九層之臺 起于累土

摘? 要：通過對一道解析幾何題進行多角度的解法探索、背景探源，挖掘題目的評價功能，感悟解析幾何的本質，賞析高考命題的基礎性、綜合性、應用性、創新性，并給出新高考備考的幾點建議.

關鍵詞：高考命題;解析幾何;數學運算

一、問題探究

此題是教育部考試中心為2021年參加全國新高考的八省（河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶）命制的適應性試卷中的一道選擇題. 此題對拋物線方程的求法、直線與圓的位置關系、直線與拋物線的位置關系、直線的方程等解析幾何基礎知識均有考查，體現了高考命題的基礎性和綜合性.

【評析】由此可見，無論是設點的參數，還是設斜率的參數，都是充分利用題目條件化歸為點B，C縱坐標的關系. 解法3 ～ 解法5都是利用“同構”的想法避免了點B，C坐標的求解，這種求直線方程的方法由教材中經典習題的解法而來.

解法5從幾何角度出發，充分利用圖形的特殊性，點A恰在圓心的正上方，切線的斜率變得很直觀. 于是，題目中圓的作用是構造傾斜角互補的兩條直線. 化靜為動，倘若過點A作兩條傾斜角互補的直線，由此產生的動直線BC的斜率是不變的，其值是點B，C重合（極限位置）于拋物線上一點處的切線斜率，即點A處的拋物線切線斜率的相反數，這是拋物線中的一個經典定值問題.

此題為2004年高考北京卷理科第17題，一出現便成為解析幾何探尋動中之靜的經典題目，相關變式在各類試卷、資料中屢見不鮮. 例如，2009年高考遼寧卷第20題（題源3）. 在其他圓錐曲線中類似構圖，也會得到定值結論.

題源3：已知橢圓C經過點[A1， 32，] 兩個焦點為[-1，0， 1，0.]

（1）求橢圓C的方程;

（2）E，F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

于是，利用該結論，再配合排除法，可以得到如下解法.

二、備考建議

“一核、四層、四翼”的高考評價體系，推動著高考命題由能力立意向素養導向的變革. 近年來的高考全國卷在題型、情境、設問方式等方面不斷進行改革，命題越來越靈活，導致新高考“難度加大”“閱讀量增加”等輿論四起. 對這套試卷，有人給出了“前面不送分，后面不送命，難易無序，題題都勾魂;左看無熟題，右看無套路，主次不明，處處皆重點”的批語，在一定程度上反映出師生對將要面對的新高考的迷茫. 縱使摸不透高考考查的新動向，但通過“四翼”實現對學生“四層”有效考查的評價體系已經明確，故教師應以不變應萬變，扎實做好復習工作.

1. 強化基礎，提高數學運算能力

高考注重考查基礎性、綜合性、應用性、創新性. 此題將直線、拋物線、圓等結合起來命題，具有一定的綜合性，但所考查的都是解析幾何中的基礎問題和典型問題. 高考改革并不意味著要全盤否定原來的考查內容，只要是合適的材料，置于合適的情境中，能考查學生的核心素養，都可以成為新高考中考查的題目.

從學生最易入手的解法1來看，題目考查了學生在熟悉的數學情境中，根據問題的特征建立合適的運算思路解決問題（數學運算的水平一）的能力，這是每名學生都應達到的要求. 由此可見，對于解析幾何的教學，要強化基礎，切實提高學生的數學運算能力.

2. 積累經驗，提高模型應用能力

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出讓學生“學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗”. 教學中，應引導學生在豐富的解題活動中積累經驗、形成模型，以便學生在新情境中能快速識別出熟悉的模型，并運用模型提高解題的效益. 九層之臺，起于累土. 從題源來看，此題由拋物線中的一個“二級結論”演變而來，倘若學生能夠透過直線與圓的相切關系，發現兩條切線的傾斜角互補，則可以得到簡捷的解法6. 當然，我們要做的并不是增加學生的負擔，讓學生強記更多的“二級結論”來解題，而是要在對經典問題模型化的過程中，培養學生的數學抽象能力，達到“落一葉而知秋”.

3. 注重本質，提升數學理解能力

數學教學的核心始終是揭示數學本質，發展思維能力. 教學中，應引導學生把握數學內容的本質，提升數學理解能力. 解析幾何是用代數的方法研究幾何問題，研究曲線與方程的關系. 對解析幾何的理解，不應僅貼上代數運算的標簽. 處理曲線的交點問題，通常有直接求解和設而不求兩種思路，直接求解常會陷入繁雜的計算，設而不求在含參推導中更易見一般性. 此題所求直線的方程應是點B，C的坐標滿足的二元一次方程，設法獲得橫、縱坐標滿足的等量關系，體現了對曲線的方程的本質理解.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部考試中心制定. 中國高考評價體系[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3]李善良. 關于中學數學教學核心的思考[J]. 江蘇教育（中學教學版），2013（4）：21-24.

[4]張培強，魏賢剛. 2020年高考“立體幾何”專題命題分析[J]. 中國數學教育（高中版），2020（10）：41-47.