基于Matlab／Simulink的PI調節器建模分析與限幅特性仿真研究

張厚升， 朱勝杰， 邢雪寧， 杜欽君， 趙艷雷

（山東理工大學電氣與電子工程學院，山東淄博255000）

0 引 言

對于自動控制系統來說，系統的穩態精度和動態性能指標常常是互相矛盾的［1-2］，依據自動控制理論，要解決這個矛盾，必須設計合適的動態校正裝置，用來改造系統。動態校正的方法較多，對于一個自動控制系統來說，能夠符合要求的校正方案也不是唯一的。在自動控制系統中，對于帶電力電子變換器的直流閉環調速系統［3-4］，傳遞函數階次比較低，一般采用PI調節器［5-8］就能完成系統動態校正的任務。

許多初學習者對于PI調節器的特性理解不夠深入，尤其是在采用Simulink進行自動控制系統建模仿真的時候［9-10］，調試的過程中出現問題最多的也是PI調節器，甚至得不到正確的仿真波形。通常，利用Matlab／Simulink對PI調節器進行建模有幾種不同的形式［11-12］，比較常見的一種是基于PI調節器傳遞函數建立的仿真模型，另一種是帶積分限幅的PI調節器仿真模型，對于這些不同的仿真模型，很少有人去關心其特性，只是根據PI調節器建立相應的系統仿真模型并進行仿真，仿真結果有時候會存在一些問題，卻找不到原因。本文旨在對采用PI調節器傳遞函數仿真模型和帶積分限幅的PI調節器仿真模型進行特性分析與建模仿真，研究其性能上的差異，以便使用者在進行自動控制系統Simulink仿真建模時選擇合適的PI調節器模型及其參數。

1 PI調節器的傳遞函數與特性分析

依據控制理論的相關知識，比例控制具有控制的快速性，但只能實現系統的有靜差調節；積分控制可以實現系統的無靜差控制，但系統的快速性卻較差，如果要實現系統的穩態精度高，同時又要實現動態響應快，可以把比例和積分兩種控制結合起來［1-2］，即采用PI調節器，實現系統的無靜差快速調節［13］。

PI調節器的輸出由比例和積分兩個部分疊加而成，其輸入-輸出的關系可以描述為

式中：Kp為PI調節器的比例放大系數；τ為PI調節器的積分時間常數。

PI調節器的傳遞函數可以表示為［1-2］：

如果令Ti＝Kpτ，則PI調節器的傳遞函數也可以表示為

或者

式中，Ti是微分項中的超前時間常數。這里需要注意，Ti和積分時間常數τ的物理意義是不同的。

依據式（3）、（4），可以用Simulink建立兩種不同的PI調節器仿真模型，但是這兩種仿真模型的效果是不一樣的，后文將會展開深入研究。

采用模擬控制時，在自動控制系統中，常用的PI調節器可以用運算放大器來實現，如圖1所示（采用數字控制時的基本原理類似，本文以模擬控制為主進行分析）。圖中uin和uex分別為PI調節器輸入電壓和輸出電壓，在圖1中，由于運算放大器的反相作用，uin和uex的極性是相反的（圖中所示的極性表明調節器的輸入信號和輸出信號是反相的）。電阻Rbal為平衡電阻，接在運算放大器的同相輸入端，通常其值的大小為運算放大器反相輸入端各電阻的并聯值。依據運算放大器的輸入-輸出關系，可以得到

圖1 PI調節器電路原理圖

式中：Kp＝R1／R0；τ＝R0C1。

在零初始狀態和方波輸入電壓uin下，PI調節器的輸出電壓uex的時間特性如圖2所示。當t＝0時突加輸入電壓uin，由于比例部分的作用，輸出量uex立即響應，馬上跳變為uex（t）＝－Kpuin，實現了系統的快速響應；之后uex（t）按照積分規律增長，uex＝－［Kpuin＋（uin／τ）t］，在t＝t1時，輸入電壓uin突變為零，uin＝0，uex＝（uin／τ）t1，PI調節器的積分調節作用使其后級的電力電子變換器輸出穩態電壓，足以克服系統的負載電流壓降［2-4］，實現系統的穩態轉速（或者其他變量）無靜差調節。

圖2 PI調節器的輸入-輸出特性

結合圖1，從圖2的特性圖上也可以看出PI作用的物理意義。由于系統處于零初始狀態，突加輸入電壓uin時，對于電容C1來說，由于電容兩端的電壓不能突變，相當于兩端瞬時短路，此時PI調節器相當于一個單純的反相比例放大器，所以輸出電壓會立即跳變到uex＝－Kpuin，保證了系統的快速響應。此后，電容C1被充電，輸出電壓uex開始積分，其數值線性增長。由圖2可見，如果輸入電壓uin一直存在或者輸入電壓uin的值比較大（該值決定了積分的斜率），電容C1就不斷被充電，不斷進行積分，直到輸出電壓uex達到運算放大器的限幅值－uexm為止，此時就稱運算放大器飽和。為保證線性放大作用并保護系統各環節，對具有積分作用的運算放大器設置輸出電壓限幅是非常必要的。在實際的轉速閉環控制系統中，當轉速上升到給定值時，PI調節器的輸入電壓uin＝0，此時積分過程也就停止了。對于圖2而言，在PI調節器的調節過程中，如果不考慮運算放大的飽和作用，在t＝t1時，輸入電壓uin＝0，此時PI調節器失去比例放大作用，因此系統的輸出電壓會有所降落，系統成為積分器維持電容C1上的電壓輸出，亦即積分電壓值輸出uex＝－（uin／τ）t1。

如果采用數字控制，可將式（1）或者式（5）的時域方程離散化為差分方程，用數字PI算法實現，但是其物理意義還是一樣的，在此就不再贅述。

由此可見，PI調節器綜合了比例控制和積分控制兩種控制規律的優點，揚長避短，互相補充，可以實現系統的動態快速控制和穩態無靜差控制。在閉環調速控制系統中，負載的擾動會引起輸入偏差電壓Δun的變化，圖3給出了PI調節器的輸入輸出的動態過程，不妨假設閉環調速系統的輸入偏差電壓Δun的波形如圖3所示，采用PI調節器的輸出電壓uc的波形③由兩部分疊加而成，即與輸入偏差電壓Δun成正比的波形①，輸入偏差電壓Δun的積分波形②，由此可見，控制電壓uc既具有快速響應的性能，又足以消除系統的靜差［2］，除此之外，PI調節器還是提高系統穩定性的校正裝置，因而PI調節器在調速系統［3-4，14］和其他控制系統中得到了極為廣泛的應用。

圖3 閉環系統中PI調節器的輸入和輸出動態調節過程

2 PI調節器的Simulink建模與性能研究

在自動控制系統中，PI調節器的傳遞函數既可以用Matlab語句表達，也可以用Simulink的傳遞函數模塊和比例模塊、積分模塊表達，使用Simulink模塊不僅方便，而且可以反映調節器的輸出限幅作用，但按照式（3）用Simulink傳遞函數模塊和按照式（4）用比例積分模塊建立的仿真模型的性能和效果是不一樣的，下邊分別進行研究。

2.1 PI調節器傳遞函數模型

依據式（3）用Simulink傳遞函數模塊建立的PI調節器的仿真模型如圖4所示。

圖4 PI調節器傳遞函數Simulink仿真模型

模型中用放大模塊Gain和傳遞函數模塊Transfer Fcn組成PI調節器的傳遞函數形式［11-12］。放大模塊Gain的放大倍數為Kp，利用傳遞函數模塊Transfer Fcn來設置PI調節器的積分時間常數，兩個脈沖模塊Pulse Generator和Pulse Generator1經過信號求和模塊Sum產生脈沖寬度可以調整的輸入信號，作為PI調節器的輸入源，以此觀察PI調節器在偏差輸入信號下的動態響應。Saturation模塊用來設置限制PI調節器的輸出電壓幅值，用示波器Scope觀察PI調節器在有、無限幅作用情況下的輸出電壓的波形，并分別與PI調節器的輸入信號進行比較。

系統的仿真參數見表1，選擇ode45算法，仿真時間設為2個周期（6 s），仿真結果如圖5所示。

表1 PI調節器傳遞函數模型的仿真參數

圖5（a）為PI調節器的輸入信號波形，圖5（b）為PI調節器無限幅的輸出波形，圖5（c）為PI調節器經過限幅后的輸出波形，由圖5（a）、（b）可見，在輸入信號脈沖值為“－1 V”的時間段內（t＝0～0.6 s），由于比例放大系數Kp＝2，因此PI調節器的輸出在t＝0時從2 V開始在積分作用下線性增長；在輸入信號脈沖值為“0 V”的時間段內（t＝0.6～1.5 s），PI調節器的輸出維持t＝0.6 s的輸出值20 V不變；在輸入信號脈沖值為“1 V”的時間段內（t＝1.5～2.1 s），由于輸入信號變負，積分器開始反相積分，PI調節器的輸出值開始降低。在t＝2.1 s時，輸入信號再次變為0，此時PI調節器輸出維持不變。由圖5（a）、（c）可見，如果PI調節器的輸出增加了限幅環節，那么PI調節器的輸出幅值就會被限制在設定值±10 V之間。

圖5 PI調節器傳遞函數模型的仿真波形

由圖5可知，PI調節器在正或者負的輸入信號作用下，其輸出信號也隨之增加或者減少；當輸入信號變為0 V時，PI調節器能維持前一時刻輸入變為0 V時的輸出值，該輸出電壓值與積分的時間（脈沖寬度）密切相關。一般情況下，自動控制系統都是采用PI調節器來消除系統的誤差，在系統輸出產生誤差時，PI調節器能立即產生可消除誤差的控制信號。從圖5所示的輸出波形上也可以看出，在系統存在誤差時，也就是PI調節器存在輸入電壓信號時，PI調節器能夠迅速按照積分規律產生輸出控制信號，在這里，PI調節器的積分時間常數Ti影響輸出控制信號上升或者下降的斜率（積分曲線的斜率），而且能夠在誤差為0（輸入電壓為0）時，保持之前PI調節器的輸出狀態，PI調節器的比例系數Kp抬高了PI調節器的輸出信號值，起著迅速加快調節的作用。

對于圖4所示的Simulink仿真模型而言，PI調節器的輸出信號是隨著積分時間而增長的，積分時間越長，PI調節器的輸出值也就越高，這與實際的PI調節器的工作情況是不相符的。這也是許多研究者建模時所容易忽略的一個問題，導致在采用該模型進行建模仿真時，得不出正確的結果。對于實際的PI調節器而言，不論是模擬的PI調節器，還是數字式的PI調節器，都會對積分環節加上幅值限制環節［8-10］，使其輸出不能隨時間無限制的增長。從圖5的仿真波形中可以看出，模型中的限幅模塊限制了調節器的輸出，但是在輸出限幅時，調節器的積分作用還在繼續起作用，從而使得系統在出現負偏差信號的時候，限幅輸出信號的下降時間要滯后于負偏差信號。從圖5（b）、（c）可以看出，在t＝1.5 s時，無限幅PI調節器的輸出信號值從20 V開始下降，但是有限幅環節的PI調節器輸出信號卻是在t＝1.75 s時開始從10 V下降，這也是容易造成自動控制系統超調的原因［15-16］。

2.2 帶積分限幅的PI調節器模型

帶積分限幅的實用PI調節器仿真模型按照式（4）在Simulink中搭建，式中的積分環節使用Integrator模塊來實現［6］，該Integrator模塊可以限制積分輸出的最大值，用Integrator模塊搭建的PI調節器的模型如圖6所示。圖中，可由增益模塊Gain1設置PI調節器的比例放大系數Kp，增益模塊Gain3用來設置PI調節器的積分時間系數Ki（Ki＝1／Ti），積分器Integrator模塊的限幅值可以設置成運算放大器的飽和輸出值，在仿真模型中設置成了±15 V，對于其他環節的參數，和前面圖4的參數基本相同，對該模型進行仿真，所得到的帶積分限幅的PI調節器的仿真波形如圖7所示。圖7（a）是PI調節器的輸入電壓仿真波形，圖7（b）是經過比例放大2倍后的運算放大器輸出波形，圖7（c）是積分器Integrator模塊飽和限幅之后的仿真波形，圖7（d）是限幅之后的PI調節器的輸出仿真波形。由圖7（c）、（d）中可見，由于積分器設置了±15 V限幅值，PI調節器設置了±10 V限幅值，PI調節器的輸出限幅值小于積分器的輸出限幅值，因此，輸入電壓信號在1.5 s由0 V變成負值之時，積分調節器的輸出值立即開始從正的限幅值＋15 V下降，但對于PI調節器來說，其輸出值卻是在1.6 s的時候開始從正的限幅值＋10 V下降，這兩個仿真波形之間存在著0.1 s的時間延時，這相當于由運算放大器組成的帶輸出限幅環節的PI調節器的退飽和延時。如果將積分調節器的限幅值和PI調節器的輸出限幅值都設置成＋10 V，那么圖7（c）、（d）的仿真波形將會完全一致，不會存在時間延遲。所以，在數字PI調節器中，為了減小閉環調節系統的退飽和超調量，通常取積分器的限幅值和PI調節器的輸出限幅值相同。

圖6 帶積分限幅的實用PI調節器仿真模型

比較圖5和圖7可知，在輸入脈沖信號完全相同的情況下，對于帶積分限幅的PI調節器模型和無積分限幅作用的PI調節器傳遞函數模型來說，其輸出是不同的，對系統的影響也是不一樣的。尤其是對于自動控制系統來說，在進行系統建模的時候，PI調節器采用帶積分限幅的PI調節器模型是非常重要的。為了使用上的方便，可以將該模型封裝為一個PI控制器子系統，使用的時候直接作為一個分支模塊使用就行了，只需要修改其相應的Kp、Ki、積分限幅值、PI調節器限幅值等幾個參數即可。這樣在將其應用到規模較大的復雜系統時會使得模型變得更加簡潔。

圖7 實用PI調節器模型的仿真波形

3 PI調節器輸入輸出特性的驗證

采用帶積分限幅的PI調節器模型也可以對PI調節器的輸入-輸出特性進行驗證，調整兩個Pulse脈沖，可以將PI調節器的輸入脈沖信號調整為正的方波電壓信號，如圖8（a）所示，在整個動態調節過程中，設置PI調節器一直處于不飽和狀態，由圖8（c）可見，在0～4 s時間段內，積分器從0開始反相線性積分，到4 s時，輸入脈沖信號變為0，積分器停止積分，并維持在－3.2 V。從圖8（d）可以看出，t＝0 s時，PI調節器的輸出就變為4 V，也就是說此時只有比例部分起快速調節作用，隨后PI調節器的輸出反相線性上升，直至t＝4 s時，輸出電壓信號達到－7.08 V。t＝4 s時，PI調節器的輸入電壓信號變為0 V，對于比例放大部分，已經失去了放大作用，此時PI調節器靠積分器的輸出來維持系統需要的穩態輸出信號，因此，在t＝4 s時，PI調節器的輸出信號由－7.08 V升至－3.2 V。從而也驗證了PI調節器在方波輸入電壓信號下的輸入-輸出特性。

圖8 方波電壓輸入信號下PI調節器的輸入輸出特性仿真

4 結 語

PI調節器是自動控制系統設計時的一個重要環節，尤其是在建模仿真分析的時候，PI調節器仿真模型構建的好壞將會直接影響自動控制系統的性能，因此建立合理的PI調節的仿真模型至關重要。本文在分析PI調節器的組成及輸入輸出特性的基礎上，研究了其Simulink仿真模型，得出以下結論。

（1）PI調節器可以用式（3）、（4）兩種不同的傳遞函數表示，可以依據這兩個公式分別建立PI調節器的仿真模型。

（2）依據式（3），利用Simulink的傳遞函數模塊建立的PI調節器仿真模型，無積分限幅作用，只能對整個PI調節器的輸出進行限幅，使得系統在出現負偏差信號的時候，限幅輸出信號的下降時間要滯后于負偏差信號，容易導致自動控制系統超調，與實際PI調節器的工作狀態存在一定的差異。因此不建議在構建自動控制系統仿真模型時采用該PI調節器仿真模型。

（3）按照式（4），利用Simulink的比例和積分模塊建立的帶積分限幅的PI調節器仿真模型，與實際PI調節器性能相符，可以靈活的設置積分器和PI調節器的限幅值，能夠有效減小閉環調節系統的退飽和超調量。為了使用上的方便，可以將其封裝為一個子系統進行使用。

（4）利用帶積分限幅的PI調節器仿真模型可以有效的驗證PI調節器在方波輸入信號作用下的輸入輸出特性。