九層之臺 起于累土

摘? 要：通過對一道解析幾何題進(jìn)行多角度的解法探索、背景探源，挖掘題目的評價(jià)功能，感悟解析幾何的本質(zhì)，賞析高考命題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，并給出新高考備考的幾點(diǎn)建議.

關(guān)鍵詞：高考命題;解析幾何;數(shù)學(xué)運(yùn)算

一、問題探究

此題是教育部考試中心為2021年參加全國新高考的八省（河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶）命制的適應(yīng)性試卷中的一道選擇題. 此題對拋物線方程的求法、直線與圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線的方程等解析幾何基礎(chǔ)知識均有考查，體現(xiàn)了高考命題的基礎(chǔ)性和綜合性.

【評析】由此可見，無論是設(shè)點(diǎn)的參數(shù)，還是設(shè)斜率的參數(shù)，都是充分利用題目條件化歸為點(diǎn)B，C縱坐標(biāo)的關(guān)系. 解法3 ～ 解法5都是利用“同構(gòu)”的想法避免了點(diǎn)B，C坐標(biāo)的求解，這種求直線方程的方法由教材中經(jīng)典習(xí)題的解法而來.

解法5從幾何角度出發(fā)，充分利用圖形的特殊性，點(diǎn)A恰在圓心的正上方，切線的斜率變得很直觀. 于是，題目中圓的作用是構(gòu)造傾斜角互補(bǔ)的兩條直線. 化靜為動(dòng)，倘若過點(diǎn)A作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，由此產(chǎn)生的動(dòng)直線BC的斜率是不變的，其值是點(diǎn)B，C重合（極限位置）于拋物線上一點(diǎn)處的切線斜率，即點(diǎn)A處的拋物線切線斜率的相反數(shù)，這是拋物線中的一個(gè)經(jīng)典定值問題.

此題為2004年高考北京卷理科第17題，一出現(xiàn)便成為解析幾何探尋動(dòng)中之靜的經(jīng)典題目，相關(guān)變式在各類試卷、資料中屢見不鮮. 例如，2009年高考遼寧卷第20題（題源3）. 在其他圓錐曲線中類似構(gòu)圖，也會得到定值結(jié)論.

題源3：已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)[A1， 32，] 兩個(gè)焦點(diǎn)為[-1，0， 1，0.]

（1）求橢圓C的方程;

（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.

于是，利用該結(jié)論，再配合排除法，可以得到如下解法.

二、備考建議

“一核、四層、四翼”的高考評價(jià)體系，推動(dòng)著高考命題由能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向的變革. 近年來的高考全國卷在題型、情境、設(shè)問方式等方面不斷進(jìn)行改革，命題越來越靈活，導(dǎo)致新高考“難度加大”“閱讀量增加”等輿論四起. 對這套試卷，有人給出了“前面不送分，后面不送命，難易無序，題題都勾魂;左看無熟題，右看無套路，主次不明，處處皆重點(diǎn)”的批語，在一定程度上反映出師生對將要面對的新高考的迷茫. 縱使摸不透高考考查的新動(dòng)向，但通過“四翼”實(shí)現(xiàn)對學(xué)生“四層”有效考查的評價(jià)體系已經(jīng)明確，故教師應(yīng)以不變應(yīng)萬變，扎實(shí)做好復(fù)習(xí)工作.

1. 強(qiáng)化基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

高考注重考查基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性. 此題將直線、拋物線、圓等結(jié)合起來命題，具有一定的綜合性，但所考查的都是解析幾何中的基礎(chǔ)問題和典型問題. 高考改革并不意味著要全盤否定原來的考查內(nèi)容，只要是合適的材料，置于合適的情境中，能考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，都可以成為新高考中考查的題目.

從學(xué)生最易入手的解法1來看，題目考查了學(xué)生在熟悉的數(shù)學(xué)情境中，根據(jù)問題的特征建立合適的運(yùn)算思路解決問題（數(shù)學(xué)運(yùn)算的水平一）的能力，這是每名學(xué)生都應(yīng)達(dá)到的要求. 由此可見，對于解析幾何的教學(xué)，要強(qiáng)化基礎(chǔ)，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2. 積累經(jīng)驗(yàn)，提高模型應(yīng)用能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出讓學(xué)生“學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)”. 教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在豐富的解題活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)、形成模型，以便學(xué)生在新情境中能快速識別出熟悉的模型，并運(yùn)用模型提高解題的效益. 九層之臺，起于累土. 從題源來看，此題由拋物線中的一個(gè)“二級結(jié)論”演變而來，倘若學(xué)生能夠透過直線與圓的相切關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩條切線的傾斜角互補(bǔ)，則可以得到簡捷的解法6. 當(dāng)然，我們要做的并不是增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生強(qiáng)記更多的“二級結(jié)論”來解題，而是要在對經(jīng)典問題模型化的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，達(dá)到“落一葉而知秋”.

3. 注重本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)理解能力

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心始終是揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展思維能力. 教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)理解能力. 解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題，研究曲線與方程的關(guān)系. 對解析幾何的理解，不應(yīng)僅貼上代數(shù)運(yùn)算的標(biāo)簽. 處理曲線的交點(diǎn)問題，通常有直接求解和設(shè)而不求兩種思路，直接求解常會陷入繁雜的計(jì)算，設(shè)而不求在含參推導(dǎo)中更易見一般性. 此題所求直線的方程應(yīng)是點(diǎn)B，C的坐標(biāo)滿足的二元一次方程，設(shè)法獲得橫、縱坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系，體現(xiàn)了對曲線的方程的本質(zhì)理解.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部考試中心制定. 中國高考評價(jià)體系[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3]李善良. 關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)核心的思考[J]. 江蘇教育（中學(xué)教學(xué)版），2013（4）：21-24.

[4]張培強(qiáng)，魏賢剛. 2020年高考“立體幾何”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2020（10）：41-47.