讓學生學會研究函數的一般方法

董志軍

摘? 要：函數是高中階段的重要內容. 一些學生只是記住了學過的函數的圖象和性質，對函數概念的理解不夠深入，這就導致學生在研究陌生函數時無從下手. 結合具體實例，給出高中學習函數的三個階段進行教學設計的方法，以期提高學生研究陌生函數的能力.

關鍵詞：函數圖象;函數性質;教學設計

函數是新課程的主線之一，對函數的研究是高中數學教學的重中之重. 本文從一道填空題切入，探討在教學過程中培養學生研究陌生函數的方法.

很多學生不能準確解答此題，究其原因是面對一個陌生函數，學生無從下手. 如何解決這個問題呢？還得從函數的教學說起. 筆者整體考慮高中三年的函數教學，分為三個階段，設計如下.

一、感受利用函數性質作圖

在高中初學函數時，無論哪個版本的教材，都是先學習函數的定義和表示方法，然后學習函數的性質（如單調性、奇偶性、零點等）. 在實際教學中，筆者也是按照這樣的教學安排授課，但是由于沒有讓學生充分體會學習函數性質的必要性，導致學生在遇到陌生函數時，不能靈活運用函數的性質作圖. 為了改變這種現象，筆者將函數教學設計改進如下.

面對陌生的函數，學生剛開始可能沒有思路，只能運用描點法作圖. 但是在描點的過程中，學生慢慢感悟到了經驗，對函數的性質也有了直觀的認識.

對于函數①，學生在描點時發現，點的橫坐標不能取負數，函數只在區間[0，+∞]上有圖象，進而體會定義域對圖象的影響. 繼續分析，可得[fx≥0]，所以除了原點，其余的圖象一定在第一象限，那么這部分圖象該怎么畫呢？在描點的基礎上，學生總結出[y]隨[x]的增大而增大，所以圖象從左往右看是上升的.

對于函數②，學生在描點時發現，若點[2， 15]在圖象上，那么點[-2， 15]一定也在圖象上. 進而發現，若點[x0，y0]在圖象上，則點[-x0，y0]一定也在圖象上，所以函數的圖象一定是關于[y]軸對稱的. 然后學生就發現函數③④與函數②一樣，函數圖象都是關于[y]軸對稱的.

對于函數⑤，受前面解決問題方法的啟示，學生能夠發現，若點[x0，y0]在圖象上，則點[-x0，-y0]一定也在圖象上，所以函數的圖象一定是關于原點對稱的. 然后學生就會發現函數⑥與函數⑤一樣，圖象都是關于原點對稱的.

教師適時點評，像②③④這樣圖象關于[y]軸對稱的函數叫做偶函數，像⑤⑥這樣圖象關于原點對稱的函數叫做奇函數，稍后我們會學習. 如果函數具有這樣的性質，那么我們只需重點研究[y]軸一側的函數圖象即可得到完整的函數圖象.

經過這樣的探究過程，使學生對函數的探究有了一定的感悟，為之后學習函數的性質（單調性、奇偶性、零點等）奠定了基礎，對于研究函數是很有必要的. 同時，經過一段時間的訓練，學生能夠掌握陌生函數的研究方法，即從定義域、值域、單調性、奇偶性、零點等方面入手來研究.

二、借助三角函數，學習利用周期性和對稱性作圖

正弦函數的教學安排一般是先學習正弦函數的定義，再利用單位圓內的正弦線作出圖象，然后研究正弦函數的性質. 在實際教學中，筆者發現很多學生學習完正弦函數之后，常常不理解為什么正弦函數有多條對稱軸和多個對稱中心. 遇到一個陌生函數時，也不能正確判斷函數是否具有對稱性. 為此，筆者將正弦函數教學設計改進如下.

在作出正弦函數的圖象后，學生肯定會發現圖象有對稱軸和對稱中心. 如何證明呢？筆者在習題課上安排時間引導學生進行研究.

經過這樣的探究過程，讓學生慢慢體會到，遇到一個陌生函數，如何猜測這個函數是否有周期性和對稱性，并學會證明自己的猜想.

三、借助超越函數，學會合理利用導數作圖

經過前兩個階段的學習和訓練，相信學生在探究這兩個函數圖象的時候，已經能順利判斷出每個函數的定義域、奇偶性和零點等性質. 但是在探究單調性和極值（最值）的時候，肯定會遇到困難. 教師適時引入導數，給學生展示由導數判斷函數單調性的過程. 學生會驚訝于這么簡潔的過程，從而激發學生進一步學習導數的興趣，也使學生能夠實實在在地感受到導數的作用. 通過后續學習，學生還會慢慢體會到：面對一個陌生函數，不一定要馬上求導，可以先研究這個函數的初等性質，如果有需要，再求導.

經過以上三個階段的學習，再輔之以一定的練習，相信學生再遇到陌生函數時，會有信心、有方法去研究. 更重要的是，學生會逐漸掌握研究陌生函數的一般方法.

對本文開頭引用的題目，分析如下.

這樣，選出此題的答案②③，就很容易了.

根據學情不斷進行教學改進與優化，必將換來學生分析問題和解決問題能力的提高. 教師通過教學設計有意識地引導學生，使學生不僅知其然，還能知其所以然，學生分析問題能力的提升也會水到渠成.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《普通高中數學課程標準（2017年版）》解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.