促進學生認知發展的教材開發與重構

摘? 要：遵循學生認知規律，對教材中“基本不等式”的問題情境、典型素材、研究方法等進行開發與重構，旨在幫助學生整體理解數學知識本質，促進學生認知發展.

關鍵詞：基本不等式;認知發展;教材開發;教材重構

無論哪個版本的教材都有其教學對象的適應性，教師在研析《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）和教材的同時，應深入了解學生的實際需要、能力水平和思維習慣等，創造性使用教材，促進學生全面、主動地建構知識體系. 具體而言，教師應基于《標準》，充分以學生的現有水平和實際需求為出發點，選取適合他們的學習材料，對這些材料進行加工、處理、整合，使教學內容成為適合學生學情的素材. 其目的是將數學的學術形態轉化為數學的學習形態，將教材的編寫結構轉化為學習結構，實現教學活動的最優化.

“基本不等式”是高中數學不等式部分的核心內容，《標準》將其編于“預備知識”這一主題中. 本文以此內容為研究對象，以蘇教版《普通高中教科書·數學》的內容為素材，談談基于學生認知發展的學材重構的淺薄思考，敬請指正.

一、情境設置：應基于學生認知起點進行考量

《標準》明確指出，要創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質. 合理的問題情境使學生置身于簡潔明了、指向清楚的認知任務中，能有效激發學生的求知欲和學習心向. 反之，遠離學生認知起點的問題情境則不能揭示知識本質，而且會加重學生的表征負擔和認知障礙. 例如，用不等臂天平稱物的情境引入幾何平均數和算術平均數，旨在從實際情境中抽象出數學對象，有利于培養學生的數學建模能力. 但是在實際教學中，部分學生不能充分調動已有認知進行建模活動，也想不到運用杠桿原理處理問題，這樣就拉長了數學對象出現的時間，沖淡了情境的教學功能.

情境的創設應具有能揭示知識本質的導向功能，能引發學生有效建構知識并提供具體而準確的現實原型，實現引領學生進入知識內部的邏輯形式和意義領域. 為此，在創新使用教材的理念下，我們可以淡化兩個平均數的發現過程，以公理化的視角從數學內部引入新知. 從實數的非負性或重要不等式[a2+b2≥2ab]引入基本不等式. 這樣引入的邏輯起點符合學生的認知起點，學習對象指向精確，減少了因理解情境和表征對象導致的認知負荷，將學習的重心落在如何理性認識并深度認識基本不等式這一核心目標上. 因此，可以設置如下情境.

這樣設計的意圖是基于知識之源，突出知識的生長性. 首先，“基本事實”是基本不等式的根，從學生已有認知結構中的“本源”出發進行上位組織，新知識在“基本事實”引領下的生成具有生長性，這種生長性體現在還可以將“基本事實”中的[x]賦成其他對象得到新的恒成立不等式. 其次，對衍生出的恒成立不等式也有多元的操作方式，如還可以用[m=1a，n=][1b]進行代換得到[21a+1b≤ab]. 也可以在其兩邊同時加上一些項，如同時加上[m2+n2]，得[2m2+n2≥m+n2].這恰好是最簡單的二維柯西不等式形式. 由此可見，這樣的情境設置體現了“基本不等式”中“基本”的內核所在，即根本的、本源的屬性.

當然，情境重構的前提應是基于學生的認知水平和學習需求，并且要以學生的認知發展為目標. 脫離學生認知起點和需求的重構行為是毫無意義的.

二、幾何解釋：要遵循學生的認知規律和認知方式

教學中，在提出問題“兩個正數[a，b]的算術平均數和幾何平均數之間具有怎樣的大小關系”后，直接引導學生以幾何的視角對其進行驗證猜想，并嘗試作出長度為[ab]和[a+b2]的兩條線段. 實際上，如果沒有教師的引導，學生在同一個圖形（如圖1，其中AC = a，BC = b）中作出這樣的幾何對象是非常困難的.

從整個認知的路線看，這里也略顯突兀：從情境中抽象出對象[ab]和[a+b2]，再通過數值驗證兩者的大小關系，至此的認知活動以“推理—演算”為主要方式，正當學生初步形成建立兩者關系的“感覺”時讓學生切換認知方式，從另一個認知視角（即幾何）來驗證正處于“模糊”狀態下的認知對象. 一方面，會導致學生在認知方式的轉頻上產生間歇性困難，學生可能會出現思維上的斷層;另一方面，根據概念二重性理論，一個概念的形成要從過程開始，然后轉變為對對象的認知過程. 顯然，之前的代數值驗證活動是概念認知的過程階段，此時的認知更多是感性的，而之后的“作圖驗證”屬于幾何表征，是在獲得結論（即[a+b2≥ab]）的基礎之上進行的概念認知的對象階段，很明顯這個過程中出現了認知方式上的混亂，不利于概念的理性建構.

筆者認為，本節課的認知路線應該是“不等式的發現—不等式的證明—不等式的欣賞”，遵循從感性認識到理性認識再到深度認識的逐步認知數學對象的原則. 基于此，建議將素材的順序調整為：發現[a+b2≥][ab]—代入數值進一步驗證—運用不同的方法進行證明—從其他角度（幾何、函數等）進行欣賞，促使學生形成深度理解.

這樣的調整是將幾何表征作為概念建構后進行數學欣賞的一個視角，具有可操作性，并且這樣的設計也有可生長性. 例如，在后面學習了初等函數后，可借助初等函數的性質來幫助學生進一步理解基本不等式的本質屬性. 實際上，在學習了冪函數、指數函數、對數函數后，教材中都設置了“比較[fx1+fx22]與[fx1+x22]的大小關系”的題目. 這樣的設計既是基于對知識整體認知的考慮，也為再度理解基本不等式的本質提供了新視角.

三、證法選擇：從單元學習的視角進行整體認知

布魯納說過，無論我們選教什么學科，都務必使學生理解學科的基本結構. 從整個學習單元來看，實數大小關系的基本事實是解決等式、不等式問題的邏輯基礎. 通過類比等式的性質獲得不等式的性質，并以此進一步研究基本不等式等是本章的學習主線. 因此，研究基本不等式的認知起點應是實數的大小關系. 筆者認為，作差法應該是證明基本不等式的首選方法，這樣的選擇體現了單元教學的邏輯性，突出了知識的生成是之前認知的延續與生長.

分析法的核心是從證明的結論出發，逐步尋求使其成立的充分條件. 在前一章中學生已經學習了命題和充要條件，能夠認識到進行證明的邏輯依賴于命題的充要性，而實施分析法的充要性就是以本章上一節中的不等式的性質為邏輯依據，分析法實際上是在不等式性質的基礎上進行的推理展示. 盡管這樣的逆向思維是學生之前認知結構中所沒有的，但是它是基于已有認知的邏輯存在. 因此，分析法是符合學生認知整體性和邏輯性的.

綜合法的證明過程實際上是前文所述的基于基本事實的演繹過程，即從[?x∈R]，[x2≥0]出發，取[x=][a-b]進行的變形，通過分析，認為將其視為發現對象的途徑比其作為證明方法的教學功能更豐富.

通過以上分析可知，方法的選擇要充分考慮方法在學生認知系統中的整體性，并且還要考慮選擇的方法對學生解決相關問題的思維方式形成方面的影響. 因此，三種方法的使用可以調整成如下的組織結構：綜合法作為不等式發現的方法—從比較大小的角度選擇作差法證明—從運用不等式性質及邏輯的角度選擇分析法證明.

值得說明的是，這三種方法是不是都要講？是不是一定要照此來講？教無定法，貴在得法. 筆者認為，應該以單元學習的整體視角來審視證明方法的選擇，有什么樣的目標定位就選擇什么樣的證明方法（或方法的組合），靈活整合這些方法進行講評，不能孤立地將其作為證明的某一種方法進行傳授，而應作為整體認知中某一個邏輯點來考量.

四、弦圖處理：在已有活動經驗中進行深度認知

趙爽弦圖是經典的教學素材，其結構精妙、內涵豐富，是數與形完美統一的典范. 各版新教材很重視對該素材的使用及教學功能的開發：人教A版在正文中以“探究”的方式認知趙爽弦圖中蘊含的相等關系和不等關系;北師大版在閱讀材料介紹趙爽弦圖并揭示其中蘊含的不等關系;蘇教版以“練習題”的方式要求學生指出趙爽弦圖的構成，并直接說明其中存在著的不等關系;湘教版在正文中以問題的形式構建出[a2+b2>][2ab]. 除此之外，我們還可以充分挖掘趙爽弦圖的教學功能，引導學生在已有活動經驗的基礎上進行深度的認知活動.

學生在初中階段已經借助趙爽弦圖研究了勾股定理，學習基本不等式時再次運用趙爽弦圖進行研究，學生已經具備一定的認知經驗——同樣的圖象背景和認知方式（均是從幾何圖形中構建代數關系），不同的問題指向（從等量關系到不等關系），這些都是認知經驗的延續與拓展. 實際上，在教學中可以引導學生利用該學材進行以下探究性活動.

顯而易見，上述探究活動和之前通過弦圖發現（或幾何解釋）基本不等式的認知方式保持一致，是在已有活動經驗下進行的探究，而且獲得的結論是經典的不等式鏈，學生能夠再次感受到幾何圖形中蘊含著的代數關系的統一美與和諧美，進而帶著這樣的認知經驗和鑒賞體驗去探求更豐富的數學結論，這無疑對學生進行深度認知是有促進意義的.

總之，教材是教學活動開展的行動指南. 在使用教材的過程中，不僅要充分尊重教材，理解教材編寫思路和編者意圖，充分認識教材所承載的學科功能與教育價值，還要理性考量教材中的素材，創造性地使用教材，以學生的認知和數學的邏輯來審視教學素材，結合教學的實際情況進行重構，真正發揮教材的教育教學價值，促進學生對知識本質的理解.

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