讓思維插上科學(xué)的翅膀

張鵬 曹永芹

摘? 要：思維的價(jià)值在于它是探尋本質(zhì)的方法，是獲得結(jié)果的過程，更是潛能發(fā)展的必需. 近幾年來，教學(xué)中越來越注重對學(xué)生思維能力的培養(yǎng). 文章以一道解析幾何試題為切入口，通過周密審題、思路探究、解題策略、深度思考四個方面，淺談對培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維能力的一些思考.

關(guān)鍵詞：科學(xué)思維;周密審題;思路探究;解題策略;深度思考

科學(xué)思維，也叫科學(xué)邏輯，即形成并運(yùn)用于科學(xué)認(rèn)識活動、對感性認(rèn)識材料進(jìn)行加工處理的方式與途徑的理論體系. 它是真理在認(rèn)識的統(tǒng)一過程中對各種科學(xué)的思維方法的有機(jī)整合，是人類實(shí)踐活動的產(chǎn)物.

思維的價(jià)值在于它是探尋本質(zhì)的方法，是獲得結(jié)果的過程，更是潛能發(fā)展的必需. 近幾年來，教學(xué)中越來越注重對學(xué)生思維能力的培養(yǎng). 隨著我國教育體制改革的推進(jìn)，以及社會對人才素質(zhì)要求的提高，對學(xué)生綜合能力和素質(zhì)的培養(yǎng)提出了更高要求，所以教師在教學(xué)上應(yīng)該加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)思維能力.

數(shù)學(xué)題目中包含著典型的數(shù)學(xué)思想和深刻的數(shù)學(xué)思維. 教師精選出富有探究性和能夠切實(shí)提升學(xué)生思維能力的典型題目，經(jīng)過適當(dāng)?shù)耐茝V、變式、轉(zhuǎn)換、分解等立體式的精心設(shè)計(jì)，在深度上挖掘“資源”的深刻性，在廣度上拓展“資源”的功能性. 進(jìn)而在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生揭示問題的本質(zhì)，從不同角度發(fā)現(xiàn)問題的真諦. 這樣，方能有效拓寬學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.

筆者以一道解析幾何題目作為切入口，通過周密審題、思路探究、解題策略、深度思考四個方面，淺談對培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維能力的一些思考，期盼能夠啟發(fā)學(xué)生思維，使學(xué)生的思維更具深度，進(jìn)而產(chǎn)生觸類旁通、舉一反三的教學(xué)效果.

一、重周密審題，促進(jìn)思維發(fā)展

審題是對題目中原有條件的正確理解、合理改造和深入加工. 很多錯解產(chǎn)生的根源就在于審題能力不足. 例如，審題不清而看錯信息，審題不嚴(yán)而遺漏信息，審題不準(zhǔn)而“想當(dāng)然”地加工信息，審題不深而找不出條件間的必然聯(lián)系. 可見，細(xì)致周密的審題是解題成功必須具備的前提條件. 波利亞認(rèn)為，學(xué)生沒有弄明白問題就開始演算與作圖是解題中最糟糕的現(xiàn)象. 因此，波利亞的《怎樣解題》將解題這一過程進(jìn)行了步驟的分解，其中，“弄清問題”這一步便是要求學(xué)生從多角度進(jìn)行題意的觀察，使得問題的實(shí)質(zhì)得到洞察并因此確定解題方向. 由此可見，審題對于學(xué)生思維的啟動是最為關(guān)鍵的.

1. 抓題中“幾何動作”，按“動作”順序作圖

解析幾何的研究對象是幾何圖形，故而充分理解和深入挖掘幾何圖形的特征和性質(zhì)應(yīng)優(yōu)先于代數(shù)的運(yùn)算，即先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決.

有些學(xué)生一看到解析幾何題目就束手無策，這都是因?yàn)椤盁o形”. 圖形在求解解析幾何問題中起著非常重要的作用，教師著重于在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力. 幾何直觀本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探究解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果. 幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用.

在此題中，我們可以抓住以下“幾何動作”理解題目.

通過從幾何直觀的角度審視題目，將文字描述語言形象化、圖象化表達(dá)，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解和分析問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的形象思維，意在做題之前做到胸有成竹.

2. 幾何條件代數(shù)化，點(diǎn)線關(guān)系不缺失

正所謂“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，幾何條件代數(shù)化就是借助數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明圖形的某些屬性，通過數(shù)理論證、數(shù)量刻畫，以獲得結(jié)論，即以數(shù)為手段、以形為目的.

在此題中，我們可以將一些幾何條件用相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行表達(dá)，即將幾何條件轉(zhuǎn)換為代數(shù)關(guān)系.

（3）將條件“直線[AP]與橢圓[C]交于另一點(diǎn)[B]”表達(dá)成“交點(diǎn)[B]（聯(lián)立方程組可得其坐標(biāo)）在橢圓上，滿足橢圓[C]的方程”.

（4）將條件“判斷直線[AB]與直線[OP]的位置關(guān)系”表達(dá)成“[kAB=kOP]”.

將題目中的幾何條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號，是學(xué)生具有抽象化思維的具體體現(xiàn). 符號是數(shù)學(xué)的基本工具，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容. 熟練掌握用數(shù)學(xué)符號表達(dá)數(shù)學(xué)對象有助于學(xué)生對題目信息的加工和處理.

對于點(diǎn)[A]和點(diǎn)[B]，我們應(yīng)有充分的理解. 點(diǎn)是解析幾何中最基本的元素，對點(diǎn)的認(rèn)識與表征是否到位，在解析幾何問題的解決上有著重要的意義，即要認(rèn)清點(diǎn)的多重身份. 學(xué)生都很清楚“若點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程”，而“點(diǎn)又可以看成是曲線的交點(diǎn)”，對于點(diǎn)的這一重身份的認(rèn)識與運(yùn)用，學(xué)生就顯得相對薄弱. 波利亞在其著作《數(shù)學(xué)的發(fā)展》第一章“雙軌跡模型”中列舉了大量的例子，足以說明幾何中對點(diǎn)的這一認(rèn)識的重要性. 在教學(xué)中，教師有必要讓學(xué)生對點(diǎn)與曲線的關(guān)系有這樣的辯證認(rèn)識. 而且在解析幾何問題中，點(diǎn)在某曲線上往往是直接給出的，然而要把點(diǎn)看成是曲線的交點(diǎn)，有時(shí)需要一定的分析才能顯現(xiàn)出來，這又加大了問題解決的難度.

因此，對題目條件進(jìn)行不同角度的分析與挖掘，將對點(diǎn)[A]和點(diǎn)[B]的身份有不同的認(rèn)定. 這樣多角度地思考問題，既會產(chǎn)生不同的解題方法，又有利于提升學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力.

二、重思路探究，體驗(yàn)思維過程

大家往往會認(rèn)為平面解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法來研究幾何問題，其過程中的運(yùn)算要有毅力. 笛卡兒將坐標(biāo)法引入幾何，解決了“形缺數(shù)時(shí)難入微”的問題，而且實(shí)現(xiàn)了“以算代證”的算法統(tǒng)一，但是這并不意味著要拋棄傳統(tǒng)的挖掘幾何圖形性質(zhì)的研究方法.

對題目中的信息進(jìn)行分析、整理、合成，這是思維的過程. 教師引導(dǎo)學(xué)生多角度、縱深交錯、逆向、高位地分析信息間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生充分體驗(yàn)研究問題的思維過程，在一系列的思維活動中，培養(yǎng)和提升學(xué)生的科學(xué)思維能力.

在分析題目第（2）小題時(shí)，教師可以對學(xué)生提出如下問題，讓學(xué)生進(jìn)行思考.

問題1：試猜想直線[AB]與直線[OP]有怎樣的位置關(guān)系？有何根據(jù)？

問題2：如何理解題目中的“對稱”關(guān)系？它有怎樣的幾何或者代數(shù)的等價(jià)轉(zhuǎn)換？

問題3：如何理解點(diǎn)[B]？它是橢圓[C]上的點(diǎn)還是幾何圖形的交點(diǎn)？將點(diǎn)[B]與其他幾何圖形一起分析，又能帶來怎樣的幾何或者代數(shù)的等價(jià)轉(zhuǎn)換？

問題4：經(jīng)過上面的深入思考，如何確定直線[AB]與直線[OP]的位置關(guān)系？是“從條件談起”還是“從結(jié)論入手”？

問題5：嘗試?yán)砬迤渲械倪壿嬯P(guān)系，以流程圖的形式呈現(xiàn)解題思路.

解題思路流程圖能夠清楚地展現(xiàn)解題的邏輯思維，能將解題策略以流程圖的形式具體表現(xiàn)出來，能幫助學(xué)生理解題目中條件與結(jié)論之間的內(nèi)部關(guān)系. 對于題目的第（2）小題，給出如下兩種解題思路及對應(yīng)的解題思路流程圖.

思路1：從條件談起.

題目條件中的“幾何動作”詳細(xì)地描述了幾何元素之間的關(guān)系. 因此，我們可以從條件出發(fā)分析題目，設(shè)計(jì)解題流程圖. 我們由圖1易知直線[PB]和直線[PA]關(guān)于直線[l]對稱，因此這兩條直線的斜率互為相反數(shù). 故而，只需將兩條直線中的一條與橢圓聯(lián)立方程求解得出交點(diǎn)坐標(biāo)，另一交點(diǎn)坐標(biāo)可由斜率關(guān)系得到. 可以看出，求解點(diǎn)[A，B]的過程是一樣的、相關(guān)的，因此，在設(shè)計(jì)解題流程時(shí)可以“并行”設(shè)計(jì). 這樣，就能順利得出直線[AB]的斜率[kAB，] 進(jìn)而與直線[OP]的斜率[kOP]進(jìn)行比較便可得證. 解題流程圖如圖2所示.

【評析】解法1重點(diǎn)研究了“對稱”關(guān)系，具體體現(xiàn)為對稱直線的斜率關(guān)系和隱去點(diǎn)[A，] 將點(diǎn)[A]的作用轉(zhuǎn)嫁到點(diǎn)[B]. 進(jìn)而靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系，得出直線[AB]的斜率，省去了很多運(yùn)算過程.

思路2：從結(jié)論入手.

從結(jié)論入手是利用分析的思維方法思考問題，將它運(yùn)用到解析幾何當(dāng)中進(jìn)行求解是常用的方法. 首先，我們猜測直線[AB]與直線[OP]的位置關(guān)系，并將此結(jié)論作為已知進(jìn)行證明，進(jìn)而得到與題目條件相符合的情況. 在此題中，由圖1可以猜測直線[AB]與直線[OP]是平行的，故而兩條直線的斜率相等，便知直線[AB]的斜率，得到直線[AB]的方程. 再由對稱關(guān)系得到直線[PA]的斜率，得到直線[PA]的方程. 依照題目中的“幾何動作”，我們將直線[AB]與直線[PA]聯(lián)立求得點(diǎn)[B]的坐標(biāo)，再將點(diǎn)[B]代入橢圓方程，成立即可. 解題流程圖如圖3所示.

【評析】解法2先假設(shè)兩條直線平行，利用假設(shè)，求出點(diǎn)[B，] 再將點(diǎn)[B]帶入橢圓方程，若成立，則假設(shè)成立. 其中，先利用“對稱”關(guān)系求出點(diǎn)[A]的坐標(biāo)，將點(diǎn)[B]理解為兩條直線的交點(diǎn)，進(jìn)而將點(diǎn)[B]帶入橢圓方程，化簡即可.

三、重解題策略，優(yōu)化思維品質(zhì)

思維是智力與能力的核心. 思維是人腦對客觀事物的本質(zhì)與事物內(nèi)在的規(guī)律性關(guān)系的概括和間接的反映. 思維的本質(zhì)是具有意識的人腦對客觀事物的反映，它反映的是一類事物共同的、本質(zhì)的屬性，以及事物間內(nèi)在的、必然的聯(lián)系.

思維品質(zhì)，實(shí)質(zhì)是人的思維的個性特征. 思維品質(zhì)反映了個體智力或思維水平的差異，主要包括深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性、敏捷性和系統(tǒng)性六個方面. 優(yōu)秀的思維品質(zhì)來源于優(yōu)秀的邏輯思維能力. 良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，尤其是對數(shù)學(xué)思維敏捷性的考查更加體現(xiàn)了高考命題的獨(dú)具匠心.

有研究表明，中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)選擇能力是影響學(xué)習(xí)成績的重要因素，兩者呈現(xiàn)較高的正相關(guān). 解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題，即通過引入變量建立方程或函數(shù)關(guān)系解決問題. 在具體的解題過程中設(shè)什么未知量是一個值得仔細(xì)考慮的問題. 很多學(xué)生做題時(shí)處于一種慣性狀態(tài)，一有思路便立即進(jìn)入運(yùn)算階段，而不去分析要算什么、怎么計(jì)算會更好，結(jié)果導(dǎo)致問題求解困難.

從例題兩種解法的思考角度可以看出，解法1比解法2的運(yùn)算要簡單一些，思維上有“妙”之所在，抓住了解決問題的本質(zhì)，恰當(dāng)利用“對稱關(guān)系”，巧妙算出點(diǎn)[B]的橫坐標(biāo)，使問題得到簡化. 解法2雖然在運(yùn)算能力上有一定的要求，但整體思路清晰明確，常規(guī)易想.《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題.

兩種解法在思維上都有可以借鑒之處，在解題教學(xué)中應(yīng)該及時(shí)給予總結(jié)和突破. 解題教學(xué)不僅要教會學(xué)生解題，更重要的是思維層面的點(diǎn)撥與培養(yǎng)，這樣便不失解題教學(xué)的意義. 因此，重解題策略的優(yōu)化與選擇，方能使學(xué)生思維的靈活性、廣闊性和深刻性得到訓(xùn)練.

四、重深度思考，提升思維創(chuàng)新

一切問題的根源都在于思考，而更重要的在于深度. 這里的深度不僅指縱向的，也指橫向的，或者說即綜合了各種情況，又選取幾種情況進(jìn)行更進(jìn)一步的挖掘. 深度思考的目的，是要解決問題，是踐行三思而后行.

深度思考，方能完善認(rèn)知、提升思維. 只有對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法理解透徹、融會貫通，才能提出新看法、巧解法. 針對上述例題，筆者做出如下思考.

思考1：如果弱化第（2）小題中“點(diǎn)[A]為第四象限內(nèi)一點(diǎn)”這個條件，我們能否判斷直線[AB]與直線[OP]的位置關(guān)系呢？

在題目的探究過程中，逐步深入、環(huán)環(huán)相扣，運(yùn)用多途徑、多思維進(jìn)行探究、拓展和變式思考，馳騁想象，縱橫聯(lián)想，觀察分析數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì). 在挖掘問題及解決的過程中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想，同時(shí)猜想探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)規(guī)律. 這種回歸問題本身的探究思考，既使得錯綜復(fù)雜的幾何圖形有了“四面湖山收眼底”的美感，又提升了學(xué)生的科學(xué)思維能力，能夠引起學(xué)生對經(jīng)典試題的重視，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

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