在猜想、驗(yàn)證中提升小學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

路會(huì)芳 徐圓

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)猜想是指人們根據(jù)已知的某些數(shù)學(xué)知識(shí)和某些事實(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的某些理論、方法等提出一些猜測(cè)性的推斷，是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種思維方式。“沒(méi)有大膽的猜想，就不可能有偉大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)。”因此數(shù)學(xué)的進(jìn)步離不開猜想，它引導(dǎo)了數(shù)學(xué)前進(jìn)的方向。

數(shù)學(xué)教學(xué)同樣離不開猜想。猜想可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使之理解能力、分析、判斷能力等各種智力因素得到充分發(fā)揮，從而使整個(gè)思維活動(dòng)處于最積極、最活躍的狀態(tài)。猜想是發(fā)展學(xué)生個(gè)性，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的一種有效的方法。因此在教學(xué)中注重創(chuàng)造大膽猜想的空間，引導(dǎo)學(xué)生在猜想中推理，在驗(yàn)證中提升，增強(qiáng)學(xué)生通過(guò)主動(dòng)探究活動(dòng)從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

下面以北京版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《密鋪》一課為例，談一談在教學(xué)中是如何依據(jù)學(xué)情引導(dǎo)學(xué)生猜想，在猜想——驗(yàn)證——交流的過(guò)程中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、合情推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

一、根據(jù)原有認(rèn)知，點(diǎn)燃學(xué)生猜想的火花。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中》指出：教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)和因材施教。因此在學(xué)生理解了“密鋪”概念的基礎(chǔ)上，教師出示學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的六種平面圖形（正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形、一般四邊形），引導(dǎo)學(xué)生觀察并根據(jù)圖形的特征猜測(cè)能否密鋪，點(diǎn)燃學(xué)生猜想的火花。運(yùn)用信息技術(shù)，學(xué)生將各自猜測(cè)的結(jié)果上傳到學(xué)習(xí)平臺(tái)，此時(shí)師生能夠清晰的看到全班學(xué)生猜測(cè)情況的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，教師依據(jù)學(xué)情展開教學(xué)，進(jìn)行有針對(duì)性地引導(dǎo)。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，學(xué)生認(rèn)為正方形和長(zhǎng)方形能夠密鋪。正方形能夠密鋪這一事實(shí)在理解密鋪特點(diǎn)時(shí)進(jìn)行了演示，學(xué)生已經(jīng)有了直觀的認(rèn)識(shí)。“那么長(zhǎng)方形能夠密鋪的理由是什么呢？”教師進(jìn)行質(zhì)疑。學(xué)生回答：“長(zhǎng)方形和正方形都有四條邊和四個(gè)角，而且四個(gè)角都是直角。正方形能夠密鋪，長(zhǎng)方形也能密鋪”。學(xué)生抓住圖形的特征，通過(guò)類比推理得出了結(jié)論。猜想的結(jié)論是否正確呢？教師通過(guò)課件采用不同拼擺方法進(jìn)行了演示，一方面驗(yàn)證猜想的結(jié)論，另一方面啟發(fā)學(xué)生在密鋪時(shí)可以有不同的拼擺方法。

對(duì)于平行四邊形、三角形、梯形和一般四邊形學(xué)生猜測(cè)的結(jié)果則出現(xiàn)了分歧，尤其是一般四邊形，大多數(shù)同學(xué)都認(rèn)為不能密鋪。面對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況，教師從平行四邊形入手，分別讓學(xué)生闡述能否進(jìn)行密鋪的理由。認(rèn)為不能密鋪的學(xué)生說(shuō)到：“正方形和長(zhǎng)方形的邊都是橫平豎直的，而平行四邊形有兩條邊是傾斜的，所以不能密鋪。”認(rèn)為能密鋪的學(xué)生解釋道：“正方形和長(zhǎng)方形都是特殊的平行四邊形，所以能夠密鋪。”學(xué)生在各自闡述理由的過(guò)程中相互啟發(fā)，抓住圖形的特征溝通了內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步深化對(duì)圖形特征的認(rèn)識(shí)。學(xué)生又利用平行四邊形親自動(dòng)手進(jìn)行拼擺，驗(yàn)證平行四邊形能夠密鋪。通過(guò)這一過(guò)程不僅培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，也發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

對(duì)于三角形和梯形則在猜想的基礎(chǔ)上放手讓學(xué)生先自主進(jìn)行驗(yàn)證，再說(shuō)明理由，用事實(shí)來(lái)驗(yàn)證猜想。學(xué)生在動(dòng)手操作的過(guò)程中一邊思考一邊在不斷調(diào)整和修正自己的認(rèn)知，通過(guò)將三角形和梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形溝通了它們之間的聯(lián)系。接下來(lái)全班進(jìn)行展示、交流，學(xué)生再次將自己的拼擺情況與交流展示的作品進(jìn)行對(duì)比，肯定自己的結(jié)果或進(jìn)行反思。最終學(xué)生達(dá)成共識(shí)：三角形和梯形都能轉(zhuǎn)化為平行四邊形，所以都能夠進(jìn)行密鋪。達(dá)成共識(shí)后教師再次提問(wèn)：“在剛才我們驗(yàn)證的五個(gè)圖形中都能夠進(jìn)行密鋪，你認(rèn)為哪個(gè)圖形最為關(guān)鍵？”學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后一致認(rèn)為是平行四邊形。因?yàn)殚L(zhǎng)方形、正方形都是特殊的平行四邊形，梯形、三角形都能夠轉(zhuǎn)化為平行四邊形。通過(guò)這一問(wèn)題，溝通了五種圖形的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生有理有據(jù)地進(jìn)行合情推理的能力。

二、精心質(zhì)疑，讓學(xué)生的猜想勇往直前

“學(xué)起于思、思源于疑”，質(zhì)疑是開啟創(chuàng)新猜想之門的鑰匙，學(xué)生有了疑問(wèn)才會(huì)去思考、去猜想。有了以上五種平面圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于一般四邊形能否密鋪學(xué)生也一定有了新的思考。于是教師進(jìn)行質(zhì)疑：一般四邊形能夠進(jìn)行密鋪嗎？學(xué)生第二次進(jìn)行觀察、猜想，通過(guò)投票統(tǒng)計(jì)出結(jié)果。與第一次猜想的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，這次認(rèn)為能夠密鋪的人數(shù)明顯提高，這一結(jié)果說(shuō)明有了前五個(gè)圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)一般四邊形能否密鋪有了新的認(rèn)識(shí)。一般四邊形到底能否密鋪，還要用事實(shí)來(lái)證明。通過(guò)拼擺得出結(jié)論：一般四邊形也能夠密鋪。

教師進(jìn)一步質(zhì)疑，把猜想逐步引向深入，帶領(lǐng)學(xué)生勇往直前。我們繼續(xù)研究正五邊形、正六邊形和正八邊形，你們認(rèn)為它們能夠密鋪嗎？學(xué)生第三次進(jìn)行猜想、判斷，上傳自己的猜測(cè)結(jié)果。雖然學(xué)生的觀點(diǎn)依然存在著一定的分歧，但學(xué)生的猜測(cè)一定是與自己的認(rèn)知緊密聯(lián)系的，一定在頭腦中形成了初步的表象。在這一過(guò)程中就是對(duì)圖形特征的再認(rèn)識(shí)，對(duì)密鋪的深入理解。接下來(lái)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際、結(jié)合拼擺的結(jié)果驗(yàn)證了三個(gè)圖形是否能夠密鋪。

三、尋找內(nèi)在規(guī)律，讓學(xué)生的猜想內(nèi)驅(qū)力更強(qiáng)

猜想是一種探索性活動(dòng)，具有一定的規(guī)律和方法。在學(xué)生通過(guò)對(duì)多個(gè)圖形進(jìn)行觀察、猜想、驗(yàn)證后，已經(jīng)知道了哪些圖形能夠密鋪，哪些圖形不能密鋪。能夠密鋪的圖形到底具有什么樣的特點(diǎn)，存在著怎樣的規(guī)律，教師又把猜想推向了一個(gè)新的高度。此時(shí)學(xué)生調(diào)動(dòng)自己已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，拓展新思路，提出猜想性的推理，從而獲得新的結(jié)論，實(shí)現(xiàn)知識(shí)和技能的有效提升。

經(jīng)過(guò)仔細(xì)觀察，有的學(xué)生猜想圖形的密鋪與邊有關(guān)，有的學(xué)生猜想與圖形的角有關(guān)。雖然這個(gè)問(wèn)題在本冊(cè)教材中不要求進(jìn)行解決，但讓學(xué)生帶著好奇心、帶著自己的猜想進(jìn)一步進(jìn)行學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)、探究的內(nèi)驅(qū)力更強(qiáng)。

四、拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生插上猜想的翅膀

學(xué)貴有思，學(xué)思結(jié)合才能不斷提高學(xué)生的思維能力、解決實(shí)際問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)。學(xué)生帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂，也應(yīng)該帶著問(wèn)題走出課堂。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)得出了正五邊形不能密鋪的結(jié)論。在課尾教師提出：是不是所有的五邊形都不能密鋪呢？請(qǐng)同學(xué)們帶著你的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，也可以進(jìn)行相關(guān)資料的查找。這一問(wèn)題又把學(xué)生帶入了新的思考與猜想中，從課堂延伸到課外引導(dǎo)學(xué)生插上猜想的翅膀繼續(xù)探究。

有位哲人說(shuō)得好：“知識(shí)是創(chuàng)造的基礎(chǔ)，想像是創(chuàng)造的翅膀”，而想象的主要形式是猜想。猜想是一種超前思維，具有一定的猜測(cè)性，它能激起學(xué)生強(qiáng)烈的探究與驗(yàn)證欲望，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。因此在教學(xué)實(shí)踐中我們結(jié)合教學(xué)內(nèi)容努力去開發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力，在猜想中激發(fā)其探究問(wèn)題的興趣，在猜想中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，在猜想中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。