體會新教材變化意圖,落實“大概念”教學理念

朱建平

依據《普通高中數學課程標準（2017年版）》編寫的人教A版高中數學教材（以下簡稱“新教材”），為了落實培養學生數學學科核心素養的新課標理念，注重“大概念”視野下的“大單元”“大主題”設計。重點分析比較新舊教材中三角函數定義變更以及正弦定理形成方式調整的意圖，在新教材三角函數定義和正弦定理的教學基礎上領會“大概念”教學理念的樣態，體會“大概念”教學的價值。

一、關于三角函數定義的教學

1.新舊教材中三角函數定義的比較

以往，幾乎所有教材都是從銳角三角函數的定義出發，先將直角三角形放置到平面直角坐標系xoy中，從而得到基于坐標化思想的正弦、余弦及正切定義，再將銳角推廣到任意角α，從而得到三角函數的定義：若α的終邊經過點P（x，y），記r=OP=，則sinα=，cosα=，tanα=（x≠0）。得到這一定義后，依據相似三角形的邊對應成比例，得出α的正弦、余弦、正切值只與α的終邊有關，而與點P的位置無關。也就是說，只要α確定，它的正弦、余弦、正切值就確定了。于是，它們都是關于α的函數，可以分別稱為正弦函數、余弦函數和正切函數。然后，從一般到特殊，在單位圓中引進三角函數線，為后續學習同角三角函數關系、誘導公式、三角函數的圖象與性質、兩角和與差的三角函數等內容提供便捷的幾何工具。

這樣的定義編寫注重數學本身的邏輯性，但是相應的定義編寫抽象性比較強，與學生的認知水平不匹配。教學中，教師倘若照本宣科，學生就會只知其然，而不知其所以然。

2.新教材中三角函數定義“大概念”理念下的教學設計

新教材將“三角函數”單元從與“平面向量”單元、“解三角形”單元鄰近（在前）變為與“函數的概念與性質”單元、“指數函數與對數函數”單元鄰近（在后），凸顯“函數”“建模”等“大概念”的串聯整合作用。

新教材中從建立刻畫周期性變化現象的數學模型（單位圓O上的點P以點A為起點做逆時針方向旋轉，建立一個數學模型，刻畫點P的位置變化情況）出發，在前一節用任意角的概念刻畫點P的位置變化情況的基礎上，進一步建立平面直角坐標系xoy，通過角α的終邊與單位圓交點P坐標的求解，得出三角函數的定義：設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于P（x，y），則y叫作α的正弦函數，即y=sinα;x叫作α的余弦函數，即x=cosα;y與x的比值叫作α的正切函數，即=tanα（x≠0）。

這樣的定義編寫關注數學產生的現實性，顯得更為直觀和簡潔，便于學生理解和記憶。在運動思想（旋轉變換）、函數思想（定義及性質）及數學建模（用數學模型刻畫圓周運動這一周期現象）三個“大概念”的統領下，基于任意角的概念，利用單位圓上點的坐標，得出關于單個自變量的函數模型，體現三角函數定義的科學性、合理性和發展性，同時自然地省略了三角函數線的內容。

二、關于正弦定理的教學

1.新舊教材中正弦定理形成的比較

以往，正弦定理和余弦定理的教學是在“解三角形”中先獲得正弦定理，再推導出余弦定理。而證明用的方法是向量法，雖然教材也在引領學生進行探究，但由于“平面向量”和“解三角形”分布在不同的章節中，向量法的引入就顯得突兀，有強植的嫌疑。同時，沒有余弦定理向量法證明的鋪墊，“引入向量（是與△ABC某一邊垂直的單位向量）”“在向量等式+=兩邊同乘以向量”這兩個關鍵環節，課堂上就只能是教師自說自話了，根本無法體現知識的產生、發展過程。

新教材將正弦定理和余弦定理的內容放在平面向量的應用中，向量有著幾何與代數的雙重特征，是溝通幾何與代數的橋梁，而正弦定理和余弦定理就是將三角形從初中的定性分析轉化到高中階段的定量計算的有力工具，凸顯向量與解三角形之間的關聯。新教材將傳統先學習正弦定理再學習余弦定理的順序顛倒過來，一方面，余弦定理是解決已知兩邊及其夾角和已知三邊這兩類確定性問題的，而正弦定理中已知兩邊及一邊的對角，其解的情況就不唯一確定了。

2.新教材中正弦定理的教學設計

新教材把正弦定理和余弦定理放在平面向量的應用中，并借助向量的運算探索兩個定理的證明，突出向量在解三角形中的應用。教材將余弦定理的內容放在正弦定理之前，正弦定理的學習就可以類比余弦定理的探究思路和方法，更好地突破重難點，讓學生的認知過程更加自然順暢。

“大概念”是指抽象概括出的具有廣泛聯系整合作用并能夠廣泛遷移應用的概念。數學“大概念”包括高層次的數學觀點、觀念，具有核心地位的數學知識（概念和命題）、思想方法，具有本原性和派生性的數學問題和潛藏于數學中的科學及人文精神與價值等。新課標提出的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六個數學學科核心素養就是數學“大概念”。

通過不同方面、不同層次的“大概念”組織（重構）教學內容，體現數學的整體性，使學生的學習（理解）真正有“深度”。