邏輯思維能力和思想方法的培養.本節內容以柱面和錐面的可展性引入，借助圖形、動畫、提問和互動等多種教學形式和手段生動展開，營造輕松活躍的課堂教學氛圍，通過直觀演示加深學生對抽象概念、性質和定理的理解與掌握，直觀地展示什么樣的直紋面是可展曲面，循序漸進地給出圓柱螺線切線曲面的可展性證明以及可展曲面的充要條件，有效激發學生的學習興趣，達到預期的教學效果.

本文以可展曲面為例詳細介紹了微分幾何中的教學設計理念，并結合對微分幾何課程教學設計的研究和實踐，不僅對青年教師參加教學競賽具有借鑒意義，而且對于提高日常教學質量和水平也具有一定的參考價值.在教學設計過程中，要特別注重以下幾個方面：

(i) 溫故知新 在教學中有意識地將微分幾何與微積分思想和方法相聯系，挖掘課程的本質.注重學生科學思維方法的訓練，幫助學生利用微分幾何的知識加深對微積分思想的理解、對微積分方法的應用；

(ii) 數形結合 借助數學軟件強化微分幾何中“形”與“數”的統一，提高學生正確認識問題、分析問題和解決問題的能力；

(iii) 學以致用 在教學設計中融入微分幾何的發展史以及在各學科中的應用，幫助學生開闊知識面的同時，激發學生的學習興趣，培養學生探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的責任感和使命感.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.